全称量词和存在量词.ppt

1 4全称量词和存在量词 一 全称量词和存在量词 1 全称量词和全称命题 1 全称量词 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 新课讲解 2 全称命题 定义 含有全称量词的命题 叫做全称命题 一般形式 全称命题 对M中任意一个x 有p x 成立 可用符号简记为 x M p x 读作 对任意x属于M 有p x 成立 其中M为给定的集合 p x 是一个关于x的命题 2 存在量词和特称命题 1 存在量词 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并且符号 表示 2 特称命题 定义 含有存在量词的命题 叫做特称命题 一般形式 特称命题 存在M中的元素x0 使p x0 成立 可用符号简记为 x0 M p x0 读作 存在M中的元素x0 使p x0 成立 1 a 则a平行于 内任一条直线 是 A 真命题B 全称命题C 特称命题D 不含量词的命题解析 命题中含有 任一 全称量词 故为全称命题 答案 B 概念理解 常见的全称量词有 所有的 任意一个 一切 每一个 任给 所有的 等 常见的存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 有一个 某个 有的 等 解析 如x 0时 x2 0 满足x2 0 答案 B 解析 当x 0时 0 N 但0 1 故 x N x 1 是假命题 答案 B 4 下列命题 偶数都可以被2整除 角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等 正四棱锥的侧棱长相等 有的实数是无限不循环小数 有的菱形是正方形 存在三角形其内角和大于180 既是全称命题又是真命题的是 既是特称命题又是真命题的是 填上所有满足要求的序号 解析 是全称命题 是真命题 是全称命题 是真命题 是全称命题 即 任意正四棱锥的侧棱长相等 是真命题 含存在量词 有的 是特称命题 是真命题 是特称命题 是真命题 是特称命题 是假命题 因为任意三角形内角和为180 答案 5 用符号 或 表示下面的命题 并判断真假 1 实数的平方大于或等于0 2 存在一对实数 x y 使2x y 1 0成立 3 勾股定理 解 1 是全称命题 隐藏了全称量词 所有的 x R x2 0 是真命题 2 x R y R 2x y 1 0 是真命题 如x 0 y 2时 2x y 1 0 2 1 1 0成立 3 这是全称命题 所有直角三角形都满足勾股定理 即 Rt ABC a b为直角边长 c为斜边长 a2 b2 c2 是真命题 例题讲解 1 指出下列命题是全称命题 还是特称命题 并判断它们的真假 1 对任意的x R x2 x 1 0都成立 2 至少有一个整数 它既能被2整除 又能被5整除 3 对数函数都是单调函数 4 x R x2 3x 2 0 跟踪练习 解 1 全称命题 因为x 0时 x2 x 1 1 0 故是假命题 2 特称命题 是真命题 比如10既能被2整除 又能被5整除 3 全称命题 是真命题 4 全称命题 是假命题 因为只有x 2或x 1时满足 类型二 全称命题与特称命题的表述 例2 1 设集合S 四边形 p x 内角和为360 试用不同的表述写出全称命题 x S p x 2 设q x x2 x 试用不同的表达方法写出特称命题 x R q x 例题讲解 解 1 依题意可得以下几种不同的表述 对所有的四边形x x的内角和为360 对一切四边形x x的内角和为360 每一个四边形x的内角和为360 任一个四边形x的内角和为360 凡是四边形x 它的内角和为360 1 用全称量词或存在量词表示下列语句 1 n边形的内角和等于 n 2 180 2 两个有理数之间 都有一个有理数 3 有一个实数乘以任意一个实数都等于0 跟踪练习 解 1 一切n边形的内角和都等于 n 2 180 2 任意两个有理数之间 都有一个有理数 3 存在一个实数x 它乘以任意一个实数都等于0 例题讲解 解析 由于 x R 都有x2 0 因而有x2 2 2 0 即x2 2 0 所以命题 x R x2 2 0 是真命题 由于0 N 当x 0时 x4 1不成立 所以命题 x N x4 1 是假命题 答案 跟踪练习 类型四 全称命题与特称命题的应用 例4 函数f x 对一切实数x y均有f x y f y x 2y 1 x成立 且f 1 0 1 求f 0 的值 2 在 0 4 上存在实数x0 使得f x0 6 ax0成立 求实数a的取值范围 例题讲解 解 1 由已知等式f x y f y x 2y 1 x 令x 1 y 0 得f 1 f 0 2 又因为f 1 0 所以f 0 2 2 令y 0 则f x y f y f x f 0 f x 2 x 2 0 1 x x2 x f x 6 x2 x 4 1 已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 并说明理由 2 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 0成立 求实数m的取值范围 跟踪练习 解 1 不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x R恒成立 只需m 4即可 故存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 此时 只需m 4 2 不等式m f x0 0可化为m f x0 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所以 所求实数m的取值范围是 4 二 含有一个量词的命题的否定 1 全称命题的否定 一般地 对于含有一个量词的全称命题的否定 有下面的结论 全称命题p x M p x 它的否定綈p x0 M p x0 全称命题的否定是特称命题 如 所有的正方形都是矩形 的否定为 至少存在一个正方形不是矩形 其中 把全称量词 所有的 变为存在量词 至少存在一个 新课讲解 2 特称命题的否定 一般地 对于含一个量词的特称命题的否定 有下面的结论 特称命题p x0 M p x0 它的否定綈p x M p x 特称命题的否定是全称命题 如 存在一个实数x 使得x2 x 1 0 的否定为 对所有实数x 都有x2 x 1 0 其中 把存在量词 存在一个 变为全称量词 对所有的 概念理解 答案 C 2 命题 存在x0 R 2x0 0 的否定是 A 不存在x0 R 2x0 0B 存在x0 R 2x0 0C 对任意的x R 2x 0D 对任意的x R 2x 0解析 原命题为特称命题 其否定为全称命题 答案 D 3 2010 安徽高考 命题 存在x R 使得x2 2x 5 0 的否定是 答案 对于任意的x R 都有x2 2x 5 04 命题 x R 3x2 2x 1 0 的否定是 答案 x R 3x2 2x 1 0 5 写出下列命题的否定 1 所有的矩形都是平行四边形 2 x R x2 2x 1 0 3 有些实数的绝对值是正数 4 x R x2 1 0 解 1 否定 有的矩形不是平行四边形 2 否定 x R x2 2x 1 0 3 否定 任意实数的绝对值都不是正数 4 否定 x R x2 1 0 类型一 全称命题的否定 例1 判断下列命题的真假 并写出这些命题的否定 1 三角形的内角和为180 2 每个二次函数的图象都开口向下 3 任何一个平行四边形的对边都平行 4 负数的平方是正数 例题讲解 解 1 是全称命题且为真命题 p 三角形的内角和不全为180 即存在一个三角形且它的内角和不等于180 2 是全称命题且为假命题 p 存在一个二次函数的图象开口不向下 3 是全称命题且为真命题 p 存在一个平行四边形的对边不都平行 4 是全称命题且为真命题 p 某个负数的平方不是正数 注意 1 全称命题的否定是特称命题 因为要否定全称命题 x M p x 成立 只需在M中找到一个x 使得p x 不成立 也即 x0 M p x0 成立 2 要证明一个全称命题是假命题 只需举一个反例 3 有些全称命题省略了量词 在这种情况下 千万不要将否定写成 是 或 不是 如第 4 小题 将否定写成 负数的平方不是正数 就错误了 因为这个命题也是全称命题 是假命题 1 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 任何一个素数是奇数 2 所有同学学习都很努力 3 a b R 方程ax b都有惟一解 4 可以被5整除的整数 末位是0 跟踪练习 解 1 是全称命题 其否定为 存在一个素数 它不是奇数 因为2是素数 而不是奇数 所以其否定是真命题 2 是全称命题 其否定为 有的同学学习不努力 3 是全称命题 其否定为 a b R 使方程ax b的解不惟一 真命题 4 是全称命题 其否定为 存在被5整除的整数 末位不是0 因为15能被5整除 其末位为5 因此其否定是真命题 例题讲解 解 1 p x 1 x2 2x 3 0 2 p 若an 2n 10 则 n N 有Sn 0 3 p a b是异面直线 则 A a B b 有AB不与a垂直 或不与b垂直 点评 特称命题 x0 M p x0 的否定是 x M p x 遇到 且 命题否定时变为 或 命题 遇到 或 命题否定时 变为 且 命题 解 1 p x R x 1 1 2 p x R x2 3x 4 0 跟踪练习 例题讲解 1 对下列命题的否定 说法错误的是 A p 能被3整除的整数是奇数 p 存在一个能被3整除的整数不是奇数B p 每一个四边形的四个顶点共圆 p 存在一个四边形的四个顶点不共圆 跟踪练习 C p 有的三角形为正三角形 p 所有的三角形都不是正三角形D p x R x2 2x 2 0 p 当x2 2x 2 0时 x R 解析 根据全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题