圆锥曲线复习-课件(经典).ppt

圆锥曲线复习 复习专题 1 椭圆的定义平面内到两定点F1 F2距离之和为常数2a 的点的轨迹叫椭圆 有 PF1 PF2 2a 在定义中 当 时 表示线段F1F2 当 时 不表示任何图形 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 2 椭圆的标准方程 1 1 a b 0 其中a2 b2 c2 焦点坐标为 2 1 a b 0 其中a2 b2 c2 焦点坐标为 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 4 椭圆 1 a b 0 的几何性质 1 范围 x a y b 椭圆在一个矩形区域内 2 对称性 对称轴x 0 y 0 对称中心O 0 0 一般规律 椭圆有两条对称轴 它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线 3 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 长轴长 A1A2 短轴长 B1B2 一般规律 椭圆都有四个顶点 顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 4 离心率 e 0 e 1 椭圆的离心率在内 离心率确定了椭圆的形状 扁圆状态 当离心率越接近于时 椭圆越圆 当离心率越接近于时 椭圆越扁平 2a 2b 0 1 0 1 5 双曲线的定义平面内到两定点F1 F2的距离之差的绝对值为常数2a 且 的点的轨迹叫双曲线 有 MF1 MF2 2a 在定义中 当 时表示两条射线 当 时 不表示任何图形 0 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 6 双曲线的标准方程 1 焦点在x轴上的双曲线 其中 焦点坐标为F1 c 0 F2 c 0 2 焦点在y轴上的双曲线 其中c2 a2 b2 焦点坐标为F1 0 c F2 0 c c2 a2 b2 7 双曲线 a 0 b 0 的几何性质 1 范围 y R 2 对称性 对称轴x 0 y 0 对称中心 0 0 一般规律 双曲线有两条对称轴 它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线 x a 3 顶点 A1 a 0 A2 a 0 实轴长 虚轴长 一般规律 双曲线都有两个顶点 顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 4 离心率e 双曲线的离心率在 1 内 离心率确定了双曲线的形状 5 渐近线 双曲线的两条渐近线方程为 双曲线的两条渐近线方程为 A1A2 2a B1B2 2b e 1 y x y x 双曲线有两条渐近线 他们的交点就是双曲线的中心 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 公用渐近线的两条双曲线可能是 a 共轭双曲线 b 放大的双曲线 c 共轭放大或放大后共轭的双曲线 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时 只要令双曲线的标准方程中的 1 为 0 就得到两条渐近线方程 即方程就是双曲线的两条渐近线方程 8 抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l F l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程与几何性质 准线 x轴 y轴 F 0 F 0 x y 9 直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系 1 当d r时 直线与圆 2 当d r时 直线与圆 3 当d r时 直线与圆 10 直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时 可将直线l的方程代入曲线C的方程 消去y 或x 得一个关于变量x 或y 的一元二次方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 相离 相切 相交 1 当a 0时 则有 l与C相交 l与C相切 l与C相离 2 当a 0时 即得到一个一次方程 则l与C相交 且只有一个交点 此时 若曲线C为双曲线 则l 于双曲线的渐近线 若C为抛物线 则l 于抛物线的对称轴 0 0 0 平行 平行 11 弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长 常用的弦长公式 AB 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理 设而不求计算弦长 13 求轨迹方程的基本思路 1 建立适当的直角坐标系 设曲线上的任意一点 动点 坐标为M x y 2 写出动点M所满足的 3 将动点M的坐标 列出关于动点坐标的方程f x y 0 4 化简方程f x y 0为最简形式 5 证明 或检验 所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件 几何条件的集合 代入几何条件 注意 第 2 步可以省略 如果化简过程都是等价交换 则第 5 可以省略 否则方程变形时 可能扩大 或缩小 x y的取值范围 必须检查是否纯粹或完备 即去伪与补漏 14 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 如距离与角 的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系转化为x y的等式就得到曲线的轨迹方程 2 定义法 某动点的轨迹符合某一基本轨迹 如直线 圆锥曲线 的 则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程 3 代入法 相关点法 当所求动点M是随着另一动点P 称之为相关点 而运动 如果相关点P满足某一曲线方程 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 再把相关点代入曲线方程 就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程 定义 1 动点P到两定点F1 3 0 F2 3 0 的距离之和等于6 则点P的轨迹是 C A 椭圆B 圆C 线段F1F2D 直线F1F2 课堂练习 2 椭圆 1的焦点坐标是 若弦CD过左焦点F1 则 F2CD的周长是 0 16 由已知 半焦距c 故焦点坐标为 0 F2CD的周长为4a 4 4 16 3 中心在坐标原点 焦点在y轴上 经过点 0 离心率为的椭圆方程为 1 b 3e a2 b2 c2又椭圆焦点在y轴上 故其方程为 1 a 2b 3 解得 依题设 4 已知M为线段AB的中点 AB 6 动点P满足 PA PB 8 则 PM 的最大值为 最小值为 4 依题意可知 P点轨迹为以A B为焦点的椭圆 M为椭圆中心 且半焦距为3 半长轴为4 则 PM 的最大值为4 最小值为半短轴 6 双曲线 1的实轴长是 焦点坐标是 8 0 5 7 方程 1表示双曲线 则实数k的取值范围是 1 1 由题设及双曲线标准方程的特征可得 1 k 1 k 1 8 已知双曲线 1右支上一点P到左焦点F1的距离为12 则点P到右焦点F2的距离为 右支上满足上述条件的点P有个 2 1 由双曲线定义可得 PF1 PF2 2a 10 所以 PF2 12 10 2 又焦点坐标F1 7 0 F2 7 0 顶点坐标为 5 0 所以满足条件的点只有一个 即为右顶点 9 若双曲线 1的两条渐近线互相垂直 则双曲线的离心率 e 由已知 两渐近线方程为y x 由两渐近线互相垂直得 1 即a b 从而e 10 若双曲线C的焦点和椭圆 1的焦点相同 且过点 3 2 则双曲线C的方程是 1 由已知半焦距c2 25 5 20 且焦点在x轴上 设双曲线C的方程为 1 a2 b2 20a2 12 1b2 8 故所求双曲线的方程为 1 则 求得 6 与双曲线共渐近线的双曲线方程为 0 与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为 a2 且 b2 7 双曲线的形状与e有关系 k e越大 即渐近线的斜率的绝对值就越大 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知 双曲线的离心率越大 它的开口就越开阔 11 平面内 动点M到定点F 0 3 的距离比它到直线y 2 0的距离多1 则动点M的轨迹方程是 x2 12y 依题设 动点M到定点F 0 3 的距离等于它到定直线y 3的距离 由抛物线的定义可知 其轨迹方程为x2 12y 12 抛物线y x2的焦点坐标是 准线方程是 y 1 0 1 抛物线的标准方程是x2 4y 所以焦点坐标为 0 1 准线方程为y 1 13 抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 且焦点到准线的距离为4 则该抛物线的标准方程为 y2 8x 依题设 设抛物线的方程为y2 ax 且 a 2 4 8 即a 8 故抛物线方程为y2 8x 14 抛物线y2 4x上一点到其焦点F的距离为5 则点P的坐标是 4 4 由抛物线的定义 PF 等于P点到准线x 1的距离 则xP 1 5 得xP 4 又y2 4x 得yP 4 故点P的坐标为 4 4 15 已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点 则点P到点 0 2 的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 由抛物线的定义 连接点 0 2 和抛物线的焦点F 0 交抛物线于点P 则点P使所求的距离最小 且其最小值为 1 类比圆锥曲线统一定义 1 抛物线定义的集合表示 P M 1 即P M MF d 2 圆锥曲线的统一定义为P M e e 0 当01时 曲线为双曲线 当e 1时 曲线为抛物线 2 定义及标准方程的理解 1 求抛物线的标准方程 要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再由条件确定参数p的值 同时 知道抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者之间是相依并存的 知道其中一个 就可以求出其他两个 2 焦点弦公式 对于过抛物线焦点的弦长 可用焦半径公式推出弦长公式 设过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的弦为AB A x1 y1 B x2 y2 则有 AB x1 x2 p 3 与椭圆 双曲线相比 抛物线没有对称中心 只有一个焦点 一条准线 一个顶点 一条对称轴 且离心率为常数1 4 抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离 焦点的非零坐标是一次项系数的 5 抛物线的对称轴是哪个轴 方程中的该项即为一次项 一次项前面是正号 则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向 一次项前面是负号 则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向 16 若a b且ab 0 则直线ax y b 0和二次曲线bx2 ay2 ab的位置关系可能是 C 17 直线x y 2与椭圆x2 ky2 1有公共点 则k的取值范围是 0 18 过原点的直线l y kx与双曲线C 1有两个交点 则直线l的斜率k的取值范围是 由于双曲线的渐近线的方程为y x 数形结合可知l与C有两个交点 则直线l夹在两渐近线之间 从而 k 19 设抛物线C y2 8x的准线与x轴交于点Q 若过点Q的直线l与抛物线C有两个公共点 则直线l的倾斜角 的取值范围是 0 由题意可得Q 2 0 则l的方程可设为y k x 2 代入y2 8x 得k2x2 4 k2 2 x 4k2 0 由于l与C有两个公共点 k2 0 16 k2 2 2 16k4 0 解得 1 k 0或0 k 1 即 1 tan 0或0 tan 1 故 或0 因此 20 直线y kx 2与椭圆x2 4y2 80相交于不同的两点P Q 若PQ的中点的横坐标为2 则弦长 PQ 等于 6 y kx 2x2 4y2 80 1 4k2 x2 16kx 64 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 2 2 得k 从而x1 x2 4 x1x2 32 因此 PQ x1 x2 6 由于 消去整理得 1 直线与圆锥曲线位置关系探究方法 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度来看有三种 相离 相交和相切 从代数角度一般通过他们的方程来研究 设直线l Ax By C 0 二次曲线C f x y 0 联立方程组Ax By C 0f x y 0 消去y 或x 得到一个关于x 或y 的方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 然后利用方程根的个数判定 同时应注意如下四种情况 1 对于椭圆来说 a不可能为0 即直线与椭圆有一个公共点 直线与椭圆必相切 反之 直线与椭圆相切 则直线与椭圆必有一个公共点 2 对于双曲线来说 当直线与双曲线有一个公共点时 除了直线与双曲线相切外 还有直线与双曲线相交 此时直线与双曲线的渐近线平行 3 对于抛物线来说 当直线与抛物线有一个公共点时 除了直线与抛物线相切外 还有直线与抛物线相交 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合 4 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故 0是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 5 0 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 2 数形结合思想的应用 要注意数形结合思想的运用 在做题时 最好先画出草图 注意观察 分析图形的特征 将形与数结合起来 特别地 1 过双曲线 1外一点P x0 y0 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P为原点时 不存在这样的直线 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 3 特殊弦问题探究方法 1 若弦过焦点时 焦点弦问题 焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用焦半径公式求解 2 若问题涉及弦的中点及直线斜率问题 即中点弦问题 可考虑 点差法 即把两点坐标代入圆锥曲线方程 然后两式作差 同时常与根和系数的关系综合应用 21 方程 x 1 表示的曲线是 D A 一个圆B 两个圆C 半个圆D 两个半圆 由于 x 1 x 1 2 y 1 2 1 x 1 0 x 1x 1 x 1 2 y 1 2 1 x 1 2 y 1 2 1 曲线是两个半圆 故选D 或 22 设P为双曲线 y2 1上一动点 O为坐标原点 M为线段OP的中点 则点M的轨迹方程为 x2 4y2 1 代入法 设M x y P x1 y1 则 y12 1 x x1 2xy y1 2y 又 即 代入 得x2 4y2 1 直推法 依题设 PF1 PF2 2 5 10 PQ PF2 则 F1Q F1P PQ PF1 PF2 10 则动点Q的轨迹是以F1为圆心 10为半径的圆 其方程为 x 4 2 y2 100 23 已知椭圆 1的左 右焦点分别为F1 F2 P为椭圆上一动点 延长F1P到Q 使得 PQ PF2 则动点Q的轨迹方程是 x 4 2 y2 100 24 平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知两点A 3 1 B 1 3 若点C满足 其中 R 且 1 则点C的轨迹方程是 x 2y 5 0 参数法 设C x y 由 得 x y 3 1 1 3 x 3 y 3 而 1 x 4 1y 3 2 即 则 消去 得x 2y 5 0 25 设A1 A2是椭圆 1长轴的两个端点 P1 P2是垂直于A1A2的弦的端点 则直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程是 交轨法 由已知 A1 3 0 A2 3 0 设P1 x1 y1 则P2 x1 y1 交点M x y 则由A1 P1 M三点共线 得 又A2 P2 M三点共线 得 得 又 1 即 从而 即 1 曲线与方程关系的理解 1 曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横 纵坐标之间的关系 这种关系同时满足两个条件 曲线上所有点的坐标均满足方程 适合方程的所有点均在曲线上 2 如果曲线C的方程是f x y 0 那么点P0 x0 y0 在曲线C上的充要条件是f x0 y0 0 3 视曲线为点集 曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程 则曲线上的点集 x y 与方程的解集之间建立了一一对应关系 2 求轨迹方程方法实质剖析 1 轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x y一一对应的揭示曲线方程解的关系 在实际计算时 我们可以简单地认为 求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系 当两坐标之间的关系为直接关系f x y 0 就是曲线方程的普通形式 当x y的关系用一个变量 如t变量 表示时 坐标之间的关系就是间接关系 这时的表示式就是曲线的参数方程 所以解决问题时 应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究 2 定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法 它从动点运动的规律出发 整体把握点在运动中不动的 不变的因素 从而得到了动点运动规律满足某一关系 简单地说 就是在思维的初期 先不用设点的坐标 而直接找动点所满足的几何性质 往往是距离的等量关系 由于解析几何研究的几何对象的局限性 直线 圆 圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的 所以利用定义法求轨迹问题时 往往应该先考虑动点满足的距离关系 判断它是否满足五种曲线的定