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球与正方体 高一数学上学期人教版A版必修2节选自 1 3 2球的表面积和体积 教师 苏国东单位 广州市真光中学 谢谢 11月9日广州恒大夺冠 球的概念 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的旋转体 思考 做一个足球需要用到多少布料 把一个足球充满气需要多少气体 那就是要求出球的表面积和体积 1 3 2球的表面积和体积 探究新知 思考 球的表面积和体积由哪个量来确定 设球的半径为R 球的表面积为 球的体积为 V和S都是以R为自变量的函数 试猜想球的表面积和体积公式 一个球的直径为4cm 则它的表面积是 体积是 3 若两个球的体积之比为8 27 那么两个球的表面积之比为 2 一个球的表面积是36 则它的体积是 新知应用 4 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 球的体积等于圆柱体积的 球内切于圆柱 球与正方体 变式1 正方体中心处有一小球 现把球吹大 使得球面与正方体的各面都相切 设正方体的棱长为a 则球的半径为多少 球叫做正方体的内切球 正方体叫做球的外切正方体 变式训练 正方体的棱长为a 则球的半径为多少 球与正方体 球叫做正方体的外接球 正方体叫做球的内接多面体 变式2 若把球吹大到刚好包住整个正方体 即正方体各个顶点都在球面上 正方体的棱长为a 此时球的半径为多少 正方体的棱长为a 球的半径为多少 球与正方体 这个球叫做正方体的棱切球 变式3 若把球吹大到与正方体各条棱都相切 正方体的棱长为a 此时球的半径又为多少 正方体的棱长为a 球的半径为多少 问题 正方体的棱长为a 一球与正方体各面相切 一球与正方体各侧棱相切 一球过正方体各顶点 则这三球的体积之比为 变式4 一个几何体的三视图如下 则它的外接球的表面积是 思考题 求棱长为a的正四面体的外接球的半径 还有其他方法吗 解法1 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径 解法2 1 球的表面积公式 3 球的内切 外接问题 实质就是根据几何体的相关数据求球的半径或直径 根据 切点 接点 半径直径所在的轴截面 把空间问题转化为平面问题来计算 2 球的体积公式 球的半径为R 课堂小结 1 已知球的大圆周长为8cm 则这个球的表面积是 体积是 提升训练 2 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm 瓶里所装的水深度为8cm 将一个钢球完全浸入水中 瓶中水的高度上升到8 5cm 求钢球的半径 解 3 一个正六棱柱的底面边长为a 侧棱长是底面的边长的2倍 则这个六棱柱的外接圆的半径为多少 4 已知一个圆锥的底面半径为R 高为H 在其中有一个
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