分布参数系统的建模与仿真.ppt

第5章分布参数系统的建模与仿真 陈无畏合肥工业大学机械与汽车工程学院 系统建模与仿真 5 1分布参数系统的数学描述 定义 系统的状态变量 控制变量和被控变量不仅仅是时间的函数 而且是空间坐标的函数 表示及描述方法 系统的模型表示为偏微分方程 积分方程或是偏微分 积分方程 通常使用偏微分方程来描述系统 5 1分布参数系统的数学描述 续 对于确定型的偏微分方程 采用一阶描述形式 可以用以下表达式 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 现对上述表达式中的有关符号说明如下 5 1分布参数系统的数学描述 续 1 自变量 常微分方程中自变量只有时间变量t 而在偏微分方程中 其自变量除了时间外 还有空间自变量 2 输入变量及输入段集合 映射 3 因变量 且是z与t的函数 5 1分布参数系统的数学描述 续 4 式 5 2 确定边界条件 表示Z的边界 在上随时间变化满足该等式 5 式 5 3 表示初始条件 即规定初始时刻在域内的值 6 输出变量是空间和时间的函数 7 式 5 5 规定了约束条件 5 1分布参数系统的数学描述 续 当然 在某些情况下 系统是以高阶偏微分方程的形式给出 一般说来 经过适当变换 高阶偏微分方程可以转换成一阶偏微分方程组 5 1分布参数系统的数学描述 续 偏微分方程的典型形式 5 1分布参数系统的数学描述 续 1 双曲方程典型的有对流方程 5 6 波动方程 5 7 2 抛物方程典型的有扩散方程 5 8 对流 扩散方程 5 9 3 椭圆方程典型的有泊松方程 5 10 5 1 2分布参数系统模型的数学特征 分布特性 从动力学特性看 集中参数系统的解算子形成一个群 而分布参数系统的解算子一般只有半群的性质 从系统结构看 集中参数系统只有集中控制和集中测量 而分布参数系统有分布控制和分布测量 点控制和点测量 边界控制和边界测量 5 1 3分布参数模型的有限差分法 有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近似方法 常用方法之一就是中心差分法 假设 当t 常值时 如图5 1所示为一连续曲线按照中心差分法 点的斜率可用下式表示 5 1 3分布参数模型的有限差分法 续 5 11 图5 1有限差分定义 5 1 3分布参数模型的有限差分法 续 对于二阶导数也可采用同样的方法得到 于是可得以下偏导数表示式 5 1 3分布参数模型的有限差分法 续 为了计算方便 可以用一张二维网格图来表示 如图5 2所示 图5 2二维网格图 5 1 4有限元法 基本思想 把边界问题化为变分问题 对求解区域做剖分 使成为有限个 单元 的和 在每一个单元上作未知函数的某种多项式插值 使它们在相邻单元的公共边界上满足某种连续性条件 以保证用这种分片插值函数组成的有限维数空间SN是未知函数解空间V的子空间 5 1 4有限元法 续 一种常采用的三角形单元如图5 3所示 显见 有限元法不用网点阵列 而用许多相互连接的小子区域或单元来表示所研究的介质 5 1 4有限元法 续 图5 3有限元离散化 5 1 5区域分解算法 基本思想 把计算区域分解为若干子域 子域的形状尽可能规则 于是原问题的求解转化为在子域上的求解 5 1分布参数系统的数学描述 优点 1 它把大问题化为若干个小问题 缩小了计算规模 2 子区域形状规则 如长方形等 其上或者允许使用熟知的快速算法 或者已经有解这类规则问题的高效软件 5 1 5区域分解算法 续 3 允许使用局部拟一致网格 无需使用整体拟一致网格 甚至各子域可以用不同的离散方法进行计算 4 允许在不同子域选用不同的数学模型 以便整体模型更适合于工程物理实际情况 5 1 5区域分解算法 续 5 算法是高度并行的 即计算的主要步骤是在各子域内独立进行 6 对于对称区域问题有更简单的区域分解算法 5 2典型的分布参数系统实例 例扭振杆系统如图5 4所示的扭振杆系统 图5 4扭振杆系统 5 2典型的分布参数系统实例 续 对于厚度为的一段扭杆 可用牛顿定律得到把和联系起来的微分方程 由材料力学得知 杆的上半段在任意时刻t作用在上面的弹性力矩为 5 14 5 2典型的分布参数系统实例 续 式中 是圆截面的极惯性矩 G是材料的剪切弹性模量 在同一时间 因为T是位置y的函数 故杆的下半段作用在单元下平面的力矩是 5 2典型的分布参数系统实例 续 5 15 5 16 由牛顿定律得 这个偏微分方程就是 一维波动方程 5 2典型的分布参数系统实例 续 5 2典型的分布参数系统实例 续 用解析法求解方程 5 16 取所有的初始条件为零 于是得到 为求出处角运动的频率响应 令 1 解析法 5 25 5 2典型的分布参数系统实例 续 如图5 5所示 其频率响应存在无限多个固有频率 其数值可由下式算出 图5 5扭振模型的频率响应 5 2典型的分布参数系统实例 续 5 26 若结构以其中某一固有频率振动 则此时的动态扭转曲线称为其振型 5 2典型的分布参数系统实例 续 根据式 5 25 列出以下比值很容易得到其振型 图5 6示出了前三阶振型 图5 6扭振的各阶模态 5 2典型的分布参数系统实例 续 2 有限差分法图5 7所示的是最简单的模型 在模型中取以研究自由振动 用纯数学方法直接从偏微分方程转换成近似的常微分方程 对于图5 7的模型来说 在点处可写出 5 27 5 2典型的分布