1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时函数的单调性

1 3函数的基本性质第1课时函数的单调性 能用图象上动点P x y 的横 纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗 局部上升或下降 下降 上升 探究点函数单调性的定义 O x y 以f x x2为例说明图象的变化特点 O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y x y O 0 上随x的增大而减小 0 上随x的增大而增大 对区间D内任意x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 图象在区间I逐渐上升 O 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 x1 x2 D f x1 f x2 O M N 任意 区间I内随着x的增大 y也增大 图象在区间I逐渐上升 对区间D内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 都 f x1 f x2 O M N 任意 区间I内随着x的增大 y也增大 图象在区间I逐渐上升 D 根据以上的探究 同学们互相交流一下 试着总结出增函数的定义 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 D称为f x 的单调减区间 你能类比增函数的研究方法定义减函数吗 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 D称为f x 的单调增区间 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 设函数y f x 的定义域为I 增函数的定义 2 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 3 x1 x2取值的任意性 1 如果函数y f x 在区间I内是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 在单调区间上 增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 提醒 判断1 函数f x x2在是单调增函数 判断2 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在R上是增函数 增区间为 增区间为 增区间为 减区间为 即时训练 y 写出下列函数的单调区间 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 它是增函数还是减函数 解析 函数的单调区间有 其中在区间上是减函数 在区间上是增函数 整个上午 8 00 12 00 天气越来越暖 中午时分 12 00 13 00 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多 暴风雨过后 天气转暖 直到太阳下山 18 00 才又开始转凉 画出这一天8 00 20 00期间气温作为时间函数的一个可能图象 并说出所画函数的单调区间 解 单调增区间是 8 12 13 18 单调减区间是 12 13 18 20 变式练习 作差变形 定号 判断 取值 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 所以 函数V 0 是减函数 也就是说 当体积V减小时 压强p将增大 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并用因式分解 配方 有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可进行分类讨论 判断 根据定义得出结论 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤 总结提升 此为证明的关键点 易错点 画出反比例函数f x 的图象 1 这个函数的定义域I是什么 2 它在定义域I上的单调性是怎样的 证明你的结论 探究实践 函数图象如图 互动探究 根据函数单调性的定义 结合函数的图象可知上述说法是错误的 思考交流 解析 直线y kx b在k 0时 单调递减 2a 1 0 即a D 2 函数的单调增区间是 3 函数f x x2 2ax 3在 4 上是减函数 则a的取值范围为 4 解题关键 可利用函数图象求解 1 4 已知f x 是R上的增函数 若f a f 1 2a 则a的取值范围是 解题关键 利用增函数的定义可知 a 1 2a 即 5 若二次函数在区间上单调递增 求a的取值范围 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 解析 6 证明函数在区间上是增函数 证明 任取 且 则 因为 得 所以函数在区间 2 上是增函数 取值 作差变形 定号 下结论 证明 步骤 函数的单调性是函数在其定义域上的 局部 性质