132函数的极值与导数（共78张）

1 3 2函数的极值与导数 一 函数极值的有关概念1 极小值点与极小值 1 函数特征 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 都小 2 导数符号 在点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 3 结论 叫做函数y f x 的极小值点 叫做函数y f x 的极小值 点a f a 2 极大值点与极大值 1 函数特征 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 且f b 0 2 导数符号 在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 3 结论 叫做函数y f x 的极大值点 叫做函数y f x 的极大值 点b f b 3 极值的定义 1 与 统称为极值 2 极值反映了函数在某一点附近的函数值的 刻画的是函数的 极大值 极小值 大小情况 局部性质 思考 函数的极值点与函数单调性有什么关系 提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点 极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点 二 函数在某点取得极值的条件及求极值的方法1 可导函数在某点取得极值的必要条件 可导函数y f x 在点x x0处取得极值的必要条件是 f x 0 2 求函数y f x 的极值的方法 解方程f x0 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 判断 正确的打 错误的打 1 导数值为0的点一定是函数的极值点 2 在可导函数的极值点处 切线与x轴平行 3 函数无极值 提示 1 错误 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 例如y x3 当x 0时 f 0 0 但不是极值点 2 正确 在可导函数的极值点处导数为零 所以在该点处的切线与x轴平行 3 正确 在定义域内f x 0 由极值的判断方法可知函数无极值 答案 1 2 3 知识点拨 1 对极值概念的两点说明 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧区域而言的 极值点是区间内部的点而不会是端点 2 若f x 在某区间内有极值 那么f x 在某区间内一定不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 2 函数极大值与极小值的关系函数的极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 3 极值点与导数为零的关系 1 可导函数的极值点是导数为零的点 但是导数为零的点不一定是极值点 即 点x0是可导函数f x 的极值点 是 f x0 0 的充分不必要条件 2 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧和右侧f x 的符号不同 3 如果在x0的两侧f x 的符号相同 则x0不是f x 的极值点 4 极值点的分布规律 1 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 当函数f x 在某区间上连续且有有限个极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 5 函数在极值点附近切线斜率的变化规律从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 类型一求函数的极值点或极值 典型例题 1 2012 陕西高考 设函数f x lnx 则 A x 为f x 的极大值点B x 为f x 的极小值点C x 2为f x 的极大值点D x 2为f x 的极小值点 2 2013 天津高二检测 设函数f x ax3 2a 1 x2 6x a R 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 当a 时 求f x 的极大值和极小值 解题探究 1 函数f x 在x a处取得极小值的条件是什么 2 如何求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率 导数为0的点一定是极值点吗 探究提示 1 f a 0且在点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 2 1 切线斜率为k f 1 2 不一定 若导数为0的点的左右两侧导数符号相同 则该点不是极值点 解析 1 选D 因为f x lnx 所以令f x 0 即解得x 2 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 所以x 2为f x 的极小值点 2 1 当a 1时 f x 3x2 3x 6 k f 1 3 3 6 6 所以即12x 2y 1 0为所求切线的方程 2 当a 时 f x x2 x 6 令f x 0得x 2或x 3 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 2 递增 在 2 3 递减 在 3 递增 所以f x 的极大值为f 2 f x 的极小值为f 3 拓展提升 1 利用导数研究可导函数极值的一般思路 1 确定定义域 2 求导数f x 3 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检验f x 在方程根左右值的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况 从而求解 2 函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的极值点的个数讨论函数f x 的导数为f x 3ax2 2bx c 令3ax2 2bx c 0 4b2 12ac 1 0 函数f x 有两个极值点 2 0 函数f x 无极值点 变式训练 求函数f x x3 4x 4的极值 解析 因为f x x3 4x 4 所以f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 解得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 当x 2时 f x 有极大值 且极大值为f 2 当x 2时 f x 有极小值 且极小值为f 2 类型二已知函数的极值求参数范围 典型例题 1 设a R 若函数y ex ax x R有大于零的极值点 则 A a 1B a 1C D 2 若函数f x x3 6bx 3b在 0 1 内有极小值 则实数b的取值范围是 3 设函数f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 8其中a R 1 若f x 在x 3处取得极值 求常数a的值 2 若f x 在 0 上为增函数 求a的取值范围 解题探究 1 函数取得极值的必要条件是什么 2 函数在某一区间内有极值与函数在这一区间上的单调性有何关系 3 若函数f x 在 0 上为增函数 函数f x 满足什么条件 探究提示 1 函数f x 在某点取得极值的必要条件是该点的导数为0 2 函数在某一区间上有极值说明函数在这一区间上既有递增区间又有递减区间 3 若函数f x 在 0 上为增函数 则函数f x 0在 0 上恒成立 解析 1 选A y ex a 0 ex a x ln a 因为x 0 所以ln a 0且a 0 所以 a 1 即a 1 2 f x 3x2 6b 因为f x 在 0 1 内有极小值 所以 函数f x 应满足条件 即解得0 b 答案 0 3 1 由题意f x 6x2 6 a 1 x 6a 因为函数f x 在x 3处取得极值 所以f 3 0 解得a 3 经检验知a 3时 x 3为f x 的极值点 2 方法一 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x a x 1 当a 1时 f x 在 1 a 上递增 符合条件 当a 1时 f x 6 x 1 2 0恒成立 f x 在 上递增 当a 1时 f x 在 a 1 上递增 要保证f x 在 0 上递增 则0 a 1 综上所述 a 0时 f x 在 0 上递增 方法二 因为f x 在 0 上递增 所以f x 0在x 0 上恒成立 也就是6 x a x 1 0在x 0 上恒成立 即x x 1 a x 1 在x 0 上恒成立 因为x 0 所以x 1 0 所以x a 从而a 0 拓展提升 已知函数极值点或极值求参数的两个注意点 1 常根据极值点处导数为0和极值的两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 变式训练 已知关于x的函数如果函数f x 在x 1处取得极值则b c 解析 f x x2 2bx c 由f x 在x 1处取得极值可得解得或若b 1 c 1 则f x x2 2x 1 x 1 2 0 此时f x 没有极值 若b 1 c 3 则f x x2 2x 3 x 3 x 1 当 30 当x 1时 f x 0 所以当x 1时 f x 有极大值故b 1 c 3即为所求 答案 13 误区警示 导数为0只是函数取得极值的必要条件 根据导数为0求得的值是否为极值点 还要代入函数进行验证 类型三函数极值的综合应用 典型例题 1 已知实数a b c d成等比数列 且曲线y 3x x3的极大值点坐标为 b c 则ad等于 A 2B 1C 1D 2 2 已知f x x3 bx2 cx 2 1 若f x 在x 1时有极值 1 求b c的值 2 在 1 的条件下 若函数y f x 的图象与函数y k的图象恰有三个不同的交点 求实数k的取值范围 解题探究 1 函数y f x 的极值点的坐标为 a b 其含义是什么 2 函数y f x 的图象与函数y k的图象恰有三个不同的交点的实质是什么 探究提示 1 其含义是f a b且f a 0 2 函数y f x 的图象与函数y k的图象恰有三个不同的交点的实质是k的值介于极大值和极小值之间 解析 1 选A 因为a b c d成等比数列 所以ad bc 又函数y 3x x3的极大值点对应的坐标为 b c 所以c 3b b3 且0 3 3b2 所以或 舍去 所以ad 2 2 1 因为f x x3 bx2 cx 2 所以f x 3x2 2bx c 由已知得f 1 0 f 1 1 所以解得b 1 c 5 经验证 b 1 c 5符合题意 2 由 1 知f x x3 x2 5x 2 f x 3x2 2x 5 由f x 0得当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 根据上表 当x 时函数取得极大值且极大值为f 当x 1时函数取得极小值且极小值为f 1 1 根据题意结合上图可知k的取值范围为 1 互动探究 若题2 2 中的条件恰有三个不同的交点改为恰有一个交点 求此时实数k的取值范围 解析 由题2 2 知函数y f x 的极大值为f 极小值为f 1 1 根据函数图象 要使函数y f x 的图象与函数y k的图象恰有一个交点 只需k 或k 1 拓展提升 1 三次函数有极值的充要条件三次函数y ax3 bx2 cx d a 0 有极值 导函数f x 3ax2 2bx c 0的判别式 4b2 12ac 0 2 三次函数单调性与极值 设x1 x2 1 当 0时 若a 0时 则f x 在R上是增函数 若a 0时 则f x 在R上是减函数 2 当 0时 若a 0时 则f x 的增区间为 x1 和 x2 减区间为 x1 x2 f x1 为极大值 f x2 为极小值 若a 0时 则f x 的减区间为 x1 和 x2 增区间为 x1 x2 f x1 为极小值 f x2 为极大值 如图所示 变式训练 1 已知函数f x x3 bx2 c b c为常数 当x 2时 函数f x 取得极值 若函数f x 只有三个零点 则实数c的取值范围为 解题指南 可先由函数取得极值的必要条件f 2 0 求b的值 再把函数f x 只有三个零点 转化为函数图象与x轴有三个交点来求解 解析 因为f x x3 bx2 c 所以f x x2 2bx 因为x 2时 f x 取得极值 所以22 2b 2 0 解得b 1 令f x 0 可得x1 0 x2 2 所以当x 0 2 时 f x 单调递减 当x 0 或x 2 时 f x 单调递增 当x 0时函数取得极大值 当x 2时函数取得极小值 由题意知f x 0有3个实根 则解得0 c 答案 0 2 2013 深圳高二检测 已知函数f x ln 1 x2 ax a 0 1 若f x 在x 0处取得极值 求a的值 2 讨论f x 的单调性 3 证明 n N e为自然对数的底数 解析 1 因为且x 0是f x 的一个极值点 得f 0 0 得a 0 验证知a 0符合条件 2 若a 0时 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若即即a 1时 f x 0对 x R恒成立 故f x 在R上单调递减 若 1 a 0时 由f x 0得ax2 2x a 0 此时 4 1 a2 0 故f x 0得f x 0得或所以f x 在上单调递增 在上单调递减 综上所述 当a 0时 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 当 1 a 0时 f x 在上单调递增 在上单调递减 当a 1时 f x 在R上单调递减 3 由 2 知 当a 1时 f x 在R上单调递减 当x 0 时 f x f 0 0 所以ln 1 x2 x 得 所以 规范解答 含参数极值的求解问题 典例 条件分析 规范解答 1 当x 0时 f x 取得极值 所以f 0 0 解得a 2 检验知a 2符合题意 4分 2 令g x f x b 2ln x 2 x2 x b 则 6分 g x 与g x 在 2 的变化情况如下表 由上表可知函数在x 0取得极大值 极大值为2ln2 b 8分 要使f x b 0在区间 1 1 上恰有两个不同的实数根 只需 10分即所以 2ln2 b 2 2ln3 故实数b的取值范围是 2ln2 2 2ln3 12分 失分警示 防范措施 1 牢记常用的结论对于利用导数求函数的极值问题 要牢固掌握函数取得极值的必要条件和求极值的一般方法 要对求得的导数为零的值进行检验 如本例要对a 2进行检验 否则会产生错误 2 定义域优先原则讨论函数问题 首先要考虑函数的定义域 在本例中由于对数式中含有变量 故求解时先求函数的定义域 3 数形结合思想的应用解决函数问题 特别是在已知函数单调性的情况下 可画出函数的大致图象 如在本例 处 利用图形会使问题变得直观 明了 类题试解 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 1 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 求实数a的值 2 是否存在实数a 使得f x 是 上的单调函数 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 f x 18x2 6 a 2 x 2a 1 由题意x1 x2是方程18x2 6 a 2 x 2a 0的两根 且 36 a 2 2 4 18 2a 36 a2 4 0 所以x1x2 1 所以a 9 2 因为f x 是关于x的一元二次函数 开口向上 又因为 36 a2 4 0 所以f x 0一定有两个不等的实数根x1 x2 所以f x 的递增区间为 x1 x2 递减区间为 x1