计算机控制技术第五章-数字控制器的最优化设计PPT课件

最优控制问题概述 什么样的控制问题是最优控制 它与前面研究的一般经典控制系统有什么区别 经典控制中 控制器的设计方法大量地依赖于试探 性能达到指标为目的 最优控制问题的实质是找出允许的控制作用 使动态系统 受控对象 从初始状态转移到某种要求的终端状态 并保证某种要求的性能指标达到最小 或最大 第五章数字控制器的最优化设计 1 受控系统为动态系统 状态方程 设计最优控制系统时 需满足下列要素 2 应确定初始条件和终止条件 3 应给出性能指标要实现的目的4 应为允许控制U的最大限制 为约束方程 最优控制的理论依据为现代控制理论 性能指标是一个标量 函数 它的数值表示系统实际性能与所要求的性能接近的程度 在大多数情况中 通过选择控制向量U K 使性能指标达到极小或极大 在最优控制中性能指标代替了经典控制中的设计指标 如最大超调量 幅值裕度 过渡过程时间等 通过选取适当的性能指标 使系统的设计符合物理上的标准 既能是对系统作有意义的估价 又要使数学处理简单 性能指标 为了实现最优控制 首先要求系统应能控 而且要求所提出的性能指标不应超出给定系统所能达到的程度 否则最优控制不可实现 设计目的 利用系统状态空间表达式 根据对闭环特性的要求选择一个性能指标 按现代控制理论的方法 设计出满足要求的计算机控制系统 第一节状态空间设计法 一 状态反馈设计法法 该方法的前提条件是系统全部状态变量是可测的 则可由状态反馈构成闭环系统 设被控对象的状态方程为 设被控对象的离散方程为 上式中 设被控对象的离散方程为 假设控制规律是线性状态反馈 闭环系统的的结构如图 状态反馈设计法的任务是 设计反馈矩阵K 使闭环系统具有所需的性能 本节研究的内容就是如何通过状态反馈来配置极点 使系统的闭环极点能位于所期望的位置 从而达到系统的性能指标 重点内容 数字控制系统的特性与连续系统的特性一样 都是由系统的极点位置所决定 对阶次较低的单输入输出系统 一般可用下式计算反馈矩阵K 闭环系统的特征方程为 设所希望的闭环的极点为 则希望的闭环特征方程为 同次幂的系数应该相等 则可得到N个代数方程 求解方程可得到K K1K2 KN 系统满足秩的要求 K就有唯一的解 由现代控制理论知 通过状态反馈任意配置极点的充裕要条件是控制对象完全能控 既要求 则希望的闭环特征方程为 同次幂的系数应该相等 则可得到N个代数方程 求解方程可得到K K1K2 KN 由上式可以看出 当方程的阶次较高时 求解很难 简单的方法是卡尔曼法 可用该法来求解K 卡尔曼法的求解方法 递推方法 式中Q为能控矩阵 系统能控则初始状态X K 可在n步内达到终值状态X K n 卡尔曼法的求解方法 递推方法 上式可以写为 最后一行可以写为 卡尔曼法的求解方法 递推方法 由此式 最后得到 可推出 由凯莱 哈密顿定理 感兴趣的同学参考孙增圻著或吴孟达或其它有关资料 可得到 待求的反馈矩阵K为 解 原系统的闭环特征值为A阵的特征值 例 设一数字控制系统的状态方程为 可知特征值在单位圆上 引入状态反馈的目的就是要把特征值移到单位圆内 确保系统稳定 求状态反馈矩阵K 使闭环系统的特征值为Z1 0 4 Z2 0 6 比较上面的两式 式中Z的同次幂的系数相同 可得 系统的状态方程为二阶 则K K1K2 由给定闭环系统的特征值为Z1 0 4 Z2 0 6 的要求 希望的闭环特征方程为 闭环系统的特征方程为 用卡尔曼法求解上例 结果与待定系数法相同 已知 状态反馈控制小结 根据上式有结论 1 闭环系统的特征方程由 F GK 决定 系统的阶次不改变 通过选择状态反馈增益K 可以改变系统的稳定性 2 闭环系统的可控性由 F GK 及G决定 可以证明 如开环系统可控 闭环系统也可控 反之亦然 图6 7状态反馈控制系统结构图 5 状态反馈与闭环系统零点的关系 状态反馈不能改变或配置系统的零点 4 状态反馈时闭环系统特征方程为 可见 状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根 可以证明 如果系统是完全可控的 通过选择K阵可以任意配置闭环系统的特征根 2 闭环系统的可控性由 F GK 及G决定 可以证明 如开环系统可控 闭环系统也可控 反之亦然 3 闭环系统的可观性由 F GK 及 C DK 决定 如果开环系统是可控可观的 加入状态反馈控制 由于K的不同选择 闭环系统可能失去可观性 一 全维状态观测器 何为状态观测 在使用状态反馈设计法时 要用到全部状态变量 但在实际物理系统中 有些状态变量是无法检测到的 这就需要用可直接测量到的系统输出变量来推算出系统的状态 这种根据系统输出重构状态变量变的算法称为状态观测器 二 状态观测器设计法 设已知被控对象的状态方程为 式中 X为状态变量 y为为输出变量 u为输入变量 A B C都为已知的模型参数 开环观测器的方程为 二 重构状态变量变的简单方法如下图所示 为重构的系统状态变量 开环观测器 开环观测器的方程为 如果初始状态不相同时 重构的状态变量能否跟随实际的状态变量的变化吗 上两式比较可知 两式都有相同的状态方程参数 如果初始条件也相同 在无外干扰时 重构的状态变量等于实际的状态变量 被控对象的状态方程为 令 估计误差状态方程 系统状态的开环估计 状态估计 图6 10开环估计器结构图 估计误差 估计误差状态方程 1 如果原系统是不稳定的 那么观测误差将随着时间的增加而发散 2 如果F阵的模态收敛很慢 观测值也不能很快收敛到的值 将影响观测效果 3 开环估计只利用了原系统的输入信号 并没有利用原系统可测量的输出信号 6 3 2全阶状态观测器设计 1 预测观测器 图6 11闭环状态估计器 预估 闭环观测器方程 估计误差状态方程 6 35 观测器设计的基本问题 要及时地求得状态的精确估计值 也就是要使观测误差能尽快地趋于零或最小值 从式 6 35 可见 合理地确定增益L矩阵 可以使观测器子系统的极点位于给定的位置 加快观测误差的收敛速度 观测误差产生的原因 1 构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数不可能完全一致 2 观测器与对象的初始状态很难一致 3 外干扰 有稳态误差状态观测器极点配置的目的 使 而设 一般 计算观测器增益L 方法一 系数匹配法 观测器期望特征多项式 方法二Ackermann公式计算法 观测器特征方程 期望特征方程 对应系数相等 得m个代数方程 可求得m个未知系数 其中 系统可观阵 6 36 6 3 2全阶状态观测器设计 2 现今值观测器 预估 估计误差状态方程 6 41 观测器极点的配置由 FCF 的可观性决定 分析表明 若 FC 可观 则 FCF 必定也可观 选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点 观测误差 预测值 得修正值 图6 12现今值观测器 图6 13预测观测器与现今值观测器的区别 现今值观测器与预测观测器比较 主要差别 预测观测器利用陈旧的y k 测量值产生观测值现今值观测器利用当前测量值y k 1 产生观测值 进行计算控制作用 由于 0 故现今值观测器是不能准确实现的 但采用这种观测器 仍可使控制作用的计算减少时间延迟 比预测观测器更合理 计算时间 0 6 3 3降维状态观测器 假设系统有p个状态可测 有q n p个状态需要观测 维可测 维需观测 系统状态方程 可直接测得 动态方程 输出方程 可直接测得 降维系统观测误差方程 其中观测器增益L的求法可以采用系数匹配法 也可以利用Ackermann公式 6 1离散系统状态空间描述的基本特性6 2状态反馈控制律的极点配置设计6 3状态观测器设计6 4调节器设计 控制律与观测器的组合 6 5控制系统最优二次型设计 例 设被控对象完全能控 且对象离散状态方程为 假设采样周期T 0 1s 要求闭环系统的的动态响应性能相当于阻尼系数 0 5和无阻尼自然振荡频率 n 3 6的二阶连续系统 用极点配置的方法设计状态反馈控制规律L 解 根据已知 和 n 求S平面的极点 特征方程 设状态反馈矩阵 5 1 2按极点配置设计观测器 观测器的设计思想 根据能够测量的系统输出量和输入量 重构出全部状态 预测观测器 现时观测器和降阶观测器 预测观测器 在求现时重构状态时 只用到前一时刻的输出量的测量值 现时观测器 在求现时重构状态时 用到现时刻的输出量的测量值 降阶观测器 根据系统可测状态 重构出其余那些不能测量的状态 把原状态向量分成两部分 原控制对象 分块控制对象 降阶观测器的特征方程 5 1 3按极点配置设计控制器 控制器的设计分两步 第一步 r k 0 设计观测器和控制规律第二步 加入给定值 r k 0 引入积分控制器 使系统具有满意的跟踪性能及稳态精度 设 被控对象的离散状态方程为 设计引入积分作用控制器设 r k 0 扰动为阶跃扰动 V k 为阶跃函数 令 利用极点配置的方法对上式设计状态反馈控制规律为 按极点配置设计的PI控制器 r k 0 跟踪系统的PI控制器 r k 0 PI控制器的输出方程 基于非参数模型的两种预测控制算法 5 1 1模型算法控制模型算法控制 ModelAlgorithmicControl 简称为MAC 是一类基于系统脉冲响应的控制算法 模型算法控制适用于渐近稳定系统 对于开环不稳定系统 可先使用常规调节器使之稳定 然后再使用MAC 5 2基于系统非参数模型的控制算法 基于非参数模型的预测控制 通常选用系统的脉冲响应模型或阶跃响应模型来描述被控对象 并采用滚动优化目标函数求解最优预测控制律 由于实际可使用的只能是经测量得到的脉冲响应 它与实际系统的脉冲响应是有差别的 由系统控制量u k 和 gT的离散卷积可得出系统在t k 1 T时刻输出量的预测值 要达到控制目的设法使系统输出量y t 沿着一条希望的曲线到达预期的给定值 参考轨迹 参考轨迹在kT以后各时刻的值为 Tr为参考轨迹的时间常数 若记a exp T Tr 则有 常用的指标函数 W