巧用欧拉公式解问题

科技信息 巧用欧拉公式解问题 华南师范大学数学科学学院汤晓韵 摘要 欧拉公式将三角函数运算转化成复数域中的指数运算 在各类结合三角函数及指数函数形式运算中能起到很好的简化作用 而在涉及微积分运算时 与实变复值函数相结合更凸显其优越性 体现了实数域与复数域的和谐统一 关键词 欧拉公式实变复值函数求和公式微积分函数方程 欧拉公式 又称欧拉幅角公式 将指数函数的定义域扩大到复数 将复数 指数函数与三角函数联系起来 是 数学中的天桥 欧拉公式 将实数问题扩大到复数域讨论 往往配合构造实变复值函数 通过实变 复值函数实部及虚部极限 求导 积分运算的相互独立性 巧妙地将问 题简化 实变复值函数函数定义及运算性质简要阐述如下 1 t 和 t 是 定 义 在 实 数 域 的 子 集D上 的 实 函 数 令 z t t i t 则称z t 是定义在D上的实变复值函数 实变复值函 数作为复平面上特殊的向量函数 当 和 分别是连续函数 可积函 数 可导函数时 许多运算都与实变实值函数完全类似 有 lim t t0z t limt t0 t ilimt t0 t z t t i t z t dt t dt t dt 下面给出欧拉公式在导出函数列求和公式 求高阶导数 积分运算 解 函数方程中具体应用例子 1 导出求和公式 例 1Sn sinx sin2x sinnx Tn cosx cos2x cosnx 导出Sn Tn求和公式 分析 Sn和Tn是分析中常见的和式 例如求解Sn 常用的方法是 用半角函数2sin x 2 乘Sn 再积化和差 裂项相消 可得结果 具体过 程 2 中已给出 使用欧拉公式 将两个和函数相结合化为指数形式的 等比函数列求和 由实变复值函数求极限运算 指数形式求解后取实 部及虚部即得Sn和Tn 解 Sn sinx sin2x sinnx Im 1 e ix ei2x einx Im 1 e i n 1 x 1 e ix Im e i n 1 x 2 e i n 1 x 2 e i n 1 x 2 e ix 2 e ix 2 eix 2 Im e in 2x sin n 1 x 2 sin x 2 sin nx 2 sin n 1 x 2 sin x 2 Tn cosx cos2x cosnx Re 1 e ix ei2x einx Re e inx 2 sin n 1 x 2 sin x 2 cos nx 2 sin n 1 x 2 sin x 2 2 求高阶导函数 例2 求实函数f x e axcos bx c 和 g x e axsin bx c 的n阶导数 F x f x ig x e axcos bx c ieaxsin bx c eax i bx c 分析 一般可 对f x 和g x 分别逐次求导 对导函数形式进行数学归纳 可得到n阶 导函数 本文使用欧拉公式及实变复值函数求导性质可求出两函数n 阶导数 解 令 F n x eax cos bx c n i e axsin bx c n eax i bx c n a bi ne a bi x ic a2 b2 cos isin ne a bi x ic a 2 b2 n 2 cosn isinn e a bi x ic a2 b2 n 2eax i bx c a 2 b2 n 2eax cos bx c n isin bx c n 其中cos a a 2 b2 sin b a 2 b2 根据实变复值函数求导法则 取其实部得到 f n x a2 b 2 n 2eaxcos bx c n 取其虚部得到 g n x a2 b 2 n 2eaxsin bx c n 推广 对实函数fm x pm x e axcos bx c 和gm x pm x e axsin bx c pm x 为实系数m次多项式 a 2 b2 0 求n阶导数 在使用莱布尼 兹公式求解过程中 利用实变复值函数求导法则对指数函数求导 运算 形式及运算步骤将简化得多 例3 求f1 x sin 2px 和f2 x sin 2p 1x 的n阶导函数 分析 直接对高次三角函数f1 x 和f2 x 逐次求导将导致函数项数 多及形式繁复 难以进行归纳 使用欧拉公式将原函数化为三角多项 式 求高阶导数迎刃而解 解 用欧拉公式 有 sin 2px eix e ix 2i 2p 1 2p 2 2p k 0 2p C k 2pe ixk 1 2p ke ix 2p k 1 p 2 2p k 0 2p C k 2p 1 2p kei2x k p 1 p 2 2p 1 2pCp 2p k 0 2p 1 kCk 2p e i2x p k e i2x p k 1 2 2pC p 2p 1 2 2p 1 k 0 p 1 kCp k 2p cos2kx 于是可求导得到 f1 n x sin2px n 2 n 2p 1 k 0 p 1 kknCp k 2p cos 2kx n 2 同理 sin 2p 1x eix e ix 2i 2p 1 1 2i 2p 1 k 0 2p 1 C k 2p 1e ixk 1 2p 1 ke ix 2p 1 k 1 2i 2p 1 k 0 2p 1 C k 2p 1 1 keix 2p 1 2k 1 2i 2p 1 k 0 p C k 2p 1 1 k eix 2p 1 2k e ix 2p 1 2k 1 2 2p k 0 p 1 p kCk 2p 1sin 2p 1 2k x f2 n x sin2p 1x n 1 2 2p k 0 p 1 p k 2p 1 2k nCk 2p 1sin 2p 1 2k x n 2 推广 同理可得到 cos 2px n 和 cos 2p 1x n 3 积分运算 例 4 不定积分 求不定积分I e axcosbxdx 和J e axsinbxdx ab 0 分析 一般教材使用分部积分法 进行两次分部积分后形成原函数 的方程 求解等式 步骤较为繁琐 这里化为复数指数形式则只需使用 凑微法一步到位 解 令K I iJ 则 K e ax cosbx isinbx dx e a ib xdx 1 a ibe a ib x C a bi a 2 b2e ax cosbx isinbx C 根据实变复值函数积分法则 取其实部可得 I ReK acosbx isinbx a 2 b2 e ax C 取其虚部可得 J ImK asinbx icosbx a 2 b2 e ax C 推广 被积函数中指数函数换成双曲函数 进一步地 被积函数乘 上多项式采取此法同样效果 例5 反常积分 求反常积分I e ax2cosbxdx 分析 该反常积分函数为热传导方程柯西问题的常见积分函数 在 实数域上积分收敛 求解该积分的一种方法是将积分函数视为参数b 83 科技信息 的函数I b 进行含参变量积分求导 得到自变量为b的常微分方程求 解 技巧性强 这里在被积函数后再加一项积分为零的奇函数 化为复 数域指数函数 直接使用Poisson型积分 4 得到答案 I e ax2cosbxdx e ax2 cosbx isinbx dx e ax2 ibxdx e a x bi 2a 2 b2 4a2dx a e b 2 4a2 解 4 求解函数方程组 例6 求对于x和y的一切实数值满足方程组 f x y f x f y g x g y g x y f x g y f y g x 及f 0 1 g 0 0 的一切有界连续函数f x 和g x x 分析 函数方程以抽象形式揭示函数性质 而求解方法灵活多变 有微积分法 构造法等 观察此函数方程组根据经验可大致猜测f x 和g x 分别为余弦 正弦函数 这里使用欧拉方程构造实变复值函数可 将方程组转化为基本函数方程 为解题提供了另一种思路和方法 解 令F x f x ig x 则可看出F x 满足函数方程 F x y f x y ig x y f x f y g x g y i f x g y f y g x f x ig x f y ig y F x F y 由题设条件f 0 1 g 0 0得到F 0 1 故F x 不恒等于零 使 用 柯 西 方 法 对 于 正 整 数 m n 有F nx F x n F x n F x x n 从而F mx n F x m n 又由F x F x F 0 1可得 F mx n F x m n 由两种结果可得 对于任何有理数r F rx F x r 记a F 1 则 对于任何有理数r F r a r 对于无理点 由f x 和g x 连续可知F x 连续 用有理数列取极限可得F x a x x 因此满足此函数方程的唯一不恒等于零的连续函数是指数函数 F x a x 其中a F 1 由题设条件f x 和g x 连续有界 因此 F x a xeixArga 有界 从而只能是 a F 1 1 由复数的指数形式可 知 存在实数b使得a F 1 e ib 于是对于一切x 得到F x e ibx cosbx isinbx 即得到 f x cosbx和g x sinbx 其中b取任意实数即得到方程组所有解 小结 使用复数域的欧拉公式 配合实变复值函数函数极限 求导 积分 运算性质 将实数域涉及三角及指数函数的运算转化为复数域指数函 数的运算 极大地简化了运算形式 体现了实数域与复数域的和谐统 一 参考文献 1 王高雄等 常微分方程 M 第三版 北京 高等教育出版社 2006 133 135 2 费定晖 吉米多维奇数学分析习题集题解 1 M 第2版 济南 山 东科学技术出版社 1999 507 508 3 费定晖 吉米多维奇数学分析习题集题解 2 M 第2版 济南 山 东科学技术出版社 1999 104 106 4 徐志庭 刘名生 冯伟贞 数学分析 二 M 北京 科学出版社 2009 10 11 5 耿堤 易法槐 丁时进 数学分析 三 M 北京 科学出版社 2010 126 127 上接第70页 图3T24钢在550 25MPa不同溶解氧环境中氧化物横截面图及相 应的元素分布 a 100ppb 600h b 300ppb 600h 图3给出T24在550 25MPa三种不同溶解氧浓度超临界水中氧 化后的横截面图像和元素分布图 在溶解氧浓度为100ppb和300ppb 试样中 从横截面图像和元素分布可以看出氧化层为典型的双层结构 外层为疏松多孔富铁的Fe3O4层 内层为致密富铬尖晶石结构的 Fe Cr 3O4 外层中铬含量基本为0 内层中铬含量较高 尤其是在靠近基 体的位置 在内层与基体之间存在一过渡层 过渡层中元素成分逐渐 变化 在100ppb和300ppb试样中 横截面内氧化层与基体之间均发现 了裂纹 其中100ppb试样裂纹较小 300ppb试样中裂纹相对较大 在裂 纹中间已经生成了不连续的氧化物 从图3还可以看出随着溶解氧量 从100ppb增大到300ppb 氧化膜的厚度也随之增大 4 小结 1 从热力学计算可知对于超临界水在不含外加氧时 单纯由水分 解出的氧含量较低 相对于 100ppb 甚至更高外加氧量 温度小于 600 时水分解出的氧可以忽略 2 从热力学计算可知外加的溶解氧对于超临界水中的氧分压影 响较大 例如550 25MPa超临界水环境 当溶解氧为无氧 100ppb 300ppb时的氧分压分别为3 16 10 7 1 4 10 5 4 2 10 5atm 加氧后的氧 分压提升了近两个数量级 3 加入的氧导致超临界水中氧分压大幅提高 这导致电厂用钢 例T24 在超临界水环境下的腐蚀特性发生变化 包括氧化膜的成 分 形态 剥落特性等