弦长公式在相交两圆中的运用

弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆的公共弦的长。（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。推导：对于圆的一般方程：（其中）和圆的标准方程：。这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。如果两圆和相交，求公共弦长。在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB的求法0（AB图1C如图1：设相交两圆的圆心分别为O,半径分别为,圆心距()为,则在RtACO与RtAC中有,又=OC+=,=-OC,其中化简得:AB=2AC= (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB的求法OABC如右图，设相交两圆的圆心分别为O,半径分别为,圆心距()为（）,则在RtACO与RtAC中，同理得： 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。（三）两圆相交，如图一中的半径垂直时，公共弦长AB的求法（特殊情形） （四）利用向量法推证相交两圆的弦长公式0（ABC设相交两圆的圆心分别为O,半径分别为,圆心距()为，在AO中如右下图，令，设向量的夹角为，则由余弦定理得：，而易求。根据三角形的面积公式可得：则 类似地，借助图形可以推证另外的情形。二、再谈求弦长我们知道将问题中的两方程相减，可得过两交点的直线方程。这时我们可以将问题转化为点到直线的距离，利用垂径定理可求出弦长的一半，从而求出整个弦长。假设两圆相交时过两交点的直线方程为，其中一个圆的方程为（或），圆心到直线的距离为，则弦AB=，而） 对于上式的求法，实际上是直线与圆相交时弦长的求法，利用它来解题是比较简洁的。三、弦长公式的应用把问题中的两个圆的方程分别变为标准形式：和，则半径，则公共弦长为，读者不妨可采取或式的做法做一个练习，比较一下各致的优劣，前者简洁明快，易记，思路清晰，后者对公式的记忆较高，繁杂冗长不易记住。四、看法 （1）在教学中，特别是习题的教学中，应充分地挖掘教材的潜在功能，注重通性通法的讲解。我们应该清醒的认识到课堂是学生获取知识的途径之一，而不是获取知识的唯一途径，应该把获取知识的方法授予给学生，再加上学生自己的创造，可以使其学习能力得到一定的提高。（2）充分利用素材，适当拓展，引领学生去发现归纳，尝试创造，获取进取的动力。对于这项工作，是具有一定难度的，特别是学生的知识结构比较单一，头脑中没有形成知识网络时，基本上很难实现。可以在复习或章节末的小结中试行。（3）注重新旧知识的联系，引导学生避开一些繁琐的运算，从而达到举一反三的目的。在上述推导公共弦长公式