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文档简介
第六章反比例函数1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.2.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值.5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.6.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.7.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.8.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y=kx(k0)探索并理解k0和k0和k0或x0或y0时,图象经过第一、三象限;当k0时,双曲线的两个分支各在哪个象限?(2)k0时,双曲线的两个分支分别分布在第一、三象限内;当k0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;当 k0时,两支曲线分别位于第、象限内;当 kx20,则y1y2.(填“”“=”或“”)答案:0k0一、教材作业【必做题】教材第153页随堂练习.【选做题】教材第154页习题6.2的3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图,是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是()A.y=x2B.y=4xC.y=-3xD.y=12x2.反比例函数y=kx(kS2B.S10,则k=6.故选C.)5.2(解析:过A点作AEy轴,垂足为E,点A在双曲线y=1x上,四边形AEOD的面积为1,点B在双曲线y=3x上,且ABx轴,四边形BEOC的面积为3,四边形ABCD的面积为3-1=2.)6.D7.B8.C(解析:由反比例函数y=kx(k0)中比例系数k的几何意义可以推出RtAOB与RtOCD的面积都等于12k=12.故选C.)9.解:因为反比例函数y=kx的图象与y=3x的图象关于x轴对称,则k=-3,故反比例函数y=kx的解析式为y=-3x.因为点A(1,n)在反比例函数y=-3x的图象上,所以n=-3.研究反比例函数的方法同先前研究函数的方法有着高度的一致,在这里利用学生对以往研究函数的方法,比较顺利地解决了画反比例函数图象、分析反比例函数特点的探索活动,取得了事半功倍的效果.在学生画反比例函数图象的时候,老师担心学生画不准、画不好,过早地把一些提示话语传递给了学生,没有等学生可能出现问题之后,显得对学生放手不够,过多地干预了学生的自主探究活动.应该重点强调反比例函数y=kx(k0)中比例系数k的值对函数图象的影响,并帮助学生通过规律性的总结,熟记反比例函数图象的特点.调整部分难度过大、综合性过强的训练试题,设置习题的目的以巩固知识、强化记忆为主.随堂练习(教材第153页)解:图(1)是反比例函数y=-2x的图象.因为图象的两分支位于第二、四象限.习题6.2(教材第154页)1.解:列表如下:x-6-3-1136y=6x-1-2-6621y=-6x126-6-2-1描点、连线,如图所示.2.解:不对,因为反比例函数中的x,y的值都不能为0,所以反比例函数的图象不可能与坐标轴相交.3.解:列表:x-3-2-1123y=2x-23-1-22123y=x-1-4-3-2012描点、连线,图象如图所示.可见y=2x与y=x-1的图象交于点(-1,-2)和点(2,1).若ab0,则正比例函数y=ax和反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的()解析ab0,b0时,正比例函数y=ax的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项;(2)当a0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C符合.故选C.某地资源总量Q一定,该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是()解析由题意,得Q= xn,x= Qn.Q为一定值,x是n的反比例函数,其图象为双曲线.又x0,n0,图象在第一象限内.故选B.第课时掌握反比例函数y=kx(k0)随着k值的不同在不同象限的增减性.激励学生在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质.调动学生的主观能动性, 积极参与教学活动,促使学生在学习中培养良好的情感态度与合作、交流的意识,提高观察、分析、抽象的能力.【重点】反比例函数y=kx(k0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【难点】反比例函数y=kx(k0)随着k值的不同在不同象限的增减性.【教师准备】反比例函数基本图象的投影图片.【学生准备】复习上一课时学过的k值不同,反比例函数y=kx(k0)图象所处的不同象限.导入一:在反比例函数y=kx(k0)中,k的值对函数的性质有什么影响呢?导入二:【提出问题】1.作函数图象的一般步骤是什么?2.一次函数图象是什么?它具有怎样的性质?3.我们知道反比例函数的图象是双曲线,那么它又具有怎样的性质呢?带着这个疑问我们一起走入今天的课堂.【师生活动】教师提出问题,找学生回答,并引出本节新课的内容.设计意图通过创设问题情境,引导学生复习一次函数的性质,激发学生参与课堂学习的热情,为学习反比例函数的性质奠定基础.过渡语研究反比例函数的性质,我们必须借助于反比例函数的图象.一、探究反比例函数的性质出示教材图6-4.【问题思考】(1)三个函数解析式的k值有什么特点?(2)当x取值-2,-4,-6时,y值是怎样变化的?(3)在第一象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?(4)在第三象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的?【小结】当k0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y的值随x值的增大而减小.出示教材图6-5.【问题思考】(1)三个函数解析式的k值有什么特点?(2)当x取-6,-4,-2时,y值是怎样变化的?(3)在第二、四象限内,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?【小结】当k0双曲线在第一、三象限内在每个象限内,y随着x增大而减小;ky2B.y1=y2C.y1y2D.无法确定解析:由反比例函数y=kx(k0)的图象位于第二、四象限内,可知k50,所以y1y2.故选A.2.对于反比例函数y=3x,下列说法正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限内C.x0时,y随着x增大而增大D.x0,所以图象位于第一、三象限内,故B选项错误;当k0,x0时,y随着x增大而减小,故C选项错误;当k0,x0时,y=ax+1经过第一、二、三象限,y=ax位于第一、三象限内;当a0时,y=ax+1过第一、二、四象限,y=ax位于第二、四象限内.故选C.4.设有反比例函数y=k-2x,(x1,y1),(x2,y2)为其图象上两点,若x10y2,则k.解析:(x1,y1),(x2,y2)为函数y=k-2x图象上两点,又x10y2,该反比例函数的图象位于第二、四象限内,k-20,解得k2.故填0时,在每一象限内,y的值随x的值的增大而减小;当k1时,函数值y的取值范围是()A.y1B.0y2D.0y22.若M-12,y1,N-14,y2,P12,y3三点都在函数y=kx(ky3y1B.y2y1y3C.y3y1y2D.y3y2y13.若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-1x的图象上的点,并且x10x2x3,则下列各式正确的是()A.y1y2y3B.y2y3y1C.y1y3y2D.y3y2y2y3B.y1y3y2C.y2y1y3 D.y3y2y15.如图,一次函数y1=k1x+b(b0)与反比例函数y2=kx(k0)的图象交于A(1,4),B(4,1)两点,若y1y2,则x的取值范围是.6.已知反比例函数y=(m-2)xm2-m-7的图象在每个象限内,y随着x增大而减小,求m的值.7.若点(-1,y1),(-3,y2),(2,y3)在反比例函数y=-1x的图象上,则y1,y2,y3的大小关系怎样?【能力提升】8.如图所示,已知反比例函数y=12x的图象与一次函数y=kx+4的图象交于P,Q两点,并且P点的纵坐标是6.(1)求这个一次函数的解析式;(2)求POQ的面积.【拓展探究】9.定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做“和谐点”.如图所示,矩形ABOC的周长与面积相等,则点A是“和谐点”.(1)判断点E(2,3),F(4,4)是否为“和谐点”;(2)若点P(a,b)是双曲线y=18x上的“和谐点”,求满足条件的所有P点坐标.【答案与解析】1.D(解析:反比例函数的图象过点A(-1,-2),由函数图象可知,当x-1时,-2y1时,0y2.故选D.)2.B(解析:比较y1,y2,y3的大小用特殊值法令k=-4把各x值代入关系式后求出y值再比较.)3.B(解析:由0x2y2,x10,而y2y3y3y2.)4.B(解析:由-(k2+1)y3y2.故选B.)5.x0或1x4(解析:通过观察图象,当图象在A,B之间时,一次函数的图象在反比例函数图象上方,同时,当x0时,一次函数的图象在反比例函数图象上方,所以x的取值范围是x0或1x0,解得m=3.7.解:由y=-1x,k=-10知函数的图象在第二、四象限内.在每个象限内,y随着x增大而增大,画草图如图所示.-3-1y20.而点(2,y3)在第四象限内,y3y2y3.8.解:(1)点P在反比例函数y=12x的图象上,且其纵坐标为6,12x=6,解得x=2,P(2,6),又点P在函数y=kx+4的图象上,6=2k+4,解得k=1.所求一次函数的解析式为y=x+4.(2)作PA垂直x轴于点A,QB垂直x轴于点B.解方程组y=x+4,y=12x,得x1=-6,y1=-2,或x2=2,y2=6.Q点的坐标为(-6,-2).令y=0,代入y=x+4得x=-4,故y=x+4的图象与x轴的交点是N(-4,0).PON和QON的公共边ON=4,ON边上的高分别为PA=6,QB=2.SPOQ=SPON+SQON=1246+1242=16.9.解:(1)2(2+3)=10,23=6,106,点E(2,3)不是“和谐点”,2(4+4)=16,44=16,16=16,点F是“和谐点”.(2)设P点的坐标为x,18x,由题意得出18=2x+18x.当x0时,整理,得x2-9x+18=0,解得x1=3,x2=6.当x0时,整理,得x2+9x+18=0,解得x3=-3,x4=-6.满足条件的P点的坐标为(3,6),(6,3),(-3,-6),(-6,-3).通过复习整理一次函数的相关知识,有效地引导了学生对反比例函数的学习.不但帮助学生建立起知识之间的练习,也降低了学习知识的难度.各种函数图象是学生比较难记忆的知识.在记忆反比例函数图象特点的时候,没有给予学生方法上的指导. 放手让学生借助于以往研究函数的方法,自我总结和探索反比例函数的性质.并给学生空白的表格,让学生对比一次函数的性质,自我尝试总结反比例函数的性质.随堂练习(教材第155页)1.解:(1)因为-60,所以反比例函数y=-6x的图象在每个象限内y随x的增大而增大.因为-6-4,所以y1y2.(2)因为-60,所以反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大,因为46,所以y3y4.(3)因为-60.当x=6时,y6y6.2.(1)(2)(3)(4)习题6.3(教材第157页)1.(1)(2)(3)(4)2.解:k=10,点(-1,y3)和点(-2,y4)都在第三象限.-2-1,y3y40.同理可知0y1y2.y3y4y1x20时, y10x2时,y1y2 ,当0x1x2时,y10,所以图象应位于第一、三象限内,为什么这位同学只画出了一支曲线,是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?【生1】第三象限的曲线不存在,因为这是实际问题,S不可能取负数,所以第三象限的曲线不存在.【师】很好,那么在(1)中是不是应该有条件限制呢?【生2】是,应为p=600S(S0).设计意图通过创设问题情境,让学生理解生活中反比例函数的应用,激发学生运用反比例函数解决问题的兴趣和热情.【教师总结】应用反比例函数解决实际问题时,关键是将实际问题转化为数学问题,建立反比例函数模型,首先要分清变量、常量、函数、自变量,其次建立函数与自变量的关系.在应用时,还要根据实际意义确定自变量的取值范围.问题2【课件2】如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(3,23). (1)分别写出这两个函数的表达式;(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.【教师提示】要求这两个函数的表达式,只要把A点的坐标代入即可求出k1,k2,求点B的坐标即求y=k1x与y=k2x的交点.解:(1)A(3,23)既在y=k1x的图象上,又在y=k2x的图象上,3k1=23,23=k23.k1=2,k2=6.表达式分别为y=2x,y=6x.(2)由y=2x,y=6x,得2x=6x,x2=3,x=3.当x=-3时,y=-23.B(-3,-23).设计意图在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现,这类试题不仅能考查两个函数的基本性质,而且能考查同学们综合分析问题的能力.一、探求同一坐标系下的图象在同一直角坐标系中,函数y=-kx+k与y=kx(k0)的图象大致是() 解析本题可采用排除法.由选项A,B的一次函数图象知-k0,即k0,则一次函数y=-kx+k的图象与y轴交点应在y轴负半轴上,而选项A,B都不符合要求,故都排除;由选项D的一次函数图象知-k0,则反比例函数y=kx(k0)的图象应在第一、三象限内,而选项D不符合要求,故也排除.所以本题应选C.故选C.解题策略本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出,有较强的综合性,解决这类问题常用排除法.二、探求函数解析式 如图,直线y=k1x+b与双曲线y=k2x(k20)只有一个交点A(1,2),且与x轴,y轴分别交于B,C两点,AD垂直平分OB,垂足为D,求直线与双曲线的解析式. 解析解决本题的关键是确定点B的坐标,由AD垂直于OB知点D和点A的横坐标应相同,所以点D的坐标为(1,0),又由AD平分OB知OB=2OD=2,所以点B坐标为(2,0),进而求出一次函数解析式.解:双曲线y=k2x过点A(1,2), 2=k21,k2=2,得双曲线的解析式为y=2x.AD垂直平分OB,A点的坐标为(1,2),B点的坐标为(2,0).y=k1x+b过点A(1,2)和B(2,0),k1+b=2,2k1+b=0,解得k1=-2,b=4,直线的解析式为y=-2x+4.三、探求三角形面积如图所
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