第七章 可修复系统可靠性

沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 可修复系统是指系统的组成单元发生故障之后 经过修理使系统恢复到正常工作状态 系统的修复时间是一个随机变量 影响因素 1 故障发生的原因 部位 程度 2 系统所处的环境 3 维修设备及修理人员水平 修复时间的长短和修复质量高低将影响设备的可靠性水平 沈阳理工大学装备工程学院 时间分类 拆卸 替换同类件时间 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修性及其特征量 1 维修性 可修复产品在规定的使用条件下 在规定的时间内 按照规定的程序和方法维修时 保持或回复到能完成规定功能的能力 2 维修性特征量 产品的维修性既是定性也是定量的描述产品维修能力 包括 维修度 修复率和平均维修时间 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修度 可维修产品在规定的使用条件下 在规定的时间内 按规定的程序和方法进行维修时 保持或恢复到能完成规定功能状态的概率 一般将维修度记为M 是维修时间 的函数 故称M 为维修度函数 令维修时间为随机变量T 则产品从发生故障后开始维修 到某一时刻 以内能完成修复的概率为 若在同一时刻 的维修度值越大 说明该产品修好的可能性越大 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修密度函数 如果维修度函数M 连续可导 则M 得导数即为维修密度函数 维修度函数 若已知维修密度函数m 则 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 修复率 修复率是指维修时间达到某一时刻 尚未修复的产品 在该时刻 后的单位时间内完成修复的概率 记作 称为修复率函数 也称维修率 平均修复率在某一规定时间间隔内修复率的平均值 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 平均修复时间 产品修复时间T是一个随机变量 平均修复时间是维修时间T的数学期望 一般记作MTTR 平均修复时间的观测值是修复时间的总和与已修复产品数之比 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修性特征量之间的关系 维修密度函数与维修度函数关系 维修度函数与无维修度函数 维修率与无维修度函数关系 维修率与维修度函数关系 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修时间受很多因素的影响 如维修产品 部位 损坏程度 维修人员的素质 维修工具 设备 工作环境条件及维修组织管理水平等 因此尽管是同样故障位置上的相同零件 且由同一个工人进行维修 两次维修所用时间也不一样 维修时间为随机变量服从一定的分布规律 一般按指数分布和对数正态分布处理 维修时间的分布函数 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修时间T服从指数分布 修复率 维修度函数 维修密度函数 平均修复时间 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 维修时间T服对数正态分布 维修密度函数 平均修复时间 维修度 修复时间标准差 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 例 某设备维修时间服从对数正态分布 经统计得其对数均值 对数标准差 试求 1 维修时间的均值及标准差 2 当维修时间 5h 及 10h的维修度 3 当维修度要求达到0 95时的时间 解 1 求维修时间的均值及标准差 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 2 维修度 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 3 查表得 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 有效性 在规定条件下使用的产品 在规定维修条件下 在规定的维修时间内 在某一时刻具有或维持其规定功能处于正常的运行状态的能力 有效性特征量 有效度 产品的有效度是可修复产品功能处于正常状态的概率 表示的事产品固有可靠度和维修度的综合可靠度 因此有效度应该是工作时间t和维修时间 的函数 记为A t 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 1 按工作时间取值 瞬时有效度 瞬时有效度是产品在规定使用条件下 在某时刻t具有或维持其规定功能的概率 一般记为A t 是时间t的连续函数 有效度分类 平均有效度 在某个规定时间间隔 t1 t2 内有效度的平均值记为Am t1 t2 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 稳态有效度 稳态有效度是当时间t趋于无限时 瞬时有效度的极限值 记作A 当工作时间和维修时间服从指数分布时 稳态有效度为 失效率 修复率 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 2 按维修时间取值 固有有效度 考虑事后维修影响的有效度 反映产品设计时所赋予的有效性 维修有效度 考虑到预防维修时间时产品的有效度 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 工作有效度 工作有效度是可能工作时间对可能工作时间与不能工作时间之和的比值 可能工作时间包括实际工作时间和待机时间 不可能工作时间包括事后 预防维修时间 其他如延误时间 保养时间等其他不能工作时间 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 简单系统的有效度计算 1 只允许修理一次时系统的有效度 当系统作为一个整体来研究 在总的工作时间内 系统发生故障只允许修理一次 且与总工作时间t相比维修时间 是十分短的 在这种情况下 系统的有效度可以有下式确定 上式表明该系统无故障工作到时刻t 系统发生了故障 其可靠度R t 失效概率为F t 在较短的时间 内维修度为M 故通过维修而有效度的增量为F t M 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 若假定系统工作时间t及发生故障后的修复时间 均服从指数分布 及R t e t M 1 e 其中 为失效率 为修复率 则 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 2 简单系统多次修复的有效度 对于简单系统 只具有正常工作状态 R 和故障状态 F 两种状况 由于系统是可维修的系统 处于工作状态的简单系统由于出现故障而转移到故障状态 而处于故障状态的系统又由于修复而转移到正常状态 系统的状态转移图 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 由于系统由一种状态转移到另一种状态的过程是完全随机的 这种随机转移的过程就称为随机过程 即随时间t而变化的一组随机变量X t 在研究系统故障 工作两种状态互相转换的过程引入马尔柯夫过程 沈阳理工大学装备工程学院 马尔柯夫过程 在随机过程中 如果描述系统的变量从一个状态的特定值变化到另一个状态的特定值时 就说系统实现了状态的转移 由一种状态转移到另外一种状态是以一定的概率实现的 此概率称为 转移概率 而转移概率只需要考虑过去有限次之内状态情况 而这与有限次以前的状态无关 这种随机过程就称为 马尔柯夫过程 如果一个状态转移到另一个状态的转移概率只与现在所处状态有关 而与这一状态以前的各个状态完全无关 这样的过程就称为一步马尔柯夫过程 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 已知时间t1 t2 tn 1对应所处状态为X t1 X t2 X tn 1 只要前一个状态X tn 1 一经决定 转移到时刻tn的状态X tn 的条件概率即可写成 X tn 表示处于时间tn的状态 说明X t1 X t2 X tn 1 这n 1个状态下的条件概率等于X tn 1 状态下的条件概率 只要前一个状态X tn 1 一经确定 则X tn 状态概率就可以确定了 更改以前各状态不影响现在状态的性质称为马氏性 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 假定用 0 表示系统为正常状态 用 1 表示为故障状态 并用随机变量X t 表示系统在t时刻的状态 则 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 由t经 t时间状态转移概率为 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 令 利用全概率公式可得 由于 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 微分方程组 解得 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 则 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 1 当开始时刻 t 0 系统处于工作状态 即初始条件为P0 0 1 P1 0 0 可知 由于P0 t 是系统处于工作状态的概率 也是系统的有效度A t 即 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 2 开始时刻 t 0 系统处于故障状态 即初始条件为P0 0 0 P1 0 1 此时系统的有效度为 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 3 如果t 系统的稳态有效度A 不论初始状态如何都有 系统已运行了很长一段时间 处于平稳状态 其稳态有效度与初始状态无关 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 系统有效度的计算 1 串联系统的有效度计算 1 n个相同单元 一组维修工情况 由n个相同单元组成的串联系统 单元寿命服从指数分布 其失效率为 只有n个单元均正常工作时 系统才能正常工作 其中任一单元失效 系统就失效 当处于故障状态后 维修组立即进行修理 在修理期间 未发生故障单元也处于停工状态 当故障单元被修复后 n个单元又进入工作状态 系统恢复正常 沈阳理工大学装备工程学院 这种系统只有两个状态 0 工作状态 1 故障状态 当n个单元相互独立时 可以将该系统的状态及其转移关系形式上与单一设备情况一样 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 n个单元均以 向故障状态转移 而一旦某一单元失效 则以 向工作状态转移 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 解微分方程 则有 沈阳理工大学装备工程学院 1 当初始条件 t 0 P0 0 1 P1 0 0时 得特解 系统的有效度为 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 2 当初始条件 t 0 P0 0 0 P1 0 1时 得特解 系统的有效度为 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 3 如果t 系统的稳态有效度A 有 第7章可修复系统的可靠性 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 2 n个不同单元的串联系统 一组维修工 系统由n个不同的单元串联组成 每个单元寿命分布服从指数分布 其故障率分别为 i i 1 2 n 每个单元的修复率分别为 i i 1 2 n 其状态转移图如图所示 其中 0 表示系统正常工作状态 i i 1 2 n 表示第i个单元故障 其它单元均正常 此时系统处于故障状态 一组维修工个 发生故障立即进行修复 系统各个状态的转移概率为 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 转移概率为 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 根据转移概率得到矩阵方程 由 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的可靠性 2 并联系统有效度的计算 1 n个相同单元 一组维修工情况 有n个相同单元组成的并联系统 一组维修工时 假定单元寿命和维修时间均服从于指数分布 其故障率为 修复率 而且各个单元互相独立 其可能状态有 沈阳理工大学装备工程学院 第7章可修复系统的