平行四边形的应用动点问题

泉港区天竺中学郑忠山 平行四边形的应用 动点问题 引言 动点问题常见的类型有 单动点型 双动点型及多动点型 本节课重点来探究平行四边形的应用之动点问题 图形中的点 线运动 构成了数学中的一个新问题 动态几何 该题型常常集几何 代数知识于一体 渗透数学思想方法 特别是方程思想 数形结合思想 分类讨论思想等的运用 有较强的选拔功能 故为近年的热点中考压轴题 它通常分为三种类型 动点问题 动线问题 动形问题 如何解动点型问题 知识回顾 1 平行四边形的性质 2 平行四边形的判定 平行四边形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 对称性边角对角线 边角对角线 例1 已知 在四边形ABCD中 AD BC AB AD 点Q是BC边上一定点 AD 12cm CQ 2cm 点P从点A出发沿AD边以1cm s的速度向D运动 设运动时间为t秒 则当t 秒时 四边形PQCD是平行四边形 分析 这是一道单动点型的动点问题 1 AP PD 用含t的代数式表示 2 若四边形PQCD是平行四边形 只需条件 因此可列方程 t 12 t PD CQ 12 t 2 10 解题策略 动中求静 化动为静 构建方程模型 运用了数形结合 方程思想 合作交流 探索新知 变式1 在四边形ABCD中 AD BC AB AD AD 12cm BC 21cm 点P从点A以1cm s的速度向点D运动 同时点Q从点C以1 5cm s的速度向点B运动 设运动时间为t秒 问当t为何值时 以P D C Q为顶点的四边形是平行四边形 分析 这是一道双动点型的动点问题 1 AP PD CQ BQ 用含t的代数式表示 2 若四边形PQCD是平行四边形 只需条件 因此可列方程 t 12 t PD CQ 12 t 1 5t 1 5t 21 1 5t 合作交流 探索新知 变式1 在四边形ABCD中 AD BC AB AD AD 12cm BC 21cm 点P从点A以1cm s的速度向点D运动 同时点Q从点C以1 5cm s的速度向点B运动 设运动时间为t秒 问当t为何值时 以P D C Q为顶点的四边形是平行四边形 解 依题意得 AP t CQ 1 5t 则PD 12 t AD BC 即PD CQ 当PD CQ时 四边形PQCD是平行四边形 12 t 1 5t解得t 4 8 当t 4 8秒时 四边形PQCD是平行四边形 合作交流 探索新知 变式2 在四边形ABCD中AD BC AB AD AD 12cm DC 15cm BC 21cm AB 12cm 点P从点A以1cm s的速度向点D运动 同时点Q从点C以1 5cm s的速度向点B运动 当其中一点停止运动时 另一点也停止运动 设运动时间为t秒 1 填空 AP BQ 用含t的代数式表示 2 若 PBQ的面积为S 求出S与t的函数关系式 并写出自变量t的取值范围 t 21 1 5t 解 BQ 21 1 5t AB 12 S BQ AB 21 1 5t 12 即S 9t 126 0 t 12 P Q 合作交流 探索新知 变式2 3 若点P从点A以1cm s的速度沿A D C B方向运动 同时点Q从点C以1 5cm s的速度沿C B A D方向运动 在P Q运动过程中 问是否存在以点P D C Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出t的值 若不存在 请说明理由 探究动点关键 化动为静 分类讨论 关注全过程 P Q P Q 图 合作交流 探索新知 解 3 存在 tp 12 15 21 1 48 秒 tQ 21 12 12 1 5 30 秒 Q先到达 合作交流 探索新知 1 若P在AD上 Q在BC上时 如图 依题意得PD 12 t CQ 1 5t当PD CQ时 四边形PQCD是平行四边形则12 t 1 5t 解得t 4 8 2 若P在BC上 Q在AD上时 如图 依题意得QD 45 1 5t PC t 27当QD PC时 四边形QPCD是平行四边形则45 1 5t t 27 解得t 28 8 综上所述 存在以P D C Q为顶点的四边形是平行四边形 其中t 4 8秒或t 28 8秒 中考演练 如图 在四边形ABCD中 AB DC AD BC 5 DC 7 AB 13 点P从点A出发 以每秒3个单位的速度沿AD DC向终点C运动 同时点Q从点B出发 以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动 在运动期间 当四边形PQBC为平行四边形时 运动时间为 秒 A 3B 4C 5D 6 A 分析 建立方程模型求解设运动时间为t秒 则PC BQ 可列方程 12