4角动量动能功

2 5质点的角动量定理与角动量守恒定律 一 力矩 由右手螺旋法则确定 矢量 方向 大小 定义 力F对固定O点的矩 力矩必须指明对那一固定点而言 垂直于构成的平面 何时 0 直角分量表示 二 角动量 动量矩 定义运动质点对固定点O的角动量 矢量 大小 方向 右手螺旋法则确定 平面圆周运动 对圆心 直线运动 1 垂直于构成的平面 2 必须指明对那一固定点 三 质点的角动量定理 惯性系中 质点所受合力对某一固定点的力矩等于质点相对同一点的角动量的时间变化率 如M 0 则角动量L为常矢量 1 必须对同一点 注意几点 2 合外力矩 3 惯性系成立 角动量守恒定律 L方向不变说明轨道面是平面 例分析行星运动 L rmvsin 常量 r远v远 r近v近 矢径单位时间扫过的面积是常量 r远 r近 v远 v近 与在一直线上 在近日点与远日点sin 1 rvsin 常量 dS dt 常量 1 2 rsin vdt dS 开普勒第二定律 开普勒第三定律 a3 T2 常数 四 质点系的角动量定理 一对内力矩的和 五 角动量守恒定律 一对内力对某固定点的力矩之和为零 2 内力矩可以改变各质点的角动量 但不改变质点系的总角动量 1 所有的力矩以及角动量都是对同一点的 注意 例 体重相同的甲乙两人 分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端 忽略滑轮和绳子的质量 当他们由同一高度由静止向上爬 相对绳子 甲的速率是乙的两倍 则到达顶点的情况是 A 甲先到达B 乙先到达C 无法确定D 同时到达 解 选甲乙两人 绳子和滑轮为系统 系统受到的外力 因为外力对中心O点的力矩为零 所以系统的动量矩守恒 甲乙两人相对地面的速度任何时刻都相等 不论两人相对绳的速率如何 从地面上看 两人总是同时到达顶端 例球1 球2固定在一根长为2a的轻质硬杆两端 杆可在光滑水平面上绕中心O点转动 初时静止 球3以垂直于杆的水平速度v0与球2碰撞而粘在一起 求撞后杆的角速度 设m1 m2 m3 m 系统的动量是否守恒 m3v0a m1va m2 m3 va m3v0a m1 a a m2 m3 a a 如果O点不在杆中心 角动量守恒 NO 2 6功 一 功 1 恒力的功 功是标量 物体作直线运动 2 变力的功 受变力作用 物体作任意曲线运动从a至b 微功元 功是过程量 质点受多个力时 合力作功 各分力作功的代数和 A1 A2 An 二 功率 平均功率 瞬时功率 例1重力作的功 重力作功与路径无关只与始末位置有关 物体上升时 重力作负功 A0 重力为保守力 例2万有引力作功 功只与始末位置有关万有引力为保守力 例3弹性力的功 弹力作功只与始末位置有关 弹性力为保守力 质点沿任一闭合路径acbda运动一周 保守力 非保守力 重力的功 万有引力的功 弹性力的功 dt时间m1m2分别位移 内力作功 一对力所做的功与无关即与参照系的选择无关 只与相对位置的变化有关 一对力的功 可用一个力的功来计算 只要假设其中一个质点静止不动 计算另一质点相对静止质点的位移 求一个力所做的功即可 分析一对内力的功 两质点的相对位置 2 7动能定理 一 质点的动能定理 或者 动能定理的微分形式 动能定理积分形式 合力对质点所做的功等于质点动能的增量 二 质点系的动能定理 N个质点受外力和内力 内力虽然成对出现 但相互作用的两质点位移不一定相同 所以一般A内 0 内力不能改变系统的总动量 也不能改变系统的总角动量 但可以改变系统的总动能 注意 1 Ek为状态量2 功与过程有关是动能增量的量度3 惯性系成立 例题1 一链条总长为L 质量为m 放在桌面上靠边处 并使其一端下垂的长度为a 设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 链条由静止开始运动 求 1 到链条离开桌边的过程中 摩擦力对链条作了多少功 2 链条离开桌边的速率是多少 x 解 下垂链条 设在某一时刻 链条下垂的长度为x 桌面上链条长为L x 线密度 桌面上链条的重量 链条受到桌面的摩擦力 对链条应用动能定理 例题2 有一面为1 4凹圆柱面 半径R 质量M 的物体放置在光滑水平面上 一质量m的小球 从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落 如图 从水平方向飞离大物体 求 此过程中 1 重力所做的功 2 内力所做的功 解 小球的重力做功 水平方向无外力 系统保持水平方向动量守恒 对m 内力所做的功 对M 内力所做的功 W12 W21 0 内力功和为零 例题3 一根质量为M 长度为L的链条 被竖直地悬挂起来 最低端刚好与秤盘接触 今将链条释放并让它自由落到秤上 证明 链条下落长度为x时 秤的读数为N 3Mgx L 链条质量线密度 M L F0 xg Mgx L 考虑正和秤盘相碰的dx一段链条 dm dx v2 0 作用时间dt Fdt 0 dm v1 F dm v1 dt v1dx dt v12 2Mgx L 方向向上 N F0 F 练习 一个半径为R的水平圆盘以恒定角速度 作匀速转动 一质量为m的人开始时相对圆盘静止 要从圆盘边缘走到圆盘中心处 圆盘对他做的功为 解 选地面参考系 人在圆盘上行走 所谓圆盘对人作的功 即摩擦力对人作功 运用动能定理 起点处 人相对圆盘的速度 起点处的牵连速度 终点的速度 练习 质量m 2Kg的质点 零时刻从静止出发沿x轴作直线运动 受力为 试求从初时至t 3秒时力所做的功 v2 27 m s 27 m s a F m 6t 2 8势能 势能定义 如物体之间存在相互作用的保守内力 则存在由相对位置 位形 决定的能量函数 称为势能 设位形1时质点系统的势能为 设位形2时质点系统的势能为 定义保守内力的功等于势能的减量 选定某一参考位形作为标准位形 规定其势能为零 质点系在任意一给定位形时的势能值 一对保守力作功与路径无关 只取决于系统的始末相对位置 位形 存在由位形决定的函数EP 势能函数 保守力作功以损失势能为代价 EP1 A1 2 EP1 EP2 EP2 0 保守力作功 势能变化 由两位形势能函数增量可计算保守内力的功 注意 1 只对存在保守内力的系统2 势能值是相对的 与势能零点的选择有关 任意两相对位置的势能差值是一定的3 势能是一状态函数 代表一个与相对位置状态相关的能量4 势能为以保守力相联系的系统所共有 例1重力势能 势能减少 势能增加 Aab 如选EP2 0 EP1 mgh1 mgh2 如选h 0为位形2 势能为0 势能曲线 选取h h0为标准位形 势能为0 条件下的势能曲线 例2万有引力势能 万有引力的功 根据势能定义式 则有 地面上高h处 r0 rB 地球表面附近重力mg 弹簧拉力作功 x1 x2为变形量 设x2 0时系统势能为0 例3弹性势能 如取物体在x2 x0处势能为0 则 势能曲线 2 9功能原理机械能守恒定律 二 机械能守恒定律 一 功能原理 质点系的动能定理 内力可分为非保守内力和保守内力 A非保内 A保内 Ep1 Ep2 机械能增量 机械能 A非保内 0 A外 0 或系统不受外力与非保守内力 机械能守恒 更普遍地 孤立系统能量守恒 注意 条件是和外力的功为0 不是和外力为0 例一个物体沿曲线运动 物体质量为50克 h 20m v1 18m s v2 20m s 求空气的摩擦阻力所作的功Ak 解 根据功能原理 A外 Ak E2 E1 无外力 A外 0 Ak E2 E1 mgh2 1 2m v2 2 mgh1 1 2m v1 2 70J 能量转换与守恒定律 2 10航天器的宇宙速度 一 第1宇宙速度 二 第2宇宙速度 要飞离地球必须 绕地球飞行的最低速度 物体飞离地球的引力范围所需的最小初速度 2012年1月15日出现意外 未按计划变轨 坠落回地球 三 第3宇宙速