广东省惠东中学2012届高三第二学期第一次月考(数学理).doc

第 1 页 FC BA ED 广东省惠东中学广东省惠东中学20122012届高三第二学期第一次月考届高三第二学期第一次月考 数学数学 理科理科 本试卷共4页 21小题 满分150分 考试用时l20分钟 参考公式参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面积 为锥体的高 1 3 VSh Sh 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共8 8小题 每小题小题 每小题5 5分 满分分 满分4040分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 1 集合 则 2 1 Ax yxxZ A B C D iA 2 iA 3 iA 4 iA 2 已知倾斜角为的直线 与直线平行 则的值为 l220 xy tan2 A B C D 4 5 3 4 4 3 2 3 3 已知是定义在上的奇函数 当时 为常数 则的值为 f xR0 x 3xf xm m 3 log 5 f A 4 B C 6 D 4 6 4 双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为 2 2 1 3 x y A 1 B C D 223 5 是 函数有零点 的 2a 2xf xax A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图 已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形 则的值为 BABCCF A B C D 3 4 3 2 3 2 3 2 第 6 题图 7 已知向量 且 若变量 x y 满足约束条件 则 z 的最 1 2 axzbyz ab 1 325 x yx xy 大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 已知函数 则不等式的解集为 1 f xxxxR 1 4 f x A B C D 12 2 1 2 12 12 22 12 2 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 第 2 页 O B A C P 主 主 主 主 主 主 主 主 主 24主主 主主主 主 主主主 主主 主主 160 3 120 3 100 3 60 3 40 3 80 3 20 3 主主 主主 0 1050 1000 0950 0900 0850 0800 0750 0700 0650 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 设 i是虚数单位 若复数为纯虚数 则实数 的值为 1 ai i a 10 设是等差数列的前项和 且 则 n S n an 15 1 9aa 6 S 11 近年来 随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀 升 机动车保有量急剧增加 我国许多大城市灰 霾现象频发 造成灰霾天气的 元凶 之一是空气 中的 pm2 5 直径小于等于 2 5 微米的颗粒物 右图是某市某月 按 30 天计 根据对 pm2 5 24 小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直 方图 若规定空气中 pm2 5 24 小时平均浓度值 不超过 0 075 毫克 立方米为达标 那么该市当月 有 天 pm2 5 含量不达标 第 11 题图 12 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门相同的选法共有 种 用数字作答 13 某几何体的三视图如图示 已知其主视图的周长为 6 则该几何体 体积的最大值为 二 选做题 二 选做题 14 15 题 题 考生只能从中选做一题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 直线被圆 2 1 xt t yt 为参数 所截得的弦长为 第 13 题图 35cos 1 5sin x y 为参数 0 2 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 从圆O外一点 P 引圆的切线 PC 和割线 PBA 已知 PC 2PB 则的长为 3BC AC 第 15 题图 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 sincos f xxx xR 1 求函数的最小正周期 f x 2 求函数的最大值和最小值 f x 3 若 求的值 1 0 42 f sincos 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某产品按行业生产标准分成个等级 等级系数依次为 其中为标准 为8 1 2 8 5 A3 第 3 页 F E D P 标准 产品的等级系数越大表明产品的质量越好 已知某厂执行标准生产该产品 且该厂的产品都BB 符合相应的执行标准 1 从该厂生产的产品中随机抽取件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 30 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品 等级系数的为二等品 等级系数的为7 57 35 三等品 试分别估计该厂生产的产品的一等品率 二等品率和三等品率 2 已知该厂生产一件该产品的利润 y 单位 元 与产品的等级系数的关系式为 从该厂生产的产品中任取一件 其利润记为 用这个样本的频率分布估计总 1 35 2 57 4 7 y X 体分布 将频率视为概率 求的分布列和数学期望 X 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数是的一个极值点 32 1 2 3 f xxbxxa 2x f x 1 求函数的单调区间 f x 2 若当时 恒成立 求的取值范围 1 x 2 2 3 f xa a 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB BC 的中点 将 BEF 剪去 将 AED DCF 分别沿 DE DF 折起 使 A C 两点重合于点 P 得一三棱锥如图 示 1 求证 PDEF 2 求三棱锥的体积 PDEF 3 求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值 第 19 题图 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知定点 A 3 0 MN 分别为 x 轴 y 轴上的动点 M N 不重合 且 点 P 在直线 MNMNAN 上 3 2 NPMP 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 设点 Q 是曲线上任一点 试探究在轨迹 C 上是否存在点 T 使得点 T 到点 Q 22 8150 xyx 第 4 页 的距离最小 若存在 求出该最小距离和点 T 的坐标 若不存在 说明理由 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知 为常数 1 1 3 x 2 1nnn xxxa nN a 1 若 求证 数列是等比数列 1 4 a 1 lg 2 n x 2 在 1 条件下 求证 51 62 n n xnN 3 若 试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间 并加以证明 0a 2011 1 1 1 n n x 数学试题数学试题 理科理科 参考答案及评分说明参考答案及评分说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 可视二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 可视 影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错 误 就不再给分 误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数四 只给整数分数 一 选择题 一 选择题 BCBA ACCD 解析 解析 1 故选 B 1 0 1 A 2 1i 2 依题意知 从而 选 C 1 tan 2 2 2tan4 tan2 1tan3 3 由是定义在上的奇函数得 f xR 0 101fmm 选 B 3 log 5 33 log 5 log 5 31 ff 4 4 双曲线的一个焦点为 一条渐近线方程为 可得焦点到它的渐近线的距离为 2 0 1 3 yx 选 A 20 1 3 1 5 若 则函数必有零点 反之函数2a 2xf xax 2xf xax 有零点 未必为 2 故选 A a 1 1 y 2x x 1 3x 2y 5 0 y x o y x 第 5 页 6 由余弦定理得 1 1 1 2 1 1 3 2 BF 选 C 3 13cos30 2 BABCCFBA BF 7 点的可行域如图示 ab 2 02xzyzzxy x y 当直线过点 1 1 时 Z 取得最大值 选 C 2zxy max 2 13z 8 在同一坐标系内作出函数和的图象如图 1 f xx x 1 4 y 利用数形结合易得答案选 D 二 填空题 二 填空题 9 10 36 11 27 12 30 13 14 15 1a 822 3 解析 解析 10 易得 6616 11 3 36aSaa 11 该市当月 pm2 5 含量不达标有 天 801001601206020 0 005 3027 333333 12 间接法 种 直接法 分成两类 有一门相同的有种 两门相同的有 2222 4442 30CCC C 111 432 C C C 种 至少一门相同有 种 2 4 C 1112 4324 30C C CC 13 由三视图知 该几何体为圆柱 设其底面的半径为 高为 则 rh42623rhrh 当时 成立 或 2 Vr h 3 3 rrh rh 2 Vr h 2 3 2 rr 令得 当时 当时 2 2 32 2 6 1 Vrrrrr 0V 1r 0 1 r 0V 1 r 故当时 有最大值 0V 1r V max V 14 把直线和圆的参数方程化为普通方程得 于是弦心距 01 yx 22 3 1 25xy 弦长 2 23 d 9 2 2582 2 l 15 PCBPACCPBAPC PBC PCA 1 2 3 2 PBBCBC AC PCACAC 三 解题题 三 解题题 16 解 1 2 分 sincos2sin 4 f xxxxxR 函数的最小正周期 3分 f x2T 第 6 页 2 函数的最大值和最小值分别为 5 分 f x2 2 3 解法 1 由得 1 4 f 1 sincos 4 6 分 2 1 sincos 16 7 分 115 1sin2 sin2 1616 9 分 2 1531 sincos 1sin21 1616 0 2 sincos0 12 分 31 sincos 4 解法 2 由得 6 分 1 4 f 11 2sin sin 4444 2 7 分 0 2 444 cos 0 4 9 分 2 162 cos 1 sin 1 44328 11 分sincos2cos 4 2cos 4 12 分 31 4 17 解 1 由样本数据知 30 件产品中等级系数有 6 件 即一等品有 6 件 二等品有 9 件 三7 等品有 15 件 3 分 样本中一等品的频率为 故估计该厂生产的产品的一等品率为 4 分 6 0 2 30 0 2 二等品的频率为 故估计该厂生产的产品的二等品率为 5 分 9 0 3 30 0 3 三等品的频率为 故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 6 分 15 0 5 30 0 5 2 的可能取值为 1 2 4X 用样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 由 1 可得 8 分 1 0 5P X 2 0 3P X 4 0 2P X 可得的分布列如右 10 分X 其数学期望 元 12 分1 0 52 0 34 0 21 9EX 18 解 1 且是的一个极值点 2 22fxxbx 2x f x 2 分 2 4420fb 3 2 b 4 分 2 32 1 2 fxxxxx X124 P X 0 50 30 2 第 7 页 P D E F M F E D P 由得或 函数的单调增区间为 6 分 0fx 2x 1x f x 1 2 由得 函数的单调减区间为 8 分 0fx 12x f x 1 2 2 由 1 知 函数在上单调递减 在上单调递增 f x 1 2 2 当时 函数取得最小值 10 分2x f x min 2 f xf 2 3 a 时 恒成立等价于 12 分 1 x 2 2 3 f xa 2 min 2 1 3 af xx 即 14 分 2 001aaa 19 1 证明 依题意知图 折前 ADAE CDCF 2 分 PDPE PFPD 平面 3 分PEPFP PD PEF 又 平面 4 分EF PEFPDEF 2 解法 1 依题意知图 中 AE CF PE PF 在 BEF 中 5 分 1 2 1 2 2 2 2 EFBE 在中 PEF 222 PEPFEFPEPF 7 分 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 PFPES PEF 8 分 1 3 P DEFD PEFPEF VVSPD 111 1 3824 2 解法 2 依题意知图 中 AE CF PE PF 1 2 1 2 在 BEF 中 5 分 2 2 2 EFBE 取 EF 的中点 M 连结 PM 则 6 分PMEF 22 2 4 PMPEEM 7 分 11221 22248 PEF SEF PM 8 分 1 3 P DEFD PEFPEF VVSPD 111 1 3824 3 由 2 知 又 平面 10 分PFPE PEPD PEPDF 为 DE 与平面 PDF 所成的角 11 分PDE 在中 PDERt 12 分 22 15 1 42 DEPDPE 1 2 PE 第 8 页 B Q T y x o 14 分 5 5 2 5 2 1 sin DE PE PDE 20 解 1 设点 M N 的坐标分别为 点 P 的坐标为 0 0 ab0 0ab x y 则 3 ANb NMab MPxa y NPx yb 由得 2 分MNAN 2 30ab 由得 3 分 3 2 NPMP 33 22 xxayby 代入 得 5 分 11 32 ax by 2 4yx 0 0ab 0 0 xy 动点 P 的轨迹 C 的方程为 6 分 2 4yx 0 x 2 曲线即 是以 B 4 0 为圆心 以 1 为半径的圆 设 T 为 22 8150 xyx 22 4 1xy 轨迹 C 上任意一点 连结 TB 则 8 分 TQQBTB 1TQTB 当最小时 最小 9 分 TB TQ 点 T 在轨迹 C 上 设点 2 4 m Tm0m 11 分 2 22 4 4 m TBm 22 1 8 12 16 m 当 即时 有最小值 12 分 2 8m 2 2m TB min 2 3TB 当时 2 8m 2 2 4 m 在轨迹 C 上存在点 T 其坐标为 使得最小 14 分 2 2 2 TQ min 2 31TQ 21 证明 1 2 1 1 4 nnn xxx 1 分 22 1 111 242 n