勾股定理的证明方法.doc

证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上， 且RtGEF RtEBD， EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形。 ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD， ABC = EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A2+B2=C2 证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点 F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一个矩形，即MBC = 90。 QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF.即A2+B2=C2 证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， 早速RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90， ABG +CBJ= 90， ABC= 90， G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2。 证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CLDE， 交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于， GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 即A2+B2=C2 证法5（欧几里得的证法）几何原本中的证明 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。CAB和BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。CBD和FBA皆为直角，所以ABD等于FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2; = BDBK + KLKC。由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的 证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）如图1，RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下： （1）（BD）2;=ADDC， （2）（AB）2;=ADAC ， （3）（BC）2;=CDAC。 由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD）AC=（AC）2；， 图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。 图1证法七（赵爽弦图）在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2 =c2； 化简后便可得：a2 +b2 =c2; 亦即：c=(a2 +b2 )1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。 1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。 2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於汉学研究， 1989年第7卷第1期，255-281页。 3. 李国伟： 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章。刊於第二届科学史研讨会汇刊， 台湾，1991年7月， 227-234页。 4. 李继闵：商高定理辨证。刊於自然科学史研究，1993年第12卷第1期，29-41页。 5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於数学传播20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页 证法8（达芬奇的证法） 达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EBCF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A和角D都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以BAD=FAD=CDA=EDA=45，那么很明显，图三中角A和角D都是直角。 证明： 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OFOE 第三张中多边形ABCDEF的面积S2=S正方形BCEF+2CDE=EF2+CDDE 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OFOE=EF2+CDDE 又因为CD=CD=OE,DE=AF=OF 所以OF2+OE2=EF2 因为EF=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。 证法9从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下： b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 角三角形。 （简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2 - b2 + a2 = c2; a2 + b2 = c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。 证法10在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。 令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d 1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosAb/d+cosBa/d=cosAsinB+cosBsinA=a/ca/c+b/cb/c =(a2+b2)/c2=1 所以a2+b2=c2 得证。 赞同勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。1中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。2希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。容易看出，ABA AAC 。过C向AB引垂线，交AB于C，交AB于C。ABA与正方形ACDA同底等高,前者面积为后者面积的一半，AAC与矩形AACC同底等高，前者的面积也是后者的一半。由ABAAAC，知正方形ACDA的面积等于矩形AACC的面积。同理可得正方形BBEC的面积等于矩形BBCC的面积。于是， S正方形AABB=S正方形ACDA+S正方形BBEC，即 a2+b2=c2。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其几何原本中的证法。以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 全等形的面积相等； 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于周髀算经之中的论文勾股圆方图注中的证明。采用的是割补法：如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。如图，S梯形ABCD= (a+b)2= (a2+2ab+b2)， 又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 比较以上二式，便得a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，R