婆什迦罗对佩尔方程求解改1.doc

成绩（采用四级记分制）诚信声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。特此声明。论文作者签名： 日 期： 年 月 日摘 要 婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，他在数学方面的成就对于古印度数学的发展颇为重要。他对于不定方程有着特别的兴趣，最有独创性的成就是对婆罗摩笈多关于佩尔（Pell）方程的特殊解法进行改进，将其变为一般解法并称之为循环法（Chakravala方法）。佩尔方程是最古老的数论方程之一，它作为二次不定方程的经典代表一直深受着各界数论研究者的高度关注。婆什迦罗对于佩尔方程的求解方法较为巧妙，但因为他并没有做出详细的求解和证明过程，所以此方法并未被欧洲后来学者们过多关注。本论文的主要工作是：1. 对婆什迦罗对佩尔方程的求解方法进行研究，求证Chakravala方法的可行性以及有关此方法的一些论证。2. 以佩尔方程为代表的二次不定方程在现今数论研究中的求解方法，以及佩尔方程的应用，并探讨这些方法中有无对婆什迦罗求解方法的借鉴。关键词：婆什迦罗，佩尔方程，求解方法AbstractBhskara,as the greatest mathematician and astronomer in India ancient and medieval times, his mathematics achievements are important to the ancient Indian mathematics development. To volatile equation he shows a special interest in it, what the most creative achievement is the improvement to the special solution of Pell equation, he turned it to a general solution and called it Chakravala method. Pell equation is one of the most ancient number theory equations, researchers has high attention on it fot it is a classic representative of Secondary diophantine equation. Bhskara has a clever way to slove the Pell equation, but because of he didnt give a detailed solution and proof process,this method didnt owned too much attention by Scholars in Europe .The aims of this passage are as follow:1.researching the special solution of Pell equation given by Bhskara,and proving The feasibility of Chakravala method and the relevant some demonstration .2.Pell equation, as a representative of the secondary diophantine equation in today in the study of number theory method, we can figure out whether these methods have references to the solution given by Bhskara.Keywords：Bhskara；Pell equation；the solution 目 录1 引 言11.1 论文选题的背景、目的和意义11.2 相关理论11.2.1 “库塔卡”（Kuttaka）法则21.2.2 “瑟马萨”组合22 概 述32.1 了解婆什迦罗32.2 佩尔方程的概述43 婆什迦罗对佩尔方程的求解53.1 Chakravala求解法的理论知识53.2 Chakravala求解法的实例64 Pell方程现今的求解方法74.1 用渐进分数法求解Pell方程74.2 用Pell方程的分数解求整数解85 结论与展望9参考文献101 引 言1.1 论文选题的背景、目的和意义对于佩尔方程的求解问题最早是由古希腊数学家阿基米德在其“阿基米德牛群问题”中提出的，阿基米德将这一问题最后转化为求解这一佩尔方程的问题。1自此之后，各界数学家都在为找出求解佩尔方程解的方法做着各自的研究，而对于其第一个最有意义的进展是由古印度数学家婆罗摩笈多在公元628年给出的，他描述了如何用已知的佩尔方程的解去求出此方程的一个新解，并称这种方法为Samasa。此后印度数学出现了相当长的一段时间的死寂，直到公元1150年，婆什迦罗在婆罗摩笈多方法的基础上对佩尔方程给出了一个很巧妙的方法来求其初始解，他自己称这种方法为循环法，这种类型的论证现在被称为“费马递降法”。2可是令人遗憾的是，这一很具有历史意义的研究直到十七世纪才被欧洲人了解和取代。1657年2月，欧洲数学家费马（Femat）给费雷尼克尔（B.frenicle）的信中重新提出了当D为正的非完全平方数时，求解二次不定方程有无穷多组正整数解的问题，并且以此问题向所有数学家提出了挑战。英国皇家学会的第一任会长布朗克尔勋爵（Lord Brouncker）求出了方程的解，但未能证明出解有无穷多个。瓦利斯（J.Wallis）彻底将这一问题解决了。英国的另一位数学家佩尔（J.Pell）在他自己后来的著作中附录了瓦利斯的这一结果。1732年，欧拉在其所发表的一篇论文中错误地认为瓦利斯的这一方法属于书的作者佩尔，并将这种类型的方程正式的称为了我们现在所熟悉的“佩尔方程”。这个误解使佩尔无形中成为了最大的受益者，使其在数学界获得了不朽的名声。本论文研究的目的在于对婆什迦罗对佩尔方程的求解方法进行研究，领会其巧妙之处，同时对这一方法的一般性进行了解，最后再对佩尔方程现今的发展加以研究。本人在讨论这一选题时，希望能做出一定有意义的探索。佩尔方程的求解也属于初等数论的一个研究范围，所以在此也希望这篇选题的研究能对日后求解初等数论中不定方程解的问题有一定的帮助。1.2 相关理论为了完成以下论文的研究，在此对相关的一些基本知识进行简单的介绍说明（参见文献3）1.2.1 “库塔卡”（Kuttaka）法则“库塔卡”最早出现在阿耶波多的天文数学著作阿耶波多历数书（499）中，在该历数书的数学章中，他建立了求解丢番图方程的整数解的“库塔卡”（ 原意“粉碎” ）方法，采用辗转相除法接近于连分数算法。为求方程的整数解，首先对使用辗转相除法得到系列商，以及相应的余数系列：，依法则： ，（i2） （1.1）计算，得到的渐进分数序列： ， （1.2）有 ， （1.3）于是 （1.4）是不定方程的特解。1.2.2 “瑟马萨”组合对于佩尔方程（a是非平方数），婆罗摩笈多首先选择适当的整数和，分别找出和的解和，再做所谓的“瑟马萨”组合，得到： ， （1.5）为的解取，若，则是的解。于是，这样就得到的解： （1.6）2 概 述2.1 了解婆什迦罗婆什迦罗(Bhskara，1114年-1185年),，出生在印度的比杜尔，长期在乌贾因的天文台工作，是乌贾因天文台的主持人。从印度数学的发展来看，到中世纪已经积累了很多的成就，而婆什迦罗正是这一时期最伟大的数学家，他通过对前人在数学方面所得成就的吸收和改进同时加以自己的研究和进一步证实，使其所得成就远远高出前人。他所写的的两本代表着古印度数学最高水平的著作分别是莉拉沃蒂和算法本源。算法本源主要是算数和代数方面的，其中对零的一些相关的运算法则作了较为完整的论述，在书中婆什迦罗分别把零以及以零做分母的分数当作无穷小量和无穷大量来处理，并给出了计算实例。4特别是在对零做除数这个问题上他引入了一个有意义的概念，他写道：“一个数除以零便成为一个分母是符号0的分数例如3除以0得3/0这个分母是符号0的分数，称为无穷大量在这个以符号0作为分母的量中，可以加入或取出任何量而无任何变化发生，就像在世界毁灭或创造世界的时候，那个无穷的、永恒的上帝没有发生任何变化一样，虽然有大量的各种生物被吞没或产生出来”，5 然而他对于零不可能做除数却是并不了解的。6莉拉沃蒂共分了13章：第1章给出了几个算学中的计算表；第2章则是关于整数和分数的运算，包括平方根和立方根的计算，并且使用了十进制记数的方法；第3章中讨论了各种计算法则以及计算技巧，比如反演算法和试位法；第4章讲解有关利率方面的应用题；第5章重要是数列的计算问题，给出如等差数列和等比数列等算术级数的一些求和问题；第6到11章是有关平面几何和立体几何的一些计算问题和测量问题；第12章讲的是代数问题，包括不定方程问题；第13章涉及到一些组合的问题。婆什迦罗对于不定方程的研究有着浓厚的兴趣，他将阿耶波多建立的求解丢番图方程的“库塔卡”方法进行改进和推广，并在前人补充注释的基础上，将其最终得到圆满的解决。7除此之外，婆什迦罗把婆罗摩笈多关于佩尔方程的解法进行了一些改变，由其特殊性变为了一般性。格内什（Ganesa）称赞婆什迦罗为“数学家中的一颗明珠”。82.2 佩尔方程的概述通常的佩尔方程是指不定方程 （2.1） 其中，D是非完全平方的正整数（以后如若无特殊说明我们都这么认为）广义的佩尔方程是对上述方程形式的一种推广，分别为以下两种基本情形 （2.2） 且 （2.3）还有一种形式是被欧拉误传至今的，为我们所熟知的佩尔方程形式 （2.4）以上这四种不定方程我们通称为佩尔方程。 佩尔方程作为最古老的不定方程在印度和希腊都有着悠久的历史。公元45世纪时，古印度就有一位数学家在求的近似值之前就已求出不定方程的解为，。与此同时，毕达哥拉斯学派也得到一个关于的递推公式，同样的阿基米德得出了的不定方程的一个解（x，y）=（1351,780）。从数学史的漫长研究中可以发现，佩尔方程（2.4）存在无穷多组整数解，且任意的一组解都可由某一特殊的解（称其为最小解）表示出来。这样看来，此问题就变成了求最小解的问题。1795年，英国的大数学家欧拉把展成连分数的形式并给出求解方程（2.4）的方法。他的思想是：如果和满足上述方程，那么是非常好的近似值。但是他无法证明这个方法总可以求出解，并且他也没办法证明所有解都可以由的连分数展开之后而得到。一直到1776年拉格朗日才得以完全解决这个问题。除了可以用连分数的方法之外，人们还发现了可以令代入到中来，一直到它变为一完全平方数。但是不论是用连分数法还是实验法，都无法摆脱与冗长的计算，并且只能针对具体的的值来求解。所以求最小解是解佩尔方程过程中最为重要的一步，因此杨仕春将此求最小解的问题列为尚未解决的15个著名的不定方程的问题之一，同时提出：“佩尔方程的最小解有什么规律？有没有求其最小解的简便的方法呢？”9对于另外一个佩尔方程 （2.5）也称为负佩尔方程，人们发现其不是总有解的。方程（2.5）是否有解和化成的循环连分数有关系：如果化成的循环节里有奇数个个数，那么方程（2.5）就有解；相反地，如果化成的循环节里有偶数个个数，那么方程（2.5）则无解。3 婆什迦罗对佩尔方程的求解3.1 Chakravala求解法的理论知识婆什迦罗对佩尔方程的求解方法是建立在婆罗摩笈多的方法之上的，使婆罗摩笈多的方法变得具有一般性。对于，婆什迦罗首先找出适当的整数，找出的一组特殊解，代入方程得，另外再找到一个整数，使得是方程的一组特解，使用（1.5）的组合形式，可以得到满足，即可得到 ， （3.1）最后再根据“库塔卡”方法，我们就可以找到使能被整除，并且可以使有最小值。计算 ， （3.2）则可知是方程的解。再用来代替，重复上面的运算过程，经过若干次以后就能够得到的特解（其中=），再根据婆罗摩笈多的方法便可以得到方程的无穷多个解。103.2 Chakravala求解法的实例婆什迦罗当时用方程为例子来证明他这一方法的可行性，在此我们也用这一方程来求证一下Chakravala的求解方法。解：要解二次不定方程 （3.1）则首先我们可以将方程变化为 （其中） （3.2）选取适当的，则方程变为 （3.3）取解，代入到方程（3.3）中解的解，将和代入，得，由解一次不定方程和解一次同余式的关系可得 取适当的，使最小，既使最小，则可解的，那么则可得：即得到由此可得方程（3.3）可以写成再解，为使最小，则可求得此时的，那么，则可得：即得到由此方程（3.3）又变为再解，为使最小，则可求得此时的，那么，则可得：即得到以此方法一直解下去即可得到方程（3.2）的特解也就是其基本解又因为，即，则原方程（3.1）的特解为4 Pell方程现今的求解方法4.1 用渐进分数法求解Pell方程首先，我们要引入渐进分数的概念，如果分数称为分数的一个渐进分数，那么两分数的差分子必为1。如果分数，那么此渐进分数序列则为一个由小到大依次排列的数列。如果一个正整数D含有非整数平方根，并且此平方根正好就落在（，）内，那么它必然会落在这个数列中的某一个由相邻渐进分数组成的区间里的。因为佩尔方程是求的方程的整数解的，那么和正好就满足了区间右端的分数条件。同样的在方程存在解的情况下，和也就同样满足了区间的左端的分数条件。由此我们可以知道，只要我们不断地去建立新的渐进分数所组成的区间，逐渐缩小区间的范围，那么佩尔方程的解就一定会在某一个区间的端点上出现。那么我们要如何来求佩尔方程的解呢？首先我们需要建立一个以渐进分数和（）为端点的一个区间，要使平方根落在这个区间内。如果，并不是方程的解，那么我们就要再求系数（或），计算新的渐进分数时需要建立一个新的区间。具体方法如下：1. 寻找渐进分数和最简单的即为，所得到的两个分数即为一对渐近分数，也表示的是所在的第一区间的两个端点。2. 求系数（或）如果，并不是方程的解，求系数（是正整数）。求解下面的不等式可得 （4.1）再取 =+1当时，求（为正整数）可得 （4.2）此时再取 =+1很显然，当1的时候，在区间 上当=1的时候，在区间 上在新的区间的基础之上继续上面的步骤，不断地去求系数，就可以得出一系列的新的并且是逐步缩小的区间，那么方程的解也就会在某个区间的端点之上。在上述公式（4.1）中，如果分母为1，则和就为佩尔方程的解，同样的在公式（4.2）中，如果分母为1 ，那么和则是佩尔方程的解。4.2 用Pell方程的分数解求整数解对于佩尔方程用分数解求其整数解的方法有很多，在此就不一一介绍了，我仅用本论文中说明婆什迦罗对佩尔方程求解的那个方程为例来介绍一种用分数解求整数解的方法。首先引出此方法，如果是方程（2.4）的两组分数解，。那么方程（2.4）的基本解、满足 (4.3)其中n是使上式右边成为整式的最小自然数。11现在我们来求解的基本解、解：原方程可化为根据上述方法，方程的基本解、满足 原方程的基本解为5 结论与展望本论文的主要工作是对婆什迦罗求解佩尔方程的方法进行研究，并希望能在现今对佩尔方程求解的方法中找到与其方法有一定联系的地方。在研究的过程中首先对婆什迦罗在数学方面的贡献做了概述，同时对佩尔方程的历史进行了解说。然后我们在结合婆什迦罗对佩尔方程求解方法的理论知识的基础之上，使用婆什迦罗的循环法解出了佩尔方程的基本解，证明了婆什迦罗这一方法的可行性。在婆什迦罗的求解方法中运用到了辗转相除法和同余式的概念，同时也用到了解一次不定方程和解一次同余式关系的表示方式，在求出每一组之后再将其代入相同的过程之中，如此反复循环直到最终解出方程的基本解。最后写出了两种佩尔方程的现今求解方法，并用其中的一个方法也同样求解了这一佩尔方程的解，最后得出的基本解与使用婆什迦罗的方法所得的基本解一样，这又验证了婆什迦罗求解佩尔方程方法的正确性。但是遗憾的是，在对这两种方法求解同一个佩尔方程的过程进行比较之后，我没能找到现今求解佩尔方程的方法中有和婆什迦罗的求解法有联系的地方，我想也许是做的研究还不是很全面，又或者是选择的现今方法并不是最合适的，这些问题都需要在日后的学习和研究中慢慢去解决。婆什伽罗对佩尔方程的求解方法在当时的环境下还是很具有现代感的，并且这一方法在当时的代数学界也是很具有历史意义的。但是并不是所有的佩尔方程的解都是很容易计算出来的，有些佩尔方程最小正整数的解的计算还是比较麻烦的，同时计算量也是比较大的，那么这种情况下再使用婆什迦罗的方法有时就会给我们带来很大负荷量的计算。数论妙趣数学女王的盛情款待（美阿尔伯特H贝勒著谈祥柏译上海教育出版社）一书中就列出了的最小正整数解,值分别为155位数和154位数，12这样的佩尔方程在当时用婆什迦罗的方法去计算的话要耗费的时间根本无法想象。在现今科技飞速发展的形势下，我们完全可以将这些数论问题同计算机科学