谈公式的教学.doc

谈公式的教学霍锡泉 关于公式的教学有老师认为“淡化文字，注重形式”就可以了，但有的教师相反，这个问题有很多的争论，笔者就多年的教学，谈谈这个问题。 1.理解公式的实质 回顾数学科学的发展历程，可以发现，将思维对象和思维结果简单化和符号化是数学思维的重要特征。简单化源于视知觉的约简功能，符号化源于简单化和保存认知成果之所需，因而在数学中产生了大量的由字母和符号表达的正确命题数学公式。数学公式主要由三部分内容构成：一是代表数或式的字母；二是表示关系的连接符(如运算符号、括号)；三是代表名称的符号。引进字母来表示书，是数学史上由算术向代数转化的重要里程碑，实现了由常量向变量的飞跃。理解数学公式也就是理解公式中各个字母的含义以及它们之间的关系。数学公式中的字母的本质是：它即表示具体的常数，也表示变数，是变与不变的辩证统一。这是学生认知的一大难点。使学生理解公式的实质，就是要使学生理解公式中关系的确定性和字母的可变性(数或代数式)。 2.学习公式的两种方式(以平方差公式为例) 方式一：由式子到式子 推导出(a+b)(a-b) = a- b后，在教师要求记忆的情况下，有的学生建立了以公式本身的图式表象为内容的条件反射： “(a+b)(a-b)”“a-b” ； 有的学生建立了以声音表象为内容的条件反射： “平方差公式”“a加b乘以a减b等于a平方减b平方” ； 最后进行变式训练。例如： ( a + b ) ( a b ) = a - b4 (2x + y) (2x y) = (2x)-(y) = 4x y 由式子到式子的学习方式，割裂了数与式的关系。实际上，在中学数学里，式的本质是数，它是为了表示数而引入字母后的产物。通过此方式学习的学生并没有真正建构起a和b的可变性观念，大多数是由式子到式子，一见到超越变式训练范围的问题就不知如何是好，尤其是间隔了一段时间之后。这种学习尽管对一些常规的技能性问题是有效的，但仍然摆脱不了机械学习的影子。数学创新教育的重点不是为了解题而解题，而是使学生做数学，理解数学，培养应用数学的观念。 方式二：由数到式子 教师与学生的活动如下： A.现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数； B.请把这两个数的和与差分别表示出来。这两个式子是多项式还是单项式； C.请将所得的和与差相乘并化简； D.请概括：两个数的和与这两个数的差的乘积等于_. E.教师在总结讲评学生的解答(选三个使用不同字母的学生为例，)之后，再给出平方差公式的标准形式和文字叙述(其实学生在操作的过程中已领会其意)。 这种学习方式有下列几个特点： (1)从学生熟悉的普通常识数开始，而不是缺乏根基的由形式到形式； (2)学生通过自己的实践活动来再创造数学，其主体性得到了体现； (3)借助于文字叙述，使学生学会用自己的语言来表述数学； (4)通过对三个不同的刺激模式的归纳总结，突破了公式中的字母可以变化这一难点，使学生直接领悟了公式的实质。 3.形式和内容的统一 公事来源于普通常识，对普通常识的整理、组织和表述是公式产生的根本原因。表述依赖于语言叙述，而将语言叙述符号化就产生了公式。 例如，“正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。”这样一个用语言叙述的客观事实可以符号化为下面的公式： a , a 0 ; | a | = 0 , a = 0 ; -a , a 0 . 可以说，公式是用语言叙述的客观事实的符号形式，其内容是语言叙述的客观事实。因此，要使学生理解公式的实质，就是要使学生领会公式的内容。从这个角度来说，语言叙述不但不能淡化，反而要强化。不可否认，由式子到式子或者说由形式到形式的教学方式在培养学生的形式推理能力方面有积极的作用。但与此同时，它也远离了内容，剥夺了学生进行数学再创造的机会，这是学生不能真正掌握公式的实质的根本原因。由数到式子或者说由内容到形式的教学方式是符合数学化的进程的，更重要的是，它为学生提供了数学