（试题 试卷 真题）专题47 直角三角形存在 【学生版】

专题47 直角三角形存在【母题来源】2013年湖北黄冈第24题（15分）【母题原题】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B CO的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.【试题答案】（1）；（2）（2t3）；（3）能，当或时，OPQ为直角三角形；（4）能，0t2。【试题解析】（1）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：， 把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得： ，解得：。 经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：。 综上所述，当或时，OPQ为直角三角形。（4）由（1）可得，其对称轴为。 又直线OB的解析式为， 抛物线对称轴与OB的交点为M（0，）。 又P（2t，0）， 设过点P、M的直线解析式为，则 ，解得。 过点P、M的直线解析式为 。 又当0t2时，Q， 把代入得，点Q在直线PM上，即当0t2时，点P、M、Q总在一直线上。当2t3时，Q。代入，解得或，均不合题意，舍去。综上所述，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0t2。（4）根据二次函数的性质求出抛物线对称轴，求出直线OB的解析式，从而得到二者的交点M（0，），进而求出点P、M的直线解析式为。分分点Q在BC边上运动（0t2）和点Q在CO边上运动（2t3）两种情况讨论点Q与直线的关系，得出结论。1.【2013年山西省14分】综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。2.【2013年湖北襄阳13分】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为 秒时，PAD的周长最小？当t为 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3.【2013年辽宁大连12分】如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点MP是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME （1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明MDE是等腰三角形；（2）MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由4.【2013年浙江宁波14分】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时求证：BDE=ADP；设DE=x，DF=y请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由5.【2013年浙江湖州12分】如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB=，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；