闭环零极点及偶极子对系统性能的影响.doc

闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1. 综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性；稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。2. 稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。否则，系统就不稳定。为了用matlab对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义，下面用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。如果当t趋于时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即 ，该系统就是稳定的。设系统的闭环传递函数为:当系统分别增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，1/(s-2)，(s+3)/(s+3.01)，(s-3)/(s-3.01)等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图1.注：matlab源程序见附录1.图1由以上matlab仿真结果可以看出，当增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，(s+3)/(s+3.01)等环节时，c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定。而当增加1/(s-2),(s-3)/(s-3.01)等环节时，c(s)最终趋于无穷，系统不稳定。完全符合上述讨论。3. 动态性能分析3.1线性高阶系统的数学模型高阶系统的闭环传递函数一般表示为：设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为： 对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。从c(t)的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模的大小，有些分量虽然衰减慢，但模值小，所以对超调量等影响较小，而有些分量衰减得稍快些，但模值大，所以对超调量等影响仍然很大。因此，系统的零极点的分布对系统的影响如下：若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。这样的零极点即为偶极子。若偶极子靠近虚轴，则不可忽略该极点引起的暂态分量。3.2线性高阶系统的动态性能仿真设有如下几个闭环传递函数: 现用matlab分别画出其阶跃响应曲线如图2,图3和图4：注：matlab源程序见附录2. 图2 图3图4通过以上matlab仿真结果可以发现，1和2的阶跃响应曲线基本重合，3与4的阶跃响应曲线基本重合，3和4的阶跃曲线相差较大，完全符合理论分析3.3进一步分析 忽略上述两类极点所引起的暂态分量后，一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用，这些极点通常称为主导极点。而在控制过程中，通常要求控制系统既具有较高的反应速度，有不要是超调太大，往往将系统设计成具有适当超调的衰减振荡。因此，很多系统常常取一对共轭复数闭环极点作为主导极点。下面针对这种情况研究闭环零极点对系统性能的影响，并用matlab进行仿真验证。3.3.1公式推导及理论分析设高阶系统的主导极点为s1,2=-+，则单位阶跃响应可近似为因为系统有两个主导极点s1和s2共轭,所以与共轭,即因此有下面推导高阶系统暂态性能指标近似表达式.为了后面说明方便,绘制一个高阶系统零极点示意图,如图5图5(1) 超调时间由超调量和超调时间的定义,得 则其中从图5看出 , ,所以则实际上,从零极点图上可以直接量取wd、zi、si等，然后由上式计算超调时间tp。分析上式可以得到下列几点结论：增加零点使tp减小，提高了系统的反应速度，增加的零点越靠近虚轴其作用越显著，而增加极点则相反。若零极点相距很近，则zi=si，则对tp的作用几乎抵消。（2）超调量p%与（1）中分析类似，这里直接给出超调量p的公式：从上式可以得到下列结论：若闭环零点离虚轴较近，且，很大。若附加极点离虚轴较近，且，很小。3.3.1 MATLAB仿真验证 设闭环传递函数当分别增加零点z1=-0.1,z2=-3,z3=-5，极点p1=-0.1,p2=-3,p3=-5时，系统的阶跃响应如图6至图11。注：matlab源程序见附录3.图6图7图8图9图10图11由图6、图7、图8可知增加零点后，系统的反应速度有所提高，但同时超调量也会增大，且零点越靠近虚轴其作用越显著；由图9，图10，图11可知，增加极点后，系统的反应速度有所下降，但同时超调量也会减小，且越靠近虚轴，其作用越显著。这与理论分析基本相符。4. 稳态性能分析当系统的过渡过程结束，进入稳定运行状态后，这时关心的是系统的输出是否是期望的输出，相差多少，其差量称为稳态误差。稳态误差描述了控制系统的控制精度，反应了系统的稳态性能。下面的分析假设控制系统为单位负反馈系统（实际上任何控制也都可以化成单位负反馈形式），导出系统的误差传递函数，分析系统在阶跃信号，速度信号，加速度信号下的稳态误差，并用matlab对其进行仿真和验证。4.1理论分析设系统的闭环传递函数： 则其误差传递函数为：即有其中R(s)为阶跃信号、速度信号或加速度信号。假设系统是稳定的，实际上只有系统是稳定时，研究其稳态性能才有意义。这时sE(s)在s右半平面及虚轴上（除原点外）没有极点，则稳态误差终值 (1) 当输入信号为阶跃信号时,即：r(t)=R，R(s)=R/s因系统稳定，所以其在原点处没有极点，为了更具一般性，设 则 为一个常数，同时可以发现增加零、极点会放大或缩小系统的稳态误差。特别要注意的是在增加零极点的过程中，若出现k=0，则系统的稳态误差为0.当原系统的k=0时，系统的稳态误差为0，增加零极点后k0，系统的稳态误差将为一个常数。（2）当输入信号为速度信号时,即：r(t)=Rt，R(s)=R/s2知系统的稳态误差趋于无穷。当增加零极点使k=0，且实际上只有少数系统能在增加一个零点或极点时，使k和k1同时为零，这时：系统的稳态误差 为一常数。在某些特殊情况下，若能同时使k和k1为零，则稳态误差将为零。（2）当输入信号为加速度信号时,即：r(t)=0.5Rt2，R(s)=R/s3知系统的稳态误差将趋于无穷。当增加零极点使k=0，而k10时，系统的稳态误差仍将趋于无穷；当增加零极点使k和k1同时为零时，系统的稳态误差将为一个常数。另外还可能有极少数情况，不但满足k和k1同时为零，还能使A(s)-B(s)=s3F(s)，此时系统稳态误差将为零。4.2 MATLAB仿真验证4.2.1对阶跃信号的稳态误差仿真 设 画出1增加零点z=-5,p=-2,z=-20时，其各自对应的阶跃响应曲线如图12,画出2增加零点z=-2,p=-2前后，其对应的阶跃响应曲线如图13注:matlab源程序见附录4观察仿真结果知对于1系统，当增加零点z=-20时。系统的稳态终值与阶跃响应终值重合。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与阶跃响应终值相隔一个常数，与理论分析相符。对于2系统，其稳态终值与阶跃响应终值重合，而当增加零极点时，系统的稳态终值与阶跃响应终值相隔一个常数，与理论分析相符。设 ，图12图134.2.2对速度信号的稳态误差仿真设画出1增加零点z=-5,p=-2,z=-20时，其各自对应的速度响应曲线如图14。画出3增加零点z=-0.5前后,其对应的阶跃响应曲线如图15。放大图见图14.1图14图14.1放大图见图15.1图15图15.1注：matlab源程序见附录5仿真结果分析对于1系统，当增加零点z=-20时，系统的稳态终值与速度响应终值相差一个常数，其值a约为0.05。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于3系统，当增加零点z=-0.5时，系统的稳态终值与速度响应终值重合。而在增加零点前，系统的稳态终值与速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。下面对a值进行理论分析：由以上分析知仿真结果与理论相符。4.2.3对加速度信号的稳态误差仿真设画出1增加零点z=-5,p=-2,z=-20时，其各自对应的加速度响应曲线如图16。画出3增加零点z=-0.5前后,其对应的加速度响应曲线如图17。画出4增加零点z=-3前后，其对应的加速度响应曲线如图18。注：matlab源程序见附录6放大图见图16.1图16图16.1放大图见图17.1图17图17.1图18图18.1仿真结果分析：对于1系统，当增加零点z=-20时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差一个常数，其值b约为2。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于3系统，当增加零点z=-0.5时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差一个常数，其值c约为1.5。而在增加零点前，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于4系统，当增加零点z=-3时，系统的稳态终值与加速度响应终值重合。而在增加零点前，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于b值，理论分析应为，仿真与实际不符，此处暂不清楚。对于c值：c值仿真结果与实际相符。以上仿真结果与理论分析基本相符。附录1%原传递函数的冲激响应z=-10;p=-1,-1+i,-1-i;num=poly(z);den=poly(p);impulse(num,den);xlabel(t);ylabel(c(s);title(冲激响应曲线);%增加(S+5)的冲激响应z1=-10,-5;p1=-1,-1+i,-1-i;num1=poly(z1);den1=poly(p1);figure(2);subplot(2,3,1)impulse(num1,den1);xlabel(t);ylabel(c(s);title(s+5);%增加(S-5)的冲激响应z2=-10,5;p2=-1,-1+i,-1-i;num2=poly(z2);den2=poly(p2);subplot(2,3,2)impulse(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s);title(s-5);%增加1/(S+2)的冲激响应z3=-10;p3=-1,-1+i,-1-i,-2;num3=poly(z3);den3=poly(p3);subplot(2,3,3)impulse(num3,den3);xlabel(t);ylabel(c(s);title(1/(s+2);%增加1/(S-2)的冲激响应z4=-10;p4=-1,-1+i,-1-i,2;num4=poly(z4);den4=poly(p4);subplot(2,3,4)impulse(num4,den4);xlabel(t);ylabel(c(s);title(1/(s-2);%增加(s+3)/(S+3.01)的冲激响应z5=-10,-3;p5=-1,-1+i,-1-i,-3.01;num5=poly(z5);den5=poly(p5);subplot(2,3,5)impulse(num5,den5);xlabel(t);ylabel(c(s);title(s+3)/(S+3.01);%增加(s-3)/(S-3.01)的冲激响应z6=-10,3;p6=-1,-1+i,-1-i,3.01;num6=poly(z6);den6=poly(p6);subplot(2,3,6)impulse(num6,den6);xlabel(t);ylabel(c(s);title(s-3)/(S-3.01);附录2%传递函数1和2的阶跃响应z1=-1;p1=-10,-1+i,-1-i;num1=10*poly(z1);den1=poly(p1);step(num1,den1);hold on;z2=-1;p2=-1+i,-1-i;num2=poly(z2);den2=poly(p2);step(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s);title(1和2阶跃响应曲线);legend(1,2)%传递函数3和4的阶跃响应z3=-1,-10.01;p3=-10,-1+i,-1-i;num3=10*poly(z3);den3=10.01*poly(p3);figure(2);step(num3,den3);hold on;step(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s);title(3和4阶跃响应曲线);legend(3,4);%传递函数5和6的阶跃响应z5=-1,-0.011;p5=-0.01,-1+i,-1-i;num5=0.01*poly(z5);den5=0.011*poly(p5);figure(3);step(num5,den5);hold on;step(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s);title(5和6阶跃响应曲线);legend(5,6);附录3%原传递函数及增加零点z1=-0.1的阶跃响应曲线比较z=-1;p=-10,-1+i,-1-i;num=poly(z);den=poly(p);step(num,den);hold on;z1=-1 -0.1;p1=-10,-1+i,-1-i;num1=poly(z1);den1=0.1*poly(p1);step(num1,den1);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点z1=-0.1的影响);legend(增加z1=-0.1前,增加z1=-0.1后)%原传递函数及增加零点z1=-3的阶跃响应曲线比较figure(2);step(num,den);hold on;z2=-1 -3;p2=-10,-1+i,-1-i;num2=poly(z2);den2=3*poly(p2);step(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点z1=-3的影响);legend(增加z1=-3前,增加z1=-3后)%原传递函数及增加零点z1=-5的阶跃响应曲线比较figure(3);step(num,den);hold on;z3=-1 -5;p3=-10,-1+i,-1-i;num3=poly(z3);den3=5*poly(p3);step(num3,den3);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点z1=-5的影响);legend(增加z1=-5前,增加z1=-5后)%原传递函数及增加零点p1=-0.1的阶跃响应曲线比较figure(4);step(num,den);hold on;z4=-1;p4=-0.1 -10,-1+i,-1-i;num4=0.1*poly(z4);den4=poly(p4);step(num4,den4);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点p1=-0.1的影响);legend(增加p1=-0.1前,增加p1=-0.1后)%原传递函数及增加零点p1=-3的阶跃响应曲线比较figure(5);step(num,den);hold on;z5=-1;p5=-3 -10,-1+i,-1-i;num5=3*poly(z5);den5=poly(p5);step(num5,den5);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点p1=-3的影响);legend(增加p1=-3前,增加p1=-3后)%原传递函数及增加零点p1=-5的阶跃响应曲线比较figure(6);step(num,den);hold on;z6=-1;p6=-5 -10,-1+i,-1-i;num6=5*poly(z6);den6=poly(p6);step(num6,den6);xlabel(t);ylabel(c(s);title(增加零点p1=-5的影响);legend(增加p1=-5前,增加p1=-5后)附录4%阶跃信号下的稳态误差研究%k0step(0,1,0,1) %阶跃响应曲线hold on;z11=-1; %原传递函数1阶跃响应曲线p11=-10,-1+i,-1-i;num15=poly(z11);den15=poly(p11);step(num15,den15);z16=-1,-5; %增加z=-5后的阶跃响应曲线p16=-10,-1+i,-1-i;num16=poly(z16);den16=poly(p16);step(num16,den16);z13=-1; %增加p=-2后的阶跃响应曲线p14=-2,-10,-1+i,-1-i;num13=poly(z13);den13=poly(p14);step(num13,den13);z14=-1,-20; %增加z=-20后的阶跃响应曲线p14=-10,-1+i,-1-i;num14=poly(z14);den14=poly(p14);step(num14,den14);xlabel(t);ylabel(c(s);title(阶跃信号下的稳态误差研究(k0);legend(阶跃响应,原系统1,增加z=-5后,增加p=-2后,增加z=-20后);%阶跃信号下的稳态误差研究%k=0figure(2)step(0,1,0,1) %阶跃响应曲线hold on;p15=-1+i,-1-i; %原传递函数2阶跃响应曲线num15=0 2;den15=poly(p15);step(num15,den15);z16=-2; %增加z=-2后的阶跃响应曲线p16=-1+i,-1-i;num16=2*poly(z16);den16=poly(p16);step(num16,den16);p17=-2,-1+i,-1-i; %增加p=-2后的阶跃响应曲线num17=0,2;den17=poly(p17);step(num17,den17);xlabel(t);ylabel(c(s);title(阶跃信号下的稳态误差研究(k=0);legend(阶跃响应,原系统2,增加z=-2后,增加p=-2后);附录5%速度信号下的稳态误差研究%k0step(0,1,1,0) %速度响应曲线hold on;z21=-1; %原传递函数1速度响应曲线p21=0,-10,-1+i,-1-i;num21=poly(z21);den21=poly(p21);step(num21,den21);z22=-1,-5; %原增加z=-5后的速度响应曲线p22=0,-10,-1+i,-1-i;num22=poly(z22);den22=poly(p22);step(num22,den22);z23=-1; %原增加p=-2后的速度响应曲线p23=0,-2,-10,-1+i,-1-i;num23=poly(z23);den23=poly(p23);step(num23,den23);z24=-1,-20; %原增加z=-20后的速度响应曲线p24=0,-10,-1+i,-1-i;num24=poly(z24);den24=poly(p24);step(num24,den24);xlabel(t);ylabel(c(s);title(速度信号下的稳态误差研究(k0);legend(速度响应,原系统1,增加z=-5后,增加p=-2后,增加z=-20后);axis(0 500 0 100);%速度信号下的稳态误差研究%k=0，k1=0figure(2)step(0,1,1,0,*) %速度响应曲线hold on;p25=0,-1,-1+i,-1-i; %原传递函数2速度响应曲线num25=4;den25=poly(p25);step(num25,den25);z26=-0.5; %增加z=-1后的速度响应曲线p26=0,-1,-1+i,-1-i;num26=4*poly(z26);den26=poly(p26);step(num26,den26);xlabel(t);ylabel(c(s);title(速度信号下的稳态误差研究(k=0,k1=0);legend(速度响应,原系统2,增加z=-0.5后);axis(0 50 0 50);附录6%加速度信号下的稳态误差研究%k=0step(0,1,1,0,0) %加速度响应曲线hold on;z31=-1; %传递函数1速度响应曲线p31=0,0,-10,-1+i,-1-i;num31=poly(z31);den31=poly(p31);step(num31,den31);z32=-1,-5; %增加z=-5后的加速度响应曲线p32=0,0,-10,-1+i,-1-i;num32=poly(z32);den32=poly(p32);st