高中数学必修1第2章基本初等函数全章教案.doc

课 题：2.1.1 指数-根式教学目的：1掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中2培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；教学重点：根式的概念性质教学难点：根式的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备教学过程：一、复习引入：1整数指数幂的概念 2运算性质： 3注意 可看作 = 可看作 =二、讲解新课： 1根式：计算（可用计算器）= 9 ，则3是9的平方根 ；=125 ，则5是125的立方根 ；若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .定义：一般地，若 则x叫做a的n次方根叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为!，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.性质：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作： 当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作： 负数没有偶次方根， 0的任何次方根为0注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的.常用公式根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.根式的基本性质：，（a0）.注意，中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.用语言叙述上面三个公式：非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.三、讲解例题：例1（课本第71页 例1）求值= -8 ；= |-10| = 10 ；= | = ；= |a- b| = a- b .去掉ab结果如何？例2求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：四、练习：五、小结 本节课学习了以下内容：1根式的概念；2根式的运算性质：当n为任意正整数时，()=a.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.根式的基本性质：，（a0）.六、课后作业：课 题：2.5.2 指数-分指数1教学目的： 1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4培养学生用联系观点看问题.教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：教材分析：本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程：一、复习引入：1整数指数幂的运算性质： 2根式的运算性质：当n为任意正整数时，()=a.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.根式的基本性质：，（a0）用语言叙述上面三个公式：非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.3引例：当a0时上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.二、讲解新课： 1.正数的正分数指数幂的意义 (a0,m,nN*,且n1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定：(1) (a0，m,nN*,且n1) (2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:说明：若a0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.三、讲解例题：例1求值： 解 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： (式中a0) 解：例3计算下列各式（式中字母都是正数）分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤解 例4计算下列各式： 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算解：四、练习：课本P14练习1.用根式的形式表示下列各式() 解： 2.用分数指数幂表示下列各式：(1) （）（）（） （）（）(5)（） (6)解：(1) (2) (3) (4) （）(5) (6) 五、小结 本节课学习了以下内容：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.六、课后作业：1.课本P75习题2.52.用计算器求值(保留4位有效数字)(1) （） （） （） (5) （）解：（）. (2) .（）. （4） .（）. （）.课 题：2.5.3 指数-分指数2教学目的： 巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质教学难点：准确应用计算.授课类型：巩固课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1根式的运算性质：当n为任意正整数时，()=a.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.根式的基本性质：，（a0）.2分数指数幂的运算性质： 二、讲解范例：例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) （） （） （） （） （6）解：（）(2) (3) （）（）（）例2(课本第77页 例4)计算下列各式（式中字母都是正数）： ； .解：原式=2(-6)(-3)；原式=说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.例3(课本第77页 例5) 计算下列各式： ； (a0).解：原式=；原式=.说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数例4化简：解：评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开 解：评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解三、练习：1练习：课本第78页 练习：4；习题：*6，*7.2. 练习求下列各式的值：(1) （） （） （4） （5） （6）五、小结 本节课学习了以下内容：熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质六、课后作业：1求下列各式的值：(1) （2） （） （4）解：（）（） (3) (4) 2课本第75页 习题2.5：6 ，7 .课 题：2.1.2 指数函数1教学目的： 1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.2.培养学生实际应用函数的能力教学重点：指数函数的图象、性质教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数前面已将指数概念扩充到了有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质的直观图形指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律本节安排的图象的平行移动的例题，一是为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应，二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备教学过程：一、复习引入：引例1（P57）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，x细胞个数：2，4，8，16，y由上面的对应关系可知，函数关系是.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.二、新授内容：1指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定a0,且a1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义. 若a0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且12.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.列表如下：x-3-2-1-0.500.5123y=0.130.250.50.7111.4248y=8421.410.710.50.250.13x-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5y=0.030.10.320.5611.783.161031.62y=31.62103.161.7810.560.320.10.03我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质a10a1，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，；与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.8-0.2，所以，1；小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.四、练习：比较大小： ,已知下列不等式，试比较m、n的大小：m n；m 10a0且y1说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理（2）由5x-10得所以，所求函数定义域为x|由 0得y1 所以，所求函数值域为y|y1（3）所求函数定义域为R 由0可得+11所以，所求函数值域为y|y1通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性例2求函数的单调区间，并证明解：设 则 当时， 这时 即 ，函数单调递增 当时， 这时 即 ，函数单调递减 函数y在上单调递增，在上单调递减解法二、（用复合函数的单调性）：设： 则：对任意的，有，又是减函数 在是减函数对任意的，有，又是减函数 在是增函数引申：求函数的值域 （）小结：复合函数单调性的判断(见第8课时)例3设a是实数，试证明对于任意a,为增函数；分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法（1）证明：设R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即0得+10, +10 所以0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：函 数y=f(x)y=f(x+a)a0时，向左平移a个单位；a0时，向上平移a个单位；a0时，向下平移|a|个单位.y=f(-x)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.y=f(|x|)y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.y=|f(x)|，y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)0,a1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN =b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可教学过程： 一、复习引入：1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1. ？，0.125x=? 2. =2x=?也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数例如： ; ; 探究：负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ），对任意 且 , 都有 同样易知： 对数恒等式如果把 中的 b写成 , 则有 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN例如：简记作ln3 ; 简记作ln10（6）底数的取值范围；真数的取值范围三、讲解范例：咯log例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73解：（1）625=4； （2）=-6；（3）27=a； （4）例2 将下列对数式写成指数式：（1）； （2）128=7；（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303解：（1） （2）=128；（3）=0.01； （4）=10例3计算： ，解法一：设 则 , 设 则, , 令 =, , 令 , , , 解法二：； =四、练习： 1.把下列指数式写成对数式(1) （）32 （）（）解：(1) (2) 32(3) (4) 2.把下列对数式写成指数式(1) （）（） （）解：(1) (2)(3) (4) 3.求下列各式的值(1) 25 （）（）100 （）0.01（）10000 （）0.0001解：(1) 25 (2) (3) 100 (4) 0.01(5) 10000 (6) 0.00014.求下列各式的值(1) 15 （）1 （）81（）625 （）343 （）243解：(1) 15 (2) 1 (3) 81(4) 625 (5) 343 (6) 243五、小结 本节课学习了以下内容：对数的定义， 指数式与对数式互换 求对数式的值六、课后作业：1.把下列各题的指数式写成对数式(1)16 （） （） （）. （）81 （）25 （） （）解：(1)216 (2)01 (3) (4)0.5(5)81 (6)25 (7)6 (8)2.把下列各题的对数式写成指数式(1)27 (2)7 (3)3 (4) (5)5 (6)0.3解：(1) 27 (2) (3) 3 (4) (5) 5 (6) .课 题：2.2.1 对数的运算性质2教学目的： 1掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2能较熟练地运用法则解决问题；教学重点：对数运算性质教学难点：对数运算性质的证明方法.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1对数的定义 其中 a 与 N2指数式与对数式的互化3.重要公式：负数与零没有对数；，对数恒等式3指数运算法则 二、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：证明：设M=p, N=q 由对数的定义可以得：M=，N=MN= = MN=p+q，即证得MN=M + N设M=p，N=q 由对数的定义可以得M=，N= 即证得设M=P 由对数定义可以得M=, =np， 即证得=nM说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”有时逆向运用公式：如真数的取值范围必须是： 是不成立的 是不成立的对公式容易错误记忆，要特别注意： ，三、讲授范例：例1 计算（1）25， （2）1， （3）（）， （4）lg解：（1）25= =2（2）1=0（3）（25）= + = + = 27+5=19（4）lg=例2 用，表示下列各式：解：（1）=（xy）-z=x+y- z（2）=（ = +=2x+例3计算：(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3) 说明：此例题可讲练结合.(1)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18=lg评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.四、课堂练习：1.求下列各式的值：（） （）lglg（） （）解：（）（）lglglg（）lg(3) ()(4) 15. 2. 用lg，lg，lg表示下列各式：(1) lg（xyz）； （）lg； （）； （）解：(1) lg（xyz）lglglg；(2) lg lglglglglglglglg；(3) lglg lglg lglglg lg；(4)五、小结 本节课学习了以下内容：对数的运算法则，公式的逆向使用六、课后作业：1.计算：(1) （，） （）18(3) lg lg25 (4)100.25（）2564 (6) （16）解：(1) （）(2) 18（）lg lg25lg（）lg lg(4)100.250.25(1000.25)25(5)256422(6) （16）（）2.已知lg0.3010，lg0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)(1) lg （）lg （）lg12 （）lg （）lg （）lg32解：（）lglglg0.3010+0.47710.7781(2) lglg0.30100.6020 (3) l