概率论与数理统计基础知识.ppt

随机变量 随机变量对于随机试验 其结果可以用随机变量这一数量指标表征 如果对每一个随机试验e都有一个试验值x与之对应 记作x x e 则称x为一个随机变量 它发生的概率记为P 随机变量可分为 离散随机变量连续随机变量 数理统计基础 2 3 对样本的理解样本并非一堆杂乱无章 无规律可循的数据 它是受随机性影响的一组数据 样本二重性 每个样本即可以视为一组数据 又可以视为一组随机变量样本不是任意一组随机变量 它是一组独立同分布的随机变量 研究对象全体的集合称为总体或母体统计推断即是由样本推断总体 常用概率分布 正态分布分布t分布F分布 正态曲线 以f x 为纵坐标 x为横坐标 绘制的曲线称为正态曲线 normalcurve 在Matlab中使用normpdf x 函数计算f x 以 0 1为例 f x normpdf x 0 1 正态曲线 mu 0 sigma 1 正态分布参数设定 x 5 0 1 5 fx normpdf x mu sigma 计算概率密度函数 plot x fx 正态曲线 图形特点 钟型 中间高 两头低 关于x 对称最高处对应于x轴的值是均值 曲线下面积为1标准差 决定曲线的形状 正态曲线 位置参数 决定曲线的位置当固定 改变的 的大小时 f x 图形的形状不变 只是沿着x轴作平移变换 正态曲线 形态参数 决定曲线的形态当固定 改变 的大小时 f x 图形的对称轴不变 形状发生改变 越小 图形越高越瘦 越大 图形越矮越胖 正态分布的分布函数 2 3 在Matlab中使用normcdf x 函数计算分布函数F x 以 0 1为例 F x normcdf x 0 1 分布函数的反函数norminv mu 0 sigma 1 正态分布参数设定 x 5 0 1 5 Fx normcdf x mu sigma 计算分布函数 plot x Fx 正态分布的分布函数 3 3 例5 已知X服从标准正态分布 求 1 P x 3 的值 2 P 1 96 x 1 96 的值 3 P x x0 0 9 求x0的值 解 1 P x 3 normcdf 3 0 1 0 9987 2 P 1 96 x 1 96 normcdf 1 96 0 1 normcdf 1 96 0 1 0 9500 3 x0 norminv 0 9 0 1 1 2816 分布 卡方分布 Chi squareDistribution 是1900年Pearson推导出来的 如果随机变量xi i 1 n 服从正态分布N 2 定义 称为服从自由度f n 1的卡方分布 分布 卡方分布是从正态分布派生出来的 其概率密度函数为 其中 为伽玛函数 f为自由度 f n 1 分布 在Matlab中卡方分布的函数 概率密度函数chi2pdf x f 分布函数chi2cdf x f 分布函数逆函数chi2inv p f f 3时的概率密度函数 分布 概率密度函数特点当f 1和2时 单调下降 趋于0 当f 2时 曲线有单峰 f越小 曲线越不对称f越大 曲线越趋于正态分布 分布 在数理统计中经常对给定的卡方分布 经常需要求它的分位点而不是求其概率 其分位点的定义如下 分布 单侧置信概率及相应的值例如 对于a 0 05 n 10 则f n 1 9 chi2inv 0 95 9 ans 16 9190故 16 919 分布 双侧置信概率及相应的值例如 对于a 0 05 n 10 则f n 1 9 t分布 t分布是1908年英国统计学家Gosset发现的 是由正态分布派生出来的一个分布 如果随机变量xi i 1 n 是从正态分布N 2 的总体中随机抽取的样本值 定义为服从自由度f n 1的t分布 t分布 概率密度函数 f为自由度 f n 1 t分布 在Matlab中t分布的函数 概率密度函数tpdf t f 分布函数tcdf t f 分布函数逆函数tinv p f t分布 概率密度函数特点t分布密度曲线关于t 0对称 在t 0时 分布密度函数取得最大值 在t 处有拐点 当f趋无穷大时 t分布近似标准正态分布 t分布 若和来自正态分布N 1 2 和N 2 2 则 服从正态分布N 1 1 2 n1 2 n2 统计量为服从自由度f n1 n2 2的t分布 t分布 在数理统计中经常对给定的t分布 需要求它的分位点而不是求其概率 其分位点的定义如下 t分布 单侧置信概率及相应的值例如 对于a 0 05 n 10 则f n 1 9 tinv 0 95 9 ans 1 8331 1 8331 t分布 双侧置信概率及相应的值例如 对于a 0 05 n 10 则f n 1 9 F分布 F f1 f2 分布也是数理统计中经常用到的一个分布 通常是由相互独立的自由度分别为f1和f2的分布的函数得到 F f1 f2 检验实质是对 方差相等 作检验 F分布 在Matlab中F分布的函数 概率密度函数fpdf F f1 f2 分布函数fcdf F f1 f2 分布函数逆函数finv p f1 f2 F分布 概率密度函数特点取值区间为 0 曲线是偏态的 自由度越小 偏态越严重 当f1 f2都较大时 F分布可用正态分布来近似 F分布 在数理统计中经常对给定的F分布 需要求它的分位点而不是求其概率 其分位点的定义如下 F分布 单侧置信概率