2020版高考数学大二轮复习课时作业13空间向量与立体几何理.docx

课时作业13空间向量与立体几何12019安徽芜湖质检如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解析：(1)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.因为ACBD且BDBB1B，所以AC平面BB1D，又B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设ABt，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)所以(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则即取x1，则y，z，所以n(1，)是平面ACD1的一个法向量设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则sin |cosn，|，故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.22019广东五校第一次诊断如图，在菱形ABCD中，ABC60，AC与BD交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值解析：(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.(2)连接OE，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，0)，O(0,0,0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，则(0，0)，(1,0,2)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即得y0.令z1，则x2，n(2,0,1)是平面EBD的一个法向量由题意得sin45|cos，n|，得a3或a，由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，所以异面直线OF与BE所成角的余弦值为.32019广东惠州一调如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，DAB60，E是棱CB的延长线上一点，经过点A，C1，E的平面交棱BB1于点F，B1F2BF.(1)求证：平面AC1E平面BCC1B1；(2)求二面角EAC1C的余弦值解析：(1)证明：设四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为a，B1F2BF，B1C1FBEF，BE.由DAB60ABE，得ABC120，由余弦定理得AE，ACa.CEBEBC，AE2CE2AC2，AECE.又ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，C1C平面ABCD，又AE平面ABCD，C1CAE.CECC1C，AE平面BCC1B1.AE平面AC1E，平面AC1E平面BCC1B1.(2)解法一过C作CGAC1于G，CHC1F于H，连接GH.由平面AC1E平面BCC1B1，平面AC1E平面BCC1B1C1E，得CH平面AC1E.CHAC1，又CGAC1，CGCHC，AC1平面CGH，AC1GH，CGH是二面角EAC1C的平面角在RtACC1中，ACa，CC1a，AC12a，CGa，在RtECC1中，CEa，CC1a，EC1a，CHa，GHa，cosCGH，二面角EAC1C的余弦值为.解法二以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，平行于BB1的直线为z轴建立空间直角坐标系Exyz，则E(0,0,0)，A，C1，则，.设平面EAC1的法向量为n(p，q，r)，则即不妨取n(2,0,3)连接BD，B，D，易知平面AC1C的一个法向量为n1.设二面角EAC1C的平面角为，则|cos |，又由题图知为锐角，二面角EAC1C的余弦值为.42019河南洛阳统一考试如图1，平面多边形PABCD中，PAPD，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使PC2.(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值解析：(1)证明：取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中点，HE为APD的中位线，HEAD，且HEAD.又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB.在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF，PO平面ABCD.以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2,0)，E，(2,2,0)，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.52019天津卷如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解析：本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系Axyz(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.62019四川成都模拟如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解析：(1)证明：在B1C1E中，EB1，B1C1，EC1，B1CECEB，B1C1EC1，AA1平面ABCD，AA1BC，CC1B1C1，而CC1EC1C1，B1C1平面CC1E.CE平面CC1E，B1C1CE.(2)由题可知，DA，AA1，AB两两垂直，如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)，(1，2，1)，(1,1，1)，(1,0，1)，设平面B1CE的法向量为m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，所以x3，y2，则m(3，2,1)为平面B1CE的一个法向量由(1)知，B1C1平面CEC1