小学奥数平面几何五大模型.doc

小学奥数平面几何五大定律ABDCh1h2l2l2BACh1BCADhDCBAh一、等积模型FEDh2 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D为BC中点，则SABD=SACD如图(4)：l1平行于l2，则SACD=SBCD 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)： SABDSACD=BDCD 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF ，则 SABCSDEF=h1h2 夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l1平行于l2 ，则 SABD=SACD反之如果SABD=SACD，则可知直线l1平行于l2 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和180O），这两个三角形叫做共角三角形ACBDEABCDE共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 共角 互补角 图(1) 图(2)如图(1)：在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，ABC与ADE 共A如图(2)：D在BA的延长线上，E在AC上；BAC+BAC180O(互补)，则: SABC:SADE=(ABAC):(ADAE)；或 SABCSADE=AB ACAD AE三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“”相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A相似于图B，图B相似于C，则 A相似C即：图A图B，图B图C；则，图A图B图Cacbd a顺时针旋转90度 a翻转 a缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4)金字塔模型ADECBFCOBDA沙漏模型图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即abcd沙漏模型中ABOCDO；金字模型中：ABCADE（1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；金字塔模型ADBEGCBF（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。COBDA沙漏模型h1h2（5）沙漏模型 ABOCDO 相似比=ABDC=AODO=BOCOh1h2 SABOSCDO=12ABh112CDh2=ABDCh1h2=AB2DC2=ABDC2=相似比2（6）金字塔模型 :ADEABC 相似比=ADAB=AEAC=DEBC=AFAG SADESABC=12DEAF12BCAG=DEBCAFAG=AB2DC2=DEBC2=相似比2四、蝴蝶定理任意凸四边形连接其对角线构成蝴蝶形；或任意两相交直线，分别连接两直线端点即构成蝴蝶ABCDS1S2S3S4O任意四边形BCDAOS2S1S4S3ab梯形中的蝶形任意四边形蝴蝶定理： S1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 AOCO=S1+S2S3+S4=SABDSCBD梯形蝴蝶定理： S1S3=相似比2=ab2=a2b2 或 s1:s3=a2:b2 s1:s3:s2:s4=a2:b2:ab:ab 即S1占梯形总面积a2份，S3占梯形总 面积b2，S2和S4占梯形总面积ab份 梯形面积对应份数为 (a+b)2份蝴蝶模型中构建了内部三角形这间的面积关系，同时还建立起了内部三角形面积与相交的两对角线之间的关系。梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。ABCODBCAODFE图1(燕尾)五、燕尾定理在ABC 内找一点O，分别连接三个顶点，并延长交于底边如图1。则 ：SABOSACO=BDCD ； SBCOSBAO=CFAF ； SCBOSCAO=BEAE因为图的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理上