第五章 三角函数 教材分析

第五章三角函数教材分析 主要内容 三角函数是中学数学的重要内容之一 它的基础主要是几何中的相似形和圆 研究方法主要是代数变形和图象分析 因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了 本章所介绍的知识 既是解决生产实际问题的工具 又是学习中学后继内容和高等数学的基础 课时安排 本章教学时间用18课时 具体分配如下 仅供参考 5 1角的概念的推广2课时5 2弧度制2课时5 3任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数2课时5 4同角三角函数的基本关系式2课时5 5诱导公式2课时5 6三角函数的图象和性质4课时5 7已知三角函数值求角2课时小结与复习2课时 内容与要求 本章主要内容是任意角的概念 弧度制 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数 同角三角函数间的关系 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求角等 一 本章主要内容是任意角的概念 弧度制 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数 同角三角函数间的关系 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求角等 二 第一大节是 任意角的三角函数 教科书首先推广了角的概念 介绍了弧度制 接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角 都用坐标定义 然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦 余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中 都安排了许多实例以及知识的应用第二大节是 三角函数的图象和性质 教科书先利用正弦线画出函数 x 0 的图象 并根据 终边相同的角有相同的三角函数值 把这一图象向左 右平行移动 得到正弦曲线 在此基础上 利用诱导公式 把正弦曲线向左平行移动个单位长度 得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点 教学要求 1 使学生理解任意角的概念 弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算2 使学生掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 掌握正弦 余弦的诱导公式3 使学生会画出正弦函数图象 并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象 理解周期函数与最小正周期的意义 会用 五点法 画正弦函数 余弦函数和函数的简图 4 使学生会由已知三角函数值求角 并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示 教法学法 一 本章内容的重点是 任意角三角函数的概念 同角三角函数间的关系式 诱导公式及其运用 正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是 弧度制的慨念 综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明关键是 使学生熟练掌握任意角三角函数的定义 正弦曲线的画法和正弦函数的性质由于课时较紧 教学中应遵循大纲所规定的内容和要求 不要随意补充已被删简的知识点例如 三角函数基本上只讲正弦 余弦 正切三种 同角三角函数的基本关系式只讲 三个 除 k Z 外 其余诱导公式中 要求学生记住并能灵活运用的 二 在讲述弧度制的优点 角度制的不足时 要注意科学性事实上 角的概念推广后 无论用弧度制还用角度制 都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说 每个角都有唯一的实数与它对应 时 这个实数可以取这个角的弧度数 或度数 或角度制下的分数 或角度制下的秒数 所以对应法则不是唯一的 但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小 而弧度制的计量单位大 而且可以省略不写 这种说法虽有一定道理 但在科学上并不具有充足的理由 因为小有小的好处 何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候 我们总是十进制 六十进制并用的 例如角其中61 21 12都是十进数 而度 分 秒之间的关系是六十进 退 位的 这样 为了找出与角对应的实数 我们学的实数都是十进数 要经过一番计算 这就不太方便了 三 定义了任意角的三角函数以后 严格地说 例如 只有 才可以说是正弦函数 三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的 所以教学中不宜随便说 或写 正弦函数y sinx 需知 函数 只是正弦函数的一个周期 不要把部分当作整体 四 关于已知三角函数值求角 在讲解相关例题时 可以利用设辅助角 即通过设辅助元素把未知转化为已知 这是化归思想的运用 来求解 把求解过程调整为 1 如果函数值为正数 则先求出对应的锐角 如果函数值为负数 则先求出与其绝对值相应的锐角2 决定角x可能是第几象限角3 如果函数值为负数 则根据角x可能是第几象限角 得出内对应的角 如果它是第二象限角 那么可表示为 如果它是第三或第四象限角 那么可表示为或也可以把上述辅助角看作参变量 x为自变量 那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中 教学时适时提醒学生注意使用 这是有好处的 五 本章所使用的符号及其用法 全部与国家标准所规定的取得一致 在板书中逐渐达到规范化物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时 六 注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学概念之外 在这方面的措施有 1 利用学生已有的认知结构首先利用二次函数的知识来解决问题 建立任意角的概念时 利用学生观看体操节目已有的例如对于 转体720度 的直觉和语词记忆 画余弦函数的图象时 利用正弦曲线和诱导公式 已知三角函数值求角时 利用三角函数的图象和性质