微积分思想方法.doc

微 积 分 思 想 方 法学习要求学习期间，请学员们务必做到：1处理好工学矛盾，按时到校听课（出勤占总分的10%）。2由于授课时间短，主要靠自学，因此应在课堂上记好笔记，以便于课后自学。 3学会如何上网，成为注册学员，申请及使用电子邮箱，查看网上资料，给老师发电子邮件（老师的邮箱为），给老师打电话（电话号码6929437。 4多作练习题。包括每部分内容所对应的练习题，自测题，网上的练习题。因为根据数学的特点，不做题是学不会的。 5独立、按时完成作业（作业和笔记占总分的10%），不抄袭，不应负。 第一部分 前 言微积分是人类智慧最伟大的成就之一。微积分将教会你如何把握世界。正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。”微积分基本上是牛顿和莱布尼兹发现的。分为微分学与积分学两大类。微积分基本定理将二者紧紧的结合在了一起。第二部分 绪 论 数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门学科。 给数学下定义是一件困难的事情。不同的人会给出不同的说法。 数学内容分为初等数学与高等数学两大部份。 数学有三大特点：抽象性、精确性、应用的极端广泛性。 数学对人类做出了极大的贡献。 目前，电子计算机强大的计算功能是数学如虎添翼。第三部分 初等数学知识教学目的：使学员复习好实数、绝对值、数轴概念，学会实数的区间表示，知道什么叫邻域。教学过程：1进入高等数学。 增强符号意识和变化意识，培养抽象思维能力和逻辑思维能力。2实数 实数思考：无限循环小数属于上述那类数？3数轴规定了原点、正方向和长度单位的直线，叫做数轴。思考题：（1）数轴的三要素是什么？（2）数轴上的点与有理数个数一一对应吗？与实数哪？（3）实数能表示在数轴上吗？4绝对值 5区间表示实数段的另外一种方法。原则是：“开”表示为“（”或“）” ， “闭”表示为“”或“” 。可产生开区间，闭区间，半开半闭区间。无穷区间均用小括号表示。例如：， ，。练习：用区间表示下列各实数段。（1）（2）（3）（4）6邻域满足的所有的点。其中，称其为半径。a称为域心。练习：P7自测题第四部分 函 数教学目的：使学员掌握函数概念和性质，会求函数定义域，掌握反函数存在定理和复合函数概念，掌握六类基本初等函数的表达式、图形和性质。会画分段函数的图形。教学重点：函数概念，六类基本初等函数，复合函数。教学难点：反函数存在定理，复合函数的定义。教学过程：1函数概念产生的历史（自学）2函数1常量与变量从中可以看出，里面有始终保持不变的量和不断变化的量，分别称为常量和变量。2函数定义设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，责成变量y位变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G=y|y=f(x),x叫做函数的值域。3分段函数例如：，我们可以画出图像。今后，经常遇到。4函数的三种表示法解析法、图像法、列表法。各有优缺点。5关于函数的几点解释（1）函数表示了x与y之间的一种对应法则。如下图：f xf(x)（2）我们学的是单值函数。（3）函数的两要素是：定义域与对应关系。例子：判断下列每对函数是否相同。 4求函数的定义域列不等式（组）的几种情形。若函数的形式为若函数的形式为若函数的形式为若函数的形式为如果是实际问题，则还要考虑实际意义。例子：求函数的定义域。3、函数的几种属性1有界性定义：若函数，若存在一个正数,对于所有的，否则，称为无界。yMxo函数有界的几何意义-M注意：（1）上述正数不是唯一的。（2）由界性依赖于区间。2奇偶性定义：若函数的定义域关于原点对称，若从定义不难看出，奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。例子：判断下列函数的奇偶性（1） （2）（3） （4）（5）思考：下列分类正确吗？ 函数3单调性定义：设函数在区间有定义，若，只要，则称函数在内单调增加；否则，则称函数在内单调减少。yxo a b思考：单调增加函数的图形有什么特点？单调减少函数呢？注意：（1）在这里不要求学员会证明函数的单调性。因为后面我们将用导数这个工具来证明。（2）上述去掉“”中的“=”，称函数严格单调。4周期性（不要求）4 反函数1求反函数的步骤（1）从中解出；（2）交换字母x与y的位置。例子：求函数y=3x+1的反函数。2函数存在定理（重点）若函数在上是单调的，其值域是，则函数存在反函数，其定义域是，值域是。思考：函数在定义域上存在反函数吗？ 5基本初等函数要求：记住五类基本初等函数的解析表达式，会画图形，并会看图说话（指掌握性质）1 常函数2 幂函数重点掌握的图形和性质。3 指数函数4 对数函数5 三角函数6 反三角函数（不要求）6复合函数1复合函数定义：。注意：（1）复合函数是一种函数之间的运算（2）要求的值域包含在的定义域之中。所以并不是任何两个函数都能构成一个复合函数。例如：就不能构成复合函数。例子：指出下列函数是由哪些函数复合而成的。（1） （2）2初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加减乘除或复合运算所得到的函数称为复合函数。作业：P44自测练习第五部分 极 限教学目的：使学生理解极限概念，掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求比较简单的极限值，理解无穷大量和无穷小量和函数连续的概念。教学重点：极限的概念与运算教学难点：函数的连续性。教学过程：1 数列极限1.数列看下面的各串数： （1） （2）1，2，3，4，n, （3）6,6,6,6,6,6, （4） （5）8,-8,8,-8,8,-8,象上述无穷个数按照某种规律排列成一串： 称为数列。记为,其中叫做数列的通项，n表示序号，是自然数。2数列极限观察上述六个数列的变化趋势。第一个反映了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的思想。到无限远处的项的值趋于0；第二个趋于无穷大；第三个总是6；第四个趋于-1；第五个不固定。定义：对于数列，当n 无限增大时，无限趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以A为极限。记作思考：数列0.9,0.99,0.999,0.9999,的极限是什么？注意：数列极限的语言，不做要求。2函数极限函数极限比数列极限情形多，有六种情形：即。定义：对于函数，若当时，函数，则称当时，函数以A为极限。记作：。同理可以定义其他五种：，。思考：（1） （2） （3）（教师画图提示，用观察法）定理：的充分必要条件是。例子：设函数，问极限存在吗？练习：P67小练习。3极限运算法则 两个重要极限一、极限运算法则定理：相同变化过程下，若、都存在，则：（1）=+；（2）=.；（3）（）。（不要求证明，（4）-（6）不要求）例子：求下列极限：（1） (2) （3）二、两个重要极限两个极限存在定理不要求。1（不证）大家记住会做题即可，记忆窍门：。例子：求下列极限： （1） （2） （3）2或记忆窍门：或例子：求下列极限：（1） （2）第二个重要极限的背景也不要求。练习：P74小练习4无穷小与无穷大一、无穷小1.定义：若=0，则称为该极限过程下的无穷小。注意：（1）无穷小是个变量，无论多么小的常数（0除外）都不是无穷小。（2）无穷小与极限过程有关，在某一过程下的无穷小在另外的极限过程下可能就不是无穷小了。（3）0是唯一的常数无穷小。思考：时，下列变量谁是无穷小？（1） sinx；（2）；（3）；(4) 2.性质（1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小； （2）有限个无穷小之积仍为无穷小；（3）常数与无穷小之积仍为无穷小；（4）无穷小与有界变量之积仍为无穷小。例子：求的值。3阶的比较无穷小趋于0的速度不同，快的称为“阶高”，慢的则称为“阶低”。比较原则：设与是同一极限过程的两个无穷小，且。（1）若=0，则称是比阶高的无穷小；（2）若=，则称是比阶低的无穷小；（3）若=(,为常数)，则称与是同阶的无穷小；（4）若=1，则称与是等价的无穷小，记作。例子：比较下列每对无穷小阶的高低。 （1）sinx与tanx（x）；（2）与sin2x（x）；（3）二、无穷大量定义：若，则称是该极限过程下的无穷大量。注意：（1）无穷大量是个变量；（2）与极限过程有关。（3）无穷小量的倒数是该极限过程下的无穷大量。例子：x时，都是无穷大量。练习：P76,P77的练习。5函数的连续性一、连续概念定义：设函数在的一个邻域内有定义，且，则称函数在连续。否则，称为间断。说明：函数在连续下列三条同时成立。（1）存在；（2）存在；（3）。也就是说，上述三条如果有一条不满足，则函数在该点就间断。例子：讨论下列函数在指定点的连续性。（1）在处；（2）在处。二、连续函数若函数在开区间内的每一点都连续，则称函数在开区间内连续；此外，若在左端点右连续，右端点左连续，则称函数在闭区间上是连续的。例如，函数在内连续。三、初等函数的连续性定理：初等函数在其定义域内都是连续的。练习： P81的练习，P86自测练习 作业：形成性考核112页第六部分 导 数教学目的：使学员理解导数概念、高阶导数概念及其几何意义，记住求导公式和求导法则，熟练地求初等函数的导数，理解中值定理，会用导数研究函数的性质，掌握简单的求最值的应用问题教学重点：导数的概念和计算教学南点：中值定理的理解，用导数研究函数的性质教学过程：1 两个例子例1：求函数在点处的切线斜率。解：如图：，割线AB的斜率为：， 切线斜率为：例2：设某质点作变速直线运动，运动规律为，求质点在时刻的瞬时速度。解：如上图，在时刻内的平均速度为：在时刻的瞬时速度为：。 2 导数定义及几何意义总结上一节的两个例子，都经历了共同的过程，产生了一种数学模型。一、导数定义定义：设函数及其邻域内有定义，给处x的改变量，则得到y的改变量，若存在，则称此极限值为函数的导数，记作。注意：（1）若上述极限不存在，则称函数在该点不可导；（2）可定义左导数和右导数。（3）若函数(a，b)内的每一点都可导，则称函数在(a，b) 内可导， 记作等，称为导函数。例1：求函数在点x=1处的导数。 二、导数的几何意义导数的几何意义：函数的导数值就是函数在该点处切线的斜率。例2：求函数在点（1,2）处的切线斜率。三、可导与连续的关系例3：考察函数在点x=0处的可导性与连续性。3求导公式与法则用定义求导数比较麻烦，我们今后将用公式和法则去求导数。一、求导公式12345678910111213141516二、求导法则设函数、均可导，则12 3 4以上公式请大家记熟。例1：求下列函数的导数12344 复合函数求导法则设函数均可导，则也可导，且 (告诉学生记忆窍门)。例子：求下列函数的导数1234练习：P1135 高阶导数前面我们学习了导数，即一阶导数。函数一阶导数的导数叫做二阶导数，记作 等。类似地，可定义三阶以上的导数。三阶导数：四阶导数： n 阶导数：注：本部分要求大家会求二阶导书即可。例子：求下列函数的二阶导数123练习题： P1166 微分中值定理从本节开始往后为导数的应用部分。一、费马定理设函数在的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。(不证)今后称导数为0的点为驻点。从几何意义去理解。二、罗尔定理设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足，那么至少存在一点，使得。（不证）从几何意义去理解三、拉格朗日中值定理设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，那么至少存在一点，使得。（不证）注意：罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。四、柯西中值定理（不要求）小结：本节的几个定理，要求在理解的前提下，记住定理的条件与结论即可。7 洛必达法则设函数在点的某邻域内可导，则有下列关系成立。，这里，前边的极限为 或。极限过程可以是6种中的任意一种。（不证）注意：（1）罗必达法则可以连续使用； （2）该法则很强大； （3）该法则不是万能的； （4）每次使用前必须检查。例1：利用洛必达法则求下列函数的极限1234例2：如何求下列极限12例3：下列做法正确吗？1小结：使用洛必达法则必须注意前面4点。练习：P1268 函数的单调性与极值一、单调性与极值定理：若函数在区间(a，b)内可导，则：（1） 若，则函数在区间(a，b)内单调增加。（2） 若，则函数在区间(a，b)内单调减少。 从上图几何意义比较好理解和记忆。定义：设函数在点及其邻域内有定义，若对任意的，总有，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值。同理可定义极小值及其极小值点。单调性与极值通常一起研究。极值点的怀疑对象（画图说明）例1：求函数的单调区间和极值点。做法：（1）求出定义域；（2）求出驻点和连续但不可导的点；（3）划分定义域，列表；（4）从表中可看出单调区间与极值点。 例2：求函数的单调区间和极值。二、函数的最值连续函数再闭区间上肯定存在最大值和最小值，求最值的步骤如下：1 找出闭区间上的驻点和那些连续但不可导的点；2 依次计算出驻点、连续但不可导的点、区间端点处的函数值；3 比较大小，可得出最大值与最小值。例3：求函数在区间-2，2上的最大值和最小值。练习题：P1339 最值的应用一些求最大值和最小值的实际问题，我们可以利用导数来解决，步骤如下：1 画出图形；2 分析题意；3 设出变量；4 列出函数；5 求出驻点（唯一的）；6 求出最值；7 写出答案。例1：设圆柱的体积为V，问：在什么形状下制造这个圆柱最为经济？练习题：书本P136，小练习 书本P137，自测练习作业题：形成性作业P1317第七部分 微 分1 微分概念我们知道， ， 中起主要作用的是第一部分，称为线性主部。我们把线性主部称为函数在点的微分。记作 .当为任意点时，微分可写成 .考察函数 ， ， ， 因此，微分又可以写成 .练习：P144，12 微分公式与微分法则一、微分公式1 2. 3. 4 5. 6. 7 8. 9. 10 11. 12. 13. 14. 15. 16. 以上公式就是求导公式的变形，不用额外去记忆了。二、微分法则1234 （）三、一阶微分形式的不变性对于函数，无论u是否为中间变量，总有 成立。证明：（1）若u是自变量，由微分定义知上式成立。 （2）若u是中间变量，即 ，这时，也成立。例1：求函数分别在点x=0与点x=1处的微分。例2：求下列函数的微分。12注意：求函数的微分有两种方法：一是先求出导数，再放入中；二是直接利用微分自己的一整套公式与法则。练习题：P146，1，23 利用微分作近似计算从微分定义知道， 利用此近似公式可以计算附近的函数值。例1：求的近似值。例2：证明，当的绝对值很小时，这也是考试的内容之一，大家不要轻视。练习题：P149，1 P151，自测练习作业题：形成性考核册，P1719第八部分 不定积分教学目的：使学生理解原函数与不定积分的概念，熟记积分公式，掌握性质与与运算法则，熟练掌握不定积分的直接积分法与第一换元法。教学重点：不定积分的计算。教学南点：换元积分法。教学过程：1 不定积分的定义一、原函数设函数且处处有，或者，则称的一个原函数。例如，的一个原函数。定理：若的一个原函数，则都是的原函数。证明： 是的原函数。结论：函数一旦有一个原函数，则它会有无穷多原函数，它们相互之间相差一个常数。思考：函数的原函数是谁？二、不定积分函数的原函数的全部，称为函数的不定积分，记作 ，设的一个原函数，则=，这里为任意常数。例1：求 三、不定积分的性质1234 四、不定积分的几何意义表示一族模样相同只是位置不同的曲线，称为积分曲线。练习题：P159，1，2，32 不定积分运算法则与积分公式一、运算法则12二、积分公式1 2. 3 4. 5 6. 7 8. 9 10. 11这里为任意常数。例1：求例2：求例3：求注意：最后不要忘记“”练习题：P1621，2，33 不定积分的计算换元积分法= 因为里面有“凑微分”的地方，所以也叫“凑微分法”。步骤如下：第一步：看准大方向；第二步：开始凑微分；第三步：使用积分公式。例1：求例2：求例3：求例4：求例5：求例6：求例7：（作三角代换）练习题：P165，1，2，3，4；自测题。作业题：形成性考核册 P2125。第九部分 定 积 分1 定积分概念一、两个例子例1：设函数在闭区间a，b上连续且非负，求由 、x=a、x=b以及x轴所围的曲边梯形的面积。 解：在区间内插入个分点：，把区间分成个小区间，其长度为，其中0，1，2，3，在每个小区间上任取一点：，得到小窄条的近似面积，再求出整个曲边梯形的近似面积，令， 则曲边梯形的精确面积为例2：设质点在直线上作变速运动，其速度是连续函数，求从时间t=a到时间t=b质点走过的路程。解：在区间内插入个分点：，把区间分成个小区间，其长度为，质点走过第i个小区间的路程的近似值为，总路程的近似值为，令，则总路程的精确面积为二、定积分定义上述例子可产生一种数学模型。定义：设函数在区间内插入个分点：，把区间分成个小区间，其长度为，其中0，1，2，3，在每个小区间上任取一点：，并作乘积，再求出部分和，令，若（为常数），则称为函数的定积分，记作，其中a叫做积分下限，b叫做积分上限， x叫做积分变量，f(x)叫做被积函数。三、几何意义若，则定积分表示由，轴所围曲边梯形的面积。如前面例1图所示。练习题：P175，12 定积分的性质设在闭区间上都连续，且a，b，c，k都是常数，则有以下性质。（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）若在；（8）设, 则：；（9）设函数 则在，使得。以上性质我们可以用几何意义去理解。3 微积分基本定理一、边上限的定积分为一个关于的函数。为避免混淆，可写成，表示下列图形中阴影部分的面积。定理：设函数则上可导，且。例1：求例2：求例3：求例4：求二、微积分基本定理定理：设函数则=，这里也叫牛顿莱布尼兹公式，这个定理给出了一种十分简单的求定积分的方法，给出了不定积分与定积分这两种看上去相差甚远的两种不同事物之间的必然联系，两者是那样的密切！例5：求 例6：求练习题：P186，1，24 定积分的应用一、求平面图形的面积见本部分一开始的图形，这是最简单的情形。但是通常要比它麻烦些，如图。 图一 图二图一所示的面积应为图二所示的面积应为注意：只要拥有上图的形状，无论处在坐标系的什么位置，上述面积公式总是成立的。如图一所示的情形，假设图形平移到另一处，此时，（两个常数肯定一样大），代入公式得 ：，仍然成立。我们还可以用另外的方法来说明公式的正确性。为了记忆的方便，特推出以下方法。平行光束穿越法：用一束平行光束去照射图形，若入口线和出口线最少（最好各只有一条），则选择这种照法。此时，光束垂直于哪根轴，就选择这根轴所在的变量为积分变量。图一所示的面积应为图二所示的面积应为（这时要用y去表示x）例1：求由y=C，x=a，x=b，x轴所围图形面积。答案：C(b-a)，正好是长乘以宽。例2：求圆的面积。答案：，正好是圆的面积公式。这里会用到前面讲积分方法时遇到的那个积分。直接用结果即可。例3：计算由抛物线，与直线所围成的图形的面积。例4：求由两条抛物线所围成的图形的面积。书中例6不要求。二、求旋转题体积1 微元法定积分定义中的四部可以简化为两步（以求面积为例）：第一步：取微元，得到dQ=f(x)dx；第二步：得整量，Q=2 旋转体体积由微元法知，由曲线y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积为 由曲线y=f(x)，y=c，y=d以及y轴所围的图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积为 例5：求半径为r的球的体积。提示：球的方程为 例9：设区域S由曲线，y轴与直线y=1和y=4所围成，求区域S绕y轴旋转所产生的立体体积。三、平均值函数y=f(x)在区间a，b上的平均值为 总结：参见书P198，这是考试中出填空题非常密集的地方，大家要理解透彻，牢固记忆。练习题：书P201，自测题作业题：形成性作业P2630第十部分 微积分简史教学目的：使学员理解并记住微积分的诞生和逐步完善的过程，掌握微积分体系的主要构架，记住那些伟大的发明家以及他们的伟大创举，学习他们不畏艰苦、严谨治学、所向披靡的精神。教学过程：1 微积分的诞生16、17世纪，资本主义开始发展，精密科学、航海学、弹道学的诞生，促进了力学的发展，工业技术的发展，又要求对当时的数学作彻底的改革。革新的旗帜是变量，有了它，数学才能研究运动和变化。一开始都是用特殊的办法去解决同一类型的问题，后来有了一般的方法，并逐步弄清了一些基本概念，最后在牛顿和莱布尼兹手中建立了微积分。微积分的诞生首先是为了处理下列四类问题：1 已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度。2 求曲线的切线。3 求函数的最大值和最小值。4 求积问题。2 积分学的早期史 积分学起源于各种求积问题，所有古代文明对求积问题的研究都开始于求圆的面积。巧辩家安提丰提出，随着圆的内接证多边形的成倍增加，圆与多边形面积之差将被穷竭。阿基米德对数学做出的最引人注目的贡献是积分方法的早期发展。3 中国数学家的贡献 中国数学家刘徽对积分学的贡献主要有两点：1割圆术是他最著名的一项工作，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”2关于解决体积问题的设想。原来求体积的公式为（d为直径），刘徽指出这个公式是错误的。200年后，祖冲之的儿子祖暅沿着刘徽的思路完成了球体公式的推导。4 不可分素方法卡瓦列里是伽利略的学生，他对数学的最大贡献是1635年发表的关于不可分素法的专论，名为“不可分素几何学”。卡瓦列里说：“要决定平面图形的大小可以用一系列平行线；我们设想在这些图形上画了无穷多平行线。”卡瓦列里用不可分素法解决了整数幂的幂函数的积分问题，用现代语言来说，他计算出了下列积分：5 微分学的早期史在17世纪，由于两位杰出的数学家伽利略和刻普普勒的一系列发现，导致了数学从古典数学向现代数学的转折。有趣的是，积分学的起源可追溯到古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。微分学主要来自两个问题的研究，一个是做曲线切线的问题，一个是求函数的最值问题。从一般意义上重新讨论曲线的切线问题，由法国数学家罗贝瓦尔提出，意大利物理学家和数学家托里拆利也持有这种观点，后来出现了发明权的争论问题。6 费马的贡献微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的。刻普勒已经观察到，一个函数的增量通常在函数的极大值或极小值处变得无限的小。费马利用这一事实找到了求极值的方法，并用这个方法解决了曲线的切线问题。曲线的切线问题和函数的极值问题都是微分学的基本问题，正是这两个问题的研究，促进了微分学的诞生，费马在这两个问题上都作了重要贡献。在费马求面积的过程中，我们看到了定积分概念与运算的大部分方面。他把曲线下的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素面积成为无限小时将表达式表示为和式极限的方式。然而，他没有认识到所进行的运算本身的重要意义。对他来说，只是单纯求面积的问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算，并给予特别的名称。7 巴罗的贡献巴罗于1630年出生于伦敦，毕业于剑桥大学。他在物理、数学、天文和神学方面都有造诣。他翻译了欧几里得的几何原本，牛顿是他的学生，1673年被任命为剑桥三一学院院长，1677年逝世于剑桥。巴罗最重要的著作是他的光学与几何学讲义。在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤。8 前期史小结我们来总结一下17世纪“微积分方面”所取得的成就。在卡瓦列里、帕斯卡等人的著作中开始结晶出定积分概念本身，实际上那时已经算出了一系列最简单的积分，常常是几何的形式。在微分学这个领域内，费马给出了一个统一的无穷小方法，用以求最值问题和作曲线的切线问题。最后，巴罗在这两类问题中间搭成了一座桥梁。这样，这门新学科的基础已经具备，但象今天这样的微积分还没有。正如后来莱布尼兹所表达的：“在这样的科学成就之后，所缺少的只是引出问题的迷宫的一条线，即依照代数样式的解析计算法。”在创建微积分的过程当中究竟还有多少事情要做呢？1需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系，创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法。2为这门学科重建逻辑上一致的、严格的基础。9 牛顿和莱布尼兹微积分的系统发展通常归功于两位伟大的科学先驱牛顿和莱布尼兹。过去，一直是分别研究的微分和积分这两个过程，是彼此互逆的过程，由牛顿、莱布尼兹联系起来。牛顿，1643年1月4日生于英格兰的乌兰索普镇，17岁的牛顿进入剑桥大学，1668年获得硕士学位，1669年他继承了巴罗的职位，同时计划出一本关于导数和级数的论著，其中包括微积分基本定理，但是这份手稿一直没有发表，到他去世之后才付印，后来以流数理论著称。他把导数考虑为一种速度，称之为流数。牛顿考虑了两种类型的问题：第一种等价于微分；第二种等价于解微分方程。牛顿把它们的解用到大量的几何问题与力学问题上去。牛顿还研究了函数的极大值与函数的极小值，曲线的切线，曲线的曲率，拐点，曲线的凹凸性等问题。他还给出了适用于代数方程和超越方程求实根的近似解法，现在称为牛顿法。牛顿最伟大的著作是他的原理，这是科学史上最有影响，享誉最高的著作。在爱因斯坦的相对论出现之前，这部著作是整个物理学与天文学的基础。牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。莱布尼兹，1646年6月21日出生在德国莱比锡，15岁进入莱比锡大学学习法律，得到哲学学士学位。1666年，他写了论组合的艺术，完成了他在阿尔特道夫大学的博士论文，并使他获得教授席位。1672年他出差到巴黎，接触到数学家，激起了他对数学的兴趣。莱布尼兹研究了巴罗的著作之后，意识到微分和积分之间的互逆关系。他从1684年起发表微积分论文，他所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到今天。他是的微分运算几乎是机械的。莱布尼兹引入了一套设计的很好的、令人满意的符号。莱布尼兹关于积分学的第一篇论文发表于1686年。他的到的积分法有：变量替换法、分部积分法、有理式的积分法等。莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者，他在创造微积分的过程中，花了很多时间去选择精巧的符号。现在微积分学的基本符号基本上都是他创造的。这些优越的符号为以后分析学的发展带来了极大的方便。综上所述，牛顿和莱布尼兹研究微积分学的基础都达到了同一目的，但各自的方法不同，牛顿主要是从力学的概念出发，而来比拟兹作为哲学家和几何学家对这些方法感兴趣。牛顿接近最后的结论比莱布尼兹早一些，而莱布尼兹发表自己的结论比牛顿早一些。10 光辉的诞生微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。旧数学是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，而新数学是动态的。关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半页微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。”我们看到了微积分的发明远非一二人的工作，它经历了一个漫长而曲折的思想潮流。17世纪最伟大的数学家们都参与了这项伟大的工程。请记住，他们当中有刻普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、罗柏瓦尔、巴罗等，最终在牛顿和莱布尼兹手里集其大成。11 第二次数学危机微积分诞生之后，数学迎来了一次空前的繁荣时期，18世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大的扩展了数学研究的范围。在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机，由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。众所周知，第一次数学危机是公元前5世纪，关于无理数的诞生。虽然在牛顿和莱布尼兹创立微积分之后的大约100年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。并且，两位创