第1节-特征值与特征向量、相似矩阵.ppt

1特征值与特征向量 相似矩阵 1特征值与特征向量 相似矩阵 第五章矩阵的特征值与特征向量 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵 一 特征值与特征向量 二 相似矩阵 1特征值与特征向量相似矩阵 1特征值与特征向量 相似矩阵 一 特征值与特征向量 定义1 列向量 使得 则称数为方阵A的一个特征值 非零向量称为 设A是n阶方阵 若对于数 存在n维非零 A的属于特征值的一个特征向量 注 存在非零向量使 1特征值与特征向量 相似矩阵 设是一个未知量 矩阵称为A的 定义2 特征矩阵 它的行列式 特征方程 其根称为A的特征根 即A的特征值 称为A的特征多项式 方程称为A的 注 n阶方阵A在复数范围内有n个特征值 1特征值与特征向量 相似矩阵 因而 A的特征多项式中 n与 n 1的系数由该项 中 有一项是主对角线上n个元素的乘积 a11 a22 ann 而其他各项至多含有主对角线上的n 2个元素 证由行列式的定义可知 矩阵A的特征多项式 1特征值与特征向量 相似矩阵 E A n a11 a22 ann n 1 1 n A 确定 不难看出 n的系数为1 n 1的系数为 a11 a22 ann 另外 在特征多项式中 令 0可得其常数项为 A 故 由于 1 2 n是A的n个特征值 所以 E A 1 2 n 1 2 n A 证毕 比较上述两式可得 1 2 n a11 a22 ann 1特征值与特征向量 相似矩阵 韦达定理 n次多项式的根与系数的关系 1特征值与特征向量 相似矩阵 C上多项式的根与系数关系 是一个n n 0 次多项式 则它在C中有n个根 记 2 比较 1 与 2 的展开式中同次项的系数 1特征值与特征向量 相似矩阵 得根与系数的关系为 1特征值与特征向量 相似矩阵 1 若是A的属于特征值的特征向量 则 也是A的属于的特征向量 3 一个特征值可以有多个特征向量 4 一个特征向量只能属于一个特征值 2 也是A的属于的特征向量 若是A的属于特征值的特征向量 则不全为零 注 1特征值与特征向量 相似矩阵 求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤 全部特征值 i 求A的特征多项式的全部根 它们就是A的 1特征值与特征向量 相似矩阵 例1 求矩阵的特征值与特征向量 例2 求矩阵的特征值与特征向量 例3 求矩阵的特征值与特征向量 例题 1特征值与特征向量 相似矩阵 例4求矩阵 特征值与特征向量 解 A的特征多项式为 1特征值与特征向量 相似矩阵 所以 A的特征值为 当 时 解方程组 即 1特征值与特征向量 相似矩阵 解之得基础解系为 所以属于 的一个线性无关的特征向量就是 1 1 2 3 全部特征向量就是 1特征值与特征向量 相似矩阵 当 时 解方程组 即 1特征值与特征向量 相似矩阵 解之得基础解系为 所以属于 的一个线性无关的特征 向量就是 全部特征向量就是 1特征值与特征向量 相似矩阵 性质1 n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同 主要性质 A的全体特征值的和 A的全体特征值的积 性质2 设n阶矩阵 则 可逆矩阵的特征值一定不为零 注意 1特征值与特征向量 相似矩阵 3 必有一个特征值为 4 A可逆时 必有一个特征值为 5 A可逆时 必有一个特征值为 6 多项式必有一个特征值为 2 必有一个特征值为 性质3 已知为n阶矩阵A的一个特征值 则 1 必有一个特征值为 1特征值与特征向量 相似矩阵 例7 已知3阶矩阵A的特征值为 1 2 3 求 行列式 例6 已知3阶矩阵A的特征值为 1 1 2 则矩阵的特征值为 行列式 例5 设3阶矩阵A满足 则A的特征值 只能是1或2 1特征值与特征向量 相似矩阵 解 例8 已知3阶矩阵A的特征值为 1 2 3 求 行列式 1特征值与特征向量 相似矩阵 定理1 设是A的属于不同特征值的特征 向量 则线性无关 特征值的特征向量 则 定理2 设是阶矩阵A的属于互不相同的 线性无关 属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关 1特征值与特征向量 相似矩阵 值 是A的属于特征值 定理3 设是阶矩阵A的互不相同的特征 的线性无关特征向量 则向量组 线性无关 对一个矩阵 属于每个特征值的线性无关特征向量 合在一起仍为线性无关 1特征值与特征向量 相似矩阵 二 相似矩阵 1 定义 设A B为两个n阶矩阵 若存在可逆矩阵P 使得 则称矩阵A相似于B P称为相似变换矩阵 2 基本性质 1 相似矩阵的转置矩阵也相似 2 相似矩阵的幂矩阵也相似 1特征值与特征向量 相似矩阵 3 相似矩阵的多项式也相似 4 相似矩阵的秩相等 5 相似矩阵的行列式相等 6 相似矩阵的可逆性相同 当它们可逆时 其 逆矩阵也