概率统计和随机过程课件第四章随机变量的函数的分布.ppt

内容复习 问题 已知随机变量X的概率特性 分布函数或密度函数 分布律 Y g X 求随机因变量Y的概率特性 方法 将与Y有关的事件转化成X的事件 第四章随机变量的函数的分布 1 设随机变量X的分布律为 由已知函数g x 可求出随机变量Y的所有可能取值 则Y的概率分布为 2 已知随机变量X的密度函数f x 或分布函数 求Y g X 的密度函数或分布函数 方法 1 从分布函数出发 2 从密度函数出发 3 一般地 y xn 4 特别地 若g x 为单调函数 则 y x1 5 定理1 定理2 7 4 2二维随机变量函数的分布 问题 已知二维随机变量 X Y 的概率特性g x y 为已知的二元函数 Z g X Y 求 Z的概率特性 方法 转化为 X Y 的事件 8 当 X Y 为离散型随机变量时 Z也为离散型 9 设X B n1 p Y B n2 p 且X Y相互独立 则X Y B n1 n2 p 关于离散型随机变量的两个重要结论 设X P 1 Y P 2 且X Y相互独立 则X Y P 1 2 10 问题 已知二维连续随机变量 X Y 的概率特性g x y 为已知的二元函数 Z g X Y 求 Z的概率分布和密度函数 当 X Y 为连续型随机变量时 其中 11 的几何意义 Dz 12 问题 已知随机变量 X Y 的密度函数 Z g X Y g x y 已知 求 Z的密度函数 方法 从求Z的分布函数出发 将Z的分布函数转化为 X Y 的事件建立一个新的二维随机变量 Z X 或 Z Y 求其边缘分布得Z的密度函数 13 1 和的分布 Z X Y 设 X Y 为连续型随机变量 联合密度函数为f x y 则 x y z 或 14 特别地 若X Y相互独立 则 或 或 称之为函数fX z 与fY z 的卷积 15 例1已知 X Y 的联合概率密度为 Z X Y 求fZ z 解法一 图形定限法 显然X Y相互独立 且 16 17 解法二从分布函数出发 当z 0时 18 当0 z 1时 19 当1 z 2时 z 1 20 当2 z时 21 对于X Y不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布 例2已知 X Y 的联合密度函数为 Z X Y 求fZ z 解法一 图形定限法 由公式 1 最重要一步 22 当z2 当0 z 1 当1 z 2 fZ z 0 23 这比用分布函数做简便 24 解法二 不等式组定限法 考虑被积函数取非零值的区域 由此不等式边边相等 解得z轴上的三个 分界点0 1 2 当或时不等式组无解 当时不等式组解为 当时不等式组解为 25 26 正态随机变量的情形 重要 若X Y相互独立 则 若 X Y 则 则 27 推广 已知 X Y 的联合密度f x y 求Z aX bY c的密度函数 其中a b c为常数 a b 0 28 另一种计算fZ z 的方法 先构造一个新的二维随机变量 Z U 它们是 X Y 的函数 而Z aX bY c 求 Z U 的联合密度函数f z u 求边缘密度fZ z 29 h s有连续的偏导数 记 则 已知 X Y 的联合密度fXY x y 求 Z U 的联合密度函数fZU z u 的方法 30 证 31 例3已知 X Y 的联合密度函数为 Z X Y 求fZ z 解法三 令 32 最重要一步 33 34 例4已知 X Y