数列求和.doc

江苏省镇江第一中学2015届高三文科(数学)一轮复习讲义 授课教师:刘海军 2014.925数列求和【复习目标】掌握常用数列求和的方法(已知通项求和；已知和式求通项；公式法求和；错位相消求和；裂项相消求和)【知识梳理】1等差数列前项和_=_,推导此公式的方法为： _.2.等比数列前项和3常见数列求和法：（1）公式法直接求和： （2）分组转化求和： （3）裂项相消法求和： （4）倒序相加求和：（5）错位相减求和：4.常见的拆项公式有：（1） _（2）_ (3)_【基础训练】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)1.数列中，则该数列前项的和为 2.已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=_.3.数列前项和为，则= .4. 数列2，4+6，8+10+12，14+16+18+20，的前n项和Sn为_.5.数列1，2，3，4，的前n项和Sn 6= .7. 已知数列an的通项为an=,则它的前99项和S99=_.【典例选析】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)【例1】 求下列各数列的前n项和：（1） 1，3，5，7，；（2） 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，.【变式拓展】求下列各数列的前n项和：（1） 求数列：1，的前项和（2）求数列1，1+a ，的前n项和（3）已知数列，求数列前项和为。【例2】求和：【变式拓展】求数列的前n项和：，；【例3】已知数列，求前项和。【变式拓展】设a为常数，求数列a，2a2，3a3，的前n项和；【例4】 设f（x）=，求f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6）的值.【变式拓展】设函数，若，则= ；又若，则= 。【例5】 (思考题)已知数列an的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项.数列bn中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上.（1） 求数列an和bn的通项公式；（2） 设bn的前n项和为Bn，试比较+与2的大小；（3） 求+的和.【课后练习】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)1数列前项和为 .2已知数列是等比数列，则= .3 已知数列an的通项公式an=2n+1，bn= (a1+a2+an)，则数列bn的前n项和Sn=_4数列的通项公式为，则该数列的前项和为 .5在数列中，且，则这个数列的前项的绝对值之和为 .6 已知数列an的前n项和Sn=9-6n,且an+1=2nbn (nN*)(1) 求数列an与bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn数列求和【复习目标】掌握常用数列求和的方法(已知通项求和；已知和式求通项；公式法求和；错位相消求和；裂项相消求和)【知识梳理】1等差数列前项和_=_,推导此公式的方法为：_1. 等差数列的前n项和公式Sn=倒序相加法.2.等比数列前项和2.等比数列的前n项和公式Sn=3常见数列求和法：（1）公式法直接求和： （2）分组转化求和： （3）裂项相消法求和： （4）倒序相加求和：（5）错位相减求和：3. 公式法直接求和：若可以判断出所求数列是等差、等比数列，则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和. 分组转化法求和：把数列的每一项拆成两项的差（或和），或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列. 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项的差（或和），使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或少数几项和（差）. 倒序相加法求和：把Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和. 错位相减法求和：数列anbn的求和问题应用此法，其中an是等差数列，bn是等比数列.4.常见的拆项公式有：（1） _（2）_ (3)_【基础训练】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)1.数列中，则该数列前项的和为 2.已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=_.2.答案;解析an是等比数列，q3=,q=，即a1=4.anan+1构成以8为首项，为公比的等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=.3.数列前项和为，则= .4. 数列2，4+6，8+10+12，14+16+18+20，的前n项和Sn为_.4.答案n（n+1）（n2+n+2）;解析因为第n项中有n个偶数，所以前n项中共有n（n+1）个偶数，因此Sn等于以2为首项，2为公差的等差数列的前n（n+1）项和，故Sn=n（n+1）（n2+n+2）.5.数列1，2，3，4，的前n项和Sn 6= .7. 已知数列an的通项为an=,则它的前99项和S99=_.7.答案18【典例选析】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)【例1】 求下列各数列的前n项和：（1） 1，3，5，7，；（2） 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，.思维引导对于非等差数列、非等比数列的求和问题，求出其通项公式是关键，学会从通项公式的结构特征进行分析，选择合理的方法.解答（1） an=2n-1+ Sn=（1+3+5+2n-1）+=.（2） an=1+2+22+23+2n-1=Sn=（21-1）+（22-1）+（23-1）+（2n-1）=（2+22+23+2n）-n=2n+1-n-2.【变式拓展】求下列各数列的前n项和：（1） 求数列：1，的前项和（2）求数列1，1+a ，的前n项和（3）已知数列，求数列前项和为。精要点评求解非等差、等比数列的前n项和问题时，既要注意把握一般规律与常规方法的运用，又要注意创新方法的寻求:通过分析通项公式的特征，灵活地将an拆分为等差或等比数列来实现求和是一种最基本的思想，而裂项消相法则是实现求和常用的技巧和手段.运用裂项消项法时，要注意消项后剩余项的规律.【例2】求和：【变式拓展】求数列的前n项和：，；（2） an=Sn=1+1+1+=n+=n+.【例3】已知数列，求前项和。【变式拓展】设a为常数，求数列a，2a2，3a3，的前n项和；解答 若a=0，则Sn=0； 若a=1，则Sn=1+2+3+n=； 若a0且a1，则Sn-aSn=a（1+a+a2+an-1-nan），即Sn=1-（n+1）an+nan+1.【例4】 设f（x）=，求f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6）的值.解：.f（-5）+f（6）=f（-4）+f（5）=f（0）+f（1）=，令S=f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6），则S=f（6）+f（5）+f（0）+f（-4）+f（-5）,2S=12=6，S=3.【变式拓展】设函数，若，则= ；又若，则= 。【例5】 (思考题)已知数列an的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项.数列bn中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上.（1） 求数列an和bn的通项公式；（2） 设bn的前n项和为Bn，试比较+与2的大小；（3） 求+的和.思维引导首先根据已知条件求出an和bn，考查an，bn，灵活地对+与求和处理.解答（1） 由条件得2an=Sn+2，则2an+1=Sn+1+2，两式相减，得2an+1-2an=an+1，即=2.又a1=S1=2（a1-1），a1=2.an是以2为首项，2为公比的等比数列.an=2n.点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，bn-bn+1+2=0，即bn+1-bn=2.又b1=1，bn是以1为首项，2为公差的等差数列.bn=2n-1.（2） 由（1）知Bn=,.（3） Tn=,由-，得Tn=精要点评（1） 高考中有关数列求和的题目往往是综合性的，掌握常见的求和方法是关键;(2) 在证明不等关系或比较大小时，要灵活应用不等式的有关性质与方法;（3） 求数列anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列，错位相减法是最为有效的方法，其基本步骤是：先写出Sn，再求qSn，然后求（1-q）Sn，但必须注意“同类项”对齐，即要错位以便相减.总结规律数列的求和应掌握常用的变形方法，把握住题设条件及题目所涉及的所有知识，合理地进行转化.在解题时应注意：（1） 运用公式求和要注意公式成立的条件，运用错位相减法求和时，相减后，若两边需要除以含参数的代数式，则要讨论代数式是否为0的情况.（2） 对既不是等差数列也不是等比数列的数列，应先分析它的通项公式，抓住特点，将数列求和问题转化成已知的等差、等比数列的求和问题来处理.【课后练习】(请同学们把规范的解题过程写在对应的题目下方空白区域!)1数列前项和为 .2已知数列是等比数列，则= 。3 已知数列an的通项公式an=2n+1，bn= (a1+a2+an)，则数列bn的前n项和Sn=_6.【解析】 an=2n+1，