2019_2020学年高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2.docx

第4章 圆与方程求圆的方程【例1】求圆心在圆y22上，且与x轴和直线x都相切的圆的方程解设圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆y22在直线x的右侧，且所求的圆与x轴和直线x都相切，所以a.所以ra，r|b|.又圆心(a，b)在圆y22上，所以b22，联立解得所以所求圆的方程是(y1)21，或(y1)21.1求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题2采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)(3)解出a, b, r(或D, E, F)(4)代入圆的方程1已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x3y290相切，求圆的方程解设圆心为M(m，0)(mZ)，由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以5，即|4m29|25，因为m为整数，故m1，故所求圆的方程为(x1)2y225.直线与圆的位置关系【例2】已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200.(1)mR时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长解(1)直线的方程可化为y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点P(4, 3)由于42(3)26412(3)20150，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交(2)如图，当圆心C(3, 6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短此时PCl，所以直线l的斜率为，所以m.在APC中，|PC|，|AC|r5，所以|AP|2|AC|2|PC|2251015，所以|AP|，所以|AB|2，即最短弦长为2.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单2已知圆C关于直线xy20对称，且过点P(2, 2)和原点O.(1)求圆C的方程；(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(1, 0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程解(1)由题意知，直线xy20过圆C的圆心，设圆心C(a, a2)由题意，得(a2)2(a22)2a2(a2)2，解得a2.因为圆心C(2，0)，半径r2，所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，所以l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：y(x1)，即xky10.由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，所以，解得k1，所以直线l1的方程为xy10或xy10.圆与圆的位置关系【例3】已知圆C1：x2y24x4y50与圆C2：x2y28x4y70.(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为C1(2，2)，r1；C2(4，2)，r2.因为|C1C2|2r1r2，所以圆C1与圆C2相切由得12x8y120，即3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得.所以所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0，即x2y28xy90.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系3已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为_xy30AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为xy30.空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】如图，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且|AN|3|NC|，试求|MN|的长解由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系 因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A(a，0，a)，C(0，a，a)，D(0，0，a)由于M为BD的中点，取AC的中点O，所以M，O.因为|AN|3|NC|，所以N为AC的四等分点，从而N为OC的中点，故N.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|a.求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定4如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示