初中预科班自编教材.doc

第一章 向东走 向西走一 向东走 向西走1. 具有相反意义的量2. 用“+”“”表示具有相反意义的量3. “+”“”的另一层含义：不变和相反二 绝对值1. 量的变化 量的变化方向 量的变化大小2. 绝对值和绝对值的表示3. 正数的绝对值、负数的绝对值、零的绝对值三 数轴1. 安座位2. 排大小3. 定数轴4. 找规律第二章 画一画 议一议一 点与线1. 给点、线起个名2. 两点定直线，两线交一点二 线与线1.两线四角2. 三线八角3. 画垂线4. 线段的垂直平分线5. 角的平分线6. 距离第三章 找座位1.找座位（有序数对）2.建立坐标系3.确定点的坐标和由坐标找点4.坐标找规律第四章 展开和折叠第五章 轴对称第一章 向东走 向西走一 向东走 向西走1. 具有相反意义的量师：我们生活的这个世界，是一个五彩斑斓的世界，不但多姿多彩而且多变。可是在变化之中又有许多规律可循。有这样一类问题，我列出来同学们看一看有什么共同之处？收入500元 支出300元；某螺丝比标准尺寸长了2mm 某螺丝比标准尺寸短了3mm；鸡蛋每千克降价0.4元 鸡蛋每千克涨价0.3元；气温升高3度 气温降低5度；小霞向东走100米 小霞向西走100米； 生：（学生的回答可能多种多样，老师要多肯定少否定）师：像这样的情况恰好相反的两个量我们把它们称为“具有相反意义的量”。请同学们根据自己的生活经验提出一些对“具有相反意义的量”来。生：（学生提出，老师与其他同学分析该同学提出的对还是错）师：提问，为以后提出原点做准备。a收入与支出是相对 来说的。b螺丝比标准尺寸长与比标准尺寸短是相对 来说的c鸡蛋降价与涨价是相对 来说的。d气温升高与降低是相对 来说的。e小霞向东走与向西走是相对 来说的。2. 用“+”“”表示具有相反意义的量（1）师：为了让上面的“具有相反意义的量”的表示更为简捷，我们分别用“”（读作“正”号）和“”（读作“负”号）来表示一个问题的“具有相反意义的两个方面。比如：a.规定“收入”为“”，那么“支出”为“”。在这个问题中，“500”就是“收入500”，“ 300”就是“支出300”； b.规定“比标准尺寸长”为“”，那么“比标准尺寸短”为“”。 在这个问题中“2mm”就是“比标准尺寸长2mm”，“ 3mm”就是“比标准尺寸短3mm ”； c.规定“涨价”为“”，那么 为“”。 在这个问题中，“0.3元”就是 ，“0.2元”就是 ； d.规定“升高”为“”，那么 。 在这个问题中，“3度”就是 ，“5度”就是 。 e.规定“向东走”为“” ，那么 。 在这个问题中，“向东走100mm”可表示为“ ”，“向西100mm”可表示为“ ”； （2）这样我们就又引出了一种新的数，带“”“”的数。如：500、2、0.3、3、100等都是带“”的数，我们把它们叫做“正数”； 300、3、0.2、5、100等都是带“”的数，我们把它们叫做“负数”。我们以前在小学学过的2、10.6、100等都是正数，不过是把“”号省略了。也就是说：500=500；2=2；0.3=0.3；3=3；100=100。比如：规定“收入”为“”，那么“支出”为“”。在这个问题中，“ 500”就是“收入500”，“ 300”就是“支出300”；正数前面的“”号可以省略不写，但是负数前面的“”号不能省略不写。（3）我们一起来看看下面的几个问题：a. 规定“比桌子高为正”，小梅比桌子高7厘米表示为 ，也可以表示为 ，小东比桌子低3厘米表示为 ，那么小明和桌子一样高用 表示；b. 如果“1000元”表示存入1000元，那么“700元”表示 ，“0元”表示 ； c.规定“增产为正”， “200吨”表示 ，“100吨”表示 ，那么和去年产量一样记为 ；d.潜水艇现在水面下米。规定“上浮为正”， “米”表示上浮了米，到了水下米处；那么“米”表示 ，到了水下 米处；“米”表示 ，潜水艇在水下 米处。小结：由上面的问题可以看出，在过去是用来表示没有，而现在还可以表示“一对具有相反意义的量的分界线”。它既不是正数，也不是负数。练习13 1.读下列各数 2,1.5, ,0,120,0.6,， 2.篮球比赛中，如果得分记为“正”，那么，进2个球得分是 ，失1个球得分是 ，没进球也没失球得分是 。25 3.下面各数那些是正数，那些是负数？ ，0.56,210,4,0,300, 4. 一位同学从学校出发向东走50米记作“50m”，那么他又走了60m，是什么意思？这时他在学校的什么方向？离学校多远？ 5.阅读材料后填空： 现代工业生产中，对产品的尺寸、质量都设计了标准规格。但是，一般在实际加工过程中，每个产品不可能做得与标准规格完全一样。在一定的范围内，只要不影响使用，做得稍大一点或稍小一点，都属于合格品。超出这个范围的就是不合格的了。0.030.02 通常在生产所用的图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定。例如，图纸上注明一个零件的直径是30 时，表示直径，单位是毫米（mm）。零件的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是（300.03）mm,最小可以是（300.02）mm。在这个范围内产品是合格的。这里就用到了0.03和0.02来表示允许误差的大小。32 生活中也有用正负数表示范围的情形，例如，某种药品的说明书上标明保存温度是（20 ）,由此可知在 到 范围内保存才合适。3.“”“”的另一层含义“不变”和“相反”（）例如：规定向东走为正那么，“米”表示向东走了米。“（米）”表示向东方向不变的走了米，所以，（米）米；“米”表示向西走米，“（米）”表示向西的相反方向上走了米，即向东走了米，也就是“米”，所以，（米）米；“（米）”表示向东的相反方向上走了米，即向西走了米，也就是“米”，所以，（米）米；“（米）”表示向西方向不变的走了米，即向西走了米，也就是米，所以，（米）米；（）想一想，填一填规定上升为正那么，“米”表示米。“（米）”表示米，所以，（米）米；“米”表示米，“（米）”表示下降的相反即米，也就是米，所以，（米）米；“（米）”表示与上升相反，即米，也就是“米”， 所以，（米）米； “（米）”表示方向不变的下降，即米，也就是“米”，所以，（米）米；（3）同学们看左边四个等式和右边四个等式有什么相同点和不同点？（米）米；（米）米；（米）米；（米）米；（米）米；（米）米；（米）米；（米）米；左边四个等式等号左侧的两个符号都 ，右边四个等式等号左侧的两个符号都 ；左边四个等式等号右侧都得“ ”，右边四个等式等号右侧都得“ ”。我们把这一规律归纳为“同号得正，异号得负”，请同学们据此填空：(2.8) ； (21)；(15)； (1.25)；(15)= ；(1.25)= ；(2.8)= ； (21)= ；（4）a.比一比内容，说一说异同2与2； 0.6与0.6；13与13 3.21与3.21以上四组数字的相同点是 ，不同点是 。 象这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。b.算一算，比一比7；(7)= 3.4；(3.4)= 2.76；(2.76)= 125；(125)= 以上各组数是互为相反数吗?你发现了什么规律?一般来说：a与a互为相反数。同时规定：0的相反数是0,即：00（我们可以这样理解00，两个人背靠背的站在原来的位置上没动，一个人所走的路程是0,另一个人所走的路程是0）。c. (3)是(3)的相反数吗? (1/3)是 (1/3)的相反数吗?练习25 1.写出下列各数的相反数：3， 3.6， ， 0， ， 2.243 2.化简下列各数 （3.5）, （12）, （ ）, 3.填空 12cm表示比标准尺寸少12cm，那么（12）cm表示比标准尺寸 ； 0.2元表示涨价0.2元，那么 （0.2）表示 。 4.a一定是正数吗？a一定是负数吗？a可能是0吗？二距离与方向1“小冬走了多少米？小明呢？”与“小冬向什么方向走了多少米？小明呢？”这两种问法一样吗？如果不一样，区别是什么？这两种问法有区别：“小冬走了多少米？小明呢？”只问小冬和小明离开原地的距离是多少米，而不管他们走的方向；“小冬向什么方向走了多少米？小明呢？”不但问小冬和小明离开原地的距离是多少米，还问向哪个方向离开。前者只管距离不管方向，后者距离方向都管。2如果规定向东为正，小冬向西走了50米，小明向东走了50米，对于以上问题的回答是：小冬走了多少米？小明呢？答：他们都走了50米。小冬向什么方向走了多少米？小明呢？答：小冬走了50米，小明走了50米（或50米）。前者只回答距离，也就是量的变化大小；后者用“”、“”回答方向，用50回答距离，也就是量的变化。很显然，量的变化包括量的变化方向和量的变化大小。我们把量的变化的大小叫做量的变化的绝对值。a 的绝对值用 a 来表示，读作：绝对值a.32.6量的变化大小是2.6，量的变化方向是“”,所以, 2.6 =2.6 37量的变化大小是37,量的变化方向是“”,所以, 37 =375.95量的变化大小是5.95,量的变化方向是“”,所以, 5.95 =5.95108量的变化大小是108,量的变化方向是“”,所以, 108 =1084根据以上分析完成下列填空+8.57 = 41 = 124.6 = = 问题1：0 = ；2：一个数求绝对值的结果是正数，负数，还是0？3：正数的绝对值和它本身有何关系？负数呢？0呢？ 由上可知：正数和0的绝对值是它们本身 负数的绝对值是它的相反数 练习43 1.求出下列各数的绝对值 0.4, ，0, 3.14, （3） 2.上面的数绝对值最大的数是 ，绝对值最小的数是 。 3.如果a是正数，那么 a = ,如果a是负数，那么 a = ,如果a是0，那么 a = ,4.如果规定向东走为“正”，小花步行的速度是每分20步，她从家出发，先走了80步，又走了50步，又走了70步。她向 再走 步就又回到了家里；回家以前她走了 分钟，这个问题与已知条件中的各个数的绝对值有关系吗？ 三数轴 1安座位 以小红的年龄为比较标准，比小红大规定为正。以下是和小红年龄比较各位同学的年龄记录：姓 名年龄记录姓 名年龄记录姓 名年龄记录小红0小黄+1小赵+3小梁+5小白1小郭3小贾5小李+2小孙+4小陈+6小王2小丁4小刘6以下直线上各个点分别代表一个座位，现在要让这些同学按从小到大的年龄顺序从左到右依次坐下，请把以上这些同学的年龄和名字填到线上。小红小陈小梁小孙小赵小李 小黄小白小王小郭小丁小贾0654321+1+2+3+4+5+6+7小刘2定数轴(1)在这条直线上，0所在的点称为原点，右边的箭头所指方向是正方向，两点之间的距离是1个单位长度。象这样规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴0 654321+1+2+3+4+5+6+7(2)观察下面这条数轴并回答问题：a.原点左侧的点所对应的数是 ，右侧的点所对应的数都是 。b. 1对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ； 2对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ； 3对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ； 4对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ； +1对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；+2对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；+3对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；+4对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；c. 2.5对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；+2.5对应的点在原点 侧，离开原点的距离是 ；你能在数轴上找到这两个数所对应的点吗？1313d. 画一条数轴，并在数轴上描出0.5、+0.5、0.25、+0.25、2、+2、3 、+3 所对应的点。e. 写出下面的数轴上描出的点所表示的数。0 654321+1+2+3+4+5+6+7ABCDEf. 绝对值等于1的数有 个，它们是 ；它们对应的点离开原点的距离是 。 绝对值等于3的数有 个，它们是 ；它们对应的点离开原点的距离是 。 绝对值等于4的数有 个，它们是 ；它们对应的点离开原点的距离是 。绝对值等于2.5的数有 个，它们是 ；它们对应的点离开原点的距离是 。 从数轴的角度上说：一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点离开原点的距离。 练习 1.如果 a =3,那么a 2.5和5的符号 ，绝对值 。 和的符号 ，绝对值 。 a和a的符号 ，绝对值 。3.排大小我们返回来再看一下以小红年龄为标准各同学的年龄情况：小红小陈小梁小孙小赵小李 小黄小白小王小郭小丁小贾0654321+1+2+3+4+5+6+7小刘我们已经知道：从左到右年龄依次增加，因此，数轴上对应的数值的大小关系是：6543210+1+2+3+4+5+6由此可以看出：数轴上的数，右边的比左边的大。 负数都小于0,正数都大于0,负数都小于正数练习：344314121234利用数轴比较大小（先确定表示数的点在数轴上的左右顺序再比较大小） 与 ； 与 ； 与 43341214比较以下绝对值大小 分析上面的两个问题，猜想： 两个负数比较大小，绝对值大的负数 绝对值小的负数 再找几对负数，检验一下你的猜想是否正确。第二章 画一画 议一议 一 点与线1.点线面一个珍珠是一个点，一串珍珠是一条线；一支绵线是一条线，一条 条绵线织起来成了一个面；一块饼子是一个面，一块块饼子垒起来成了一个圆柱体。在宇宙中，银河系是个点；在银河系，太阳系是个点；在太阳系，地球是个点；在地球上，你也是一个点。点是一个抽象的概念，它有相对性，可大可小，可粗可精。线是点移动的轨迹，可长可短可粗可细可曲可直。线也可以看作是点的排列。面是点与线的集合，有曲有直有大有小。几何中研究的点、线、面是从生活中抽象出来的，有别于生活中的点、线、面。初中阶段主要研究直线、平面。2. 给点、线起个名(1).点用一个大写字母起名，如下面的点是点A、点C。AC(2)直线的“学名”：用直线上两个点，其中一个作“姓”，另一个作“名”。ABC如以下直线可叫做“直线AB”，也可叫做“直线BA”。还可以叫做“直线BC”。直线的“乳名”：用一个小线英文字母，如上面的直线也可以叫做“直线m”。(3)线段的“学名”：用线段的两个端点，一个作“姓”，另一个作“名”如下面的线段，可以叫做线段EF，也可以叫做线段FE，但不能叫做线段CF或线段CD。FDEC线段的“乳名”：用一个小写的英文字母表示，如上面的线段可以叫做线段a。(4)射线的“学名”：用射线的端点作“姓”，用射线上任意一点作“名”。如下面的射线可以叫做射线OA或射线OB但不能叫做射线AO或射线AB。OAB射线的“乳名”：用一个小写英文字母表示，如上面的射线也可以叫做射线m。3. 两点定直线，两线交一点画一画，想一想(1)在纸上画一个点A，过点A画一条直线a点A在不离开直线a的情况下可以动起来吗？怎么动?直线a在不离开点A的情况下可以动起来吗？怎么动？(2)在纸上画两点A、B，过这两点画一条直线，并给它起个名。过这两点再画一条直线，能画出来吗？过两点能画几条直线？(3)过三个点画直线，能画几条？问题一：木工装门时，一个门至少用几个合页？为什么？如果用三个合页，装门时需要注意什么？问题二：同学们栽树时，想把一行树栽齐，有什么办法？为什么？注：两点确定一条直线 。(4)在纸上画两条直线,直线m和直线n。这两条直线如果相交，那么有几个交点？可能不相交吗？二 线与线1. 两线四角(1)画直线AB交直线CD于点O；(2) 用量角器量取角AOB、角BOC、角COD、角AOD的大小；(3)它们的大小有什么关系吗? （引出 邻补角 对顶角 的概念）2. 三线八角(1)画直线 a和直线b，使直线a平行于直线b；再画一条直线c和直线a、直线b都相交。 从以上图形中找一个字母F，能找见几个这样的F？（老师指明同位角，并让学生量取同位角，比较它们的大小。） 从其中找一个字母Z，能找见几个这样的Z？（老师指明内错角，并让学生量取内错角，看一下有什么关系？和两线四角联系，想一想为什么？） 从其中找一个字母U，能找见几个这样的U？（老师指明同旁内角，并让学生量取同旁内角，看一下有什么关系？和同位角联系，想一想为什么？）(2)如图，直线a和直线b不平行，直线c和直线a、直线b都相交，以上关系都成立吗？ 3. 画垂线a 画直线的垂线 如下图，过点A画直线la.b 画射线的垂线 如下图，过点A画射线OB的垂线。c 画线段的垂线 如下图，分别过点A、B、C画线段a、b、c的垂线4. 线段的垂直平分线 了解圆规： 如图已知线段CD5cm。 （1）以点C为圆心，以3cm为半径画弧； （2）以点D为圆心，以4cm为半径画弧； （3）两弧相交于几个点？量取交点到点C、点D的距离，你会发现什么？ （4）在上图中找一个点O，使得OC4cm,OD6cm； （5）分别以点C、点D为圆心，以2cm为半径画弧，两弧有无公共点？为什么？ 画线段的垂直平分线 （1）已知线段MN，用圆规找一个点P，使得PMPN； （2）再找一个点Q，使得QMQN； （3）过P、Q两点作直线，与线段MN交于点G； （4）线段MG和NG相等吗？（5）在直线PQ上任意找一点E，连结EM、EN，EM和EN相等吗？（6）用量角器量取角PGN的度数，看看是多少度？（引出线段垂直平分线的定义）（7）在直线PQ上任意找一点F，FM和FN相等吗？多找几个点试一试，你能得到什么结论？（8）找一个点H，使得HMHN，H在线段MN的垂直平分线上吗？多找几个点试一试，你能得到什么结论？5. 角的平分线 准备角AOB，画一画，议一议。 画角平分线（暂不出示标题）： a.以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点C、D； b.以大于CD的一半长（为什么？）为半径，分别以C、D为圆心画弧，两弧相交于点E； c.作射线OE； d.观察图形，你会发现什么？你会验证观察的结果吗？ 作图，分析角分线的性质（暂不出示标题）： a.接上，在射线OE上任意找一点P；b.过P点作PG垂直OA于点G，过P点作PH垂直OB于点H；c.观察图形，想一下PG和PH有什么关系？你会验证自己的观察结果吗？d.让点P在射线OE上运动，PG垂直OA和PH垂直OB保持不变，上述结论还成立吗？练习a.画一个三角形，并作出它的三个内角的平分线；b.这三条角平分线有联系吗？c.过角平分线交点作三角形三边的垂线，结合学过的知识分析一下它们有什么联系？d.你能在这个三角形内画一个最大的圆吗？a. 画一个三角形，并作出三条边的垂直平分线；b. 这三条垂直平分线有联系吗？c.连结这三条垂直平分线的交点和三角形的三个顶点，结合学过的知识分析一下所得到的三条线段有什么联系？d.你能画一个圆恰好把这个三角形圈住吗？6.距离点点距离（学生分组按要求画并由老师综合板书）a画两点A、B;b.请同学们用线把A、B两点连结起来，看一看有几种连法？c.如果A代表你家，B代表学校，每一条连线代表一条可供选择的路，从家到校，你选择哪条路走？为什么？定义：两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离。点线距离a.画直线m和m外一点P；b.过P作PA垂直m于点A；c.在直线m上再找几点A1、A2、A3并连结PA1、PA2、PA3为线段；d.比较一下PA1、PA2、PA3的大小，哪个最短？定义一：从直线外一点作直线的垂线，点到垂足（垂线的交点叫垂足）的线段，叫做点到直线的垂线段。定义二：垂线段的长叫做点到直线的距离。.线线距离a.回顾点点距离和点线距离，想一想：点点距离和点线距离的共同之处是什么？点线距离的定义是否用到了点点距离？b.画直线l1平行于直线l2；c.过l1上任一点M作MN垂直l2于N；d.线段MN是直线l1 和 l2 上两点间的最短线段吗？你能用点线距离来说明为什么吗？e.请同学们讨论一下：一、如何定义两条平行线之间的距离？二、两条平行线之间的距离有什么特点？三、平行线之间的距离与点线距离有什么关系？练习1.已知直线l，和l外一点A，过点A作直线a平行于l。2.已知直线l，作一条直线a，使直线a平行于直线l,且a与l 之间距离为2cm，这样的直线有几条？（有难度，多留时间并讨论）3. 已知角AOB； 在射线OA右侧作直线l1,使l1平行于OA且与OA的距离为2cm；在OB上侧作直线l2，使l2平行于OB且与OB的距离为2cm；l1 交l2于点C。同学们讨论一下，点C到角AOB两边的距离是多少？为什么？请同学们分析一下，点C与角AOB的平分线有何关系？AOB第三章 找座位1.找座位（有序数对）我们在看电影时，电影票上一般有“*排*号”的座位标示，我们可以按照这个标示找见自己的座位。为了简捷，我们规定数对（a,b）表示a排b号。那么，（2,5）就是2排5号，而（5,2）是5排2号，这是两个不同的座位，可见（2,5）（5,2）不同，数字是有顺序的，不能搞错。这样的一对数，称之为“有序数对”。 2.建立坐标系地面可以抽象为一个平面，而座位可以抽象为这个平面上的一个个点。刚才，事实上用“有序数对”给出了这个平面上一些点的“坐标”123456-1-2-3-4-5-6-1-2-2-2-3-412340ABCDEFGKH。一个平面上有许许多多的点，能否用有序数对都表示出来呢？同学们一起来看下面的这张图： 由两条数轴互相垂直相交于原点O，一条横放称为横轴（也叫做x轴）；一条竖放称为纵轴（也叫做y轴）。我们把由两条数轴构成的这个系统称作“直角坐标系”。建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面。3.确定点的坐标和由坐标找点过横轴上坐标是2的点作横轴的垂线，过纵轴上坐标是4的点作纵轴的垂线，两条垂线相交于点A，那么我们称点A的坐标为（2,4）,2是点A的横坐标，4是点A的纵坐标，一般记作A（2,4）.再如点B（4,2）,点C（2.5,3.5），你能填出以下几个点的坐标吗？来吧，大胆的试一试：D（ ， ） E（ ， ） F（ ， ） G（ ， ）你能确定以下几个点的位置吗?试着在直角坐标系中描一描：M（1.5,2） N（1.5,2） P（1,3.25） Q（2,0）想一想，点K、点H、点O的坐标分别是什么？试着描一下以下点：（1,0） （0,2.5） 练习 1.请同学们自己画一个直角坐标系，并描出以下各点，按顺序用线段首尾相连。 A（2, 1） B（1, 2） C（1,2） D（2,1）E（2,1） F（1,2） G（1,2）H（2,1） 2.写出表示下列各点的有序数对123456-1-2-3-4-5-6-1-2-2-2-3-412340XYABCDEFGHIJKLMA( ) B( ) C( ) D( ) E( )F( ) G( ) H( ) I( ) J( )K( ) L( ) M( )4.坐标系找规律第一象限第二象限第三象限第四象限XY123456