粘性流体力学第三章.ppt

第三章层流流动的精确解 第一节平行流动第二节驻点附近的平面运动第三节旋转盘引起的流动第四节缓慢流动的N S方程的近似解第五节滑动轴承内的流动 由于N S方程的非线性 一般情况下在数学上寻求其精确解有巨大的困难 大多数实际问题要引入不同程度的物理或数学上的近似求近似解 随着计算机的发展 数值求解越来越重要 精确解本质上是层流解 从方程上看精确解尽管在高雷诺数下其数学关系是正确的 但是在高雷诺数时流体运动不稳定 在物理上数学解不存在 精确解虽然简单 数量少 但却有重要的理论和实践意义 揭示粘性流动的一些本质特征 应用于发展新的数值计算方法 作为研究复杂问题初步估算和求解的基础 探求新理论 1 第一节平行流动 粘性流动的动量方程应包括粘性项 是二阶偏微分方程 应采用物体表面上流速为零的边界条件 平行流动是流动中最简单的一种 平行流动中 所有的质点均沿同一方向流动 即只有一个速度分量不等于零 令其为x方向 即u 0 而另外两个y z方向上速度分量v w均为零 从连续方程可以得出 因此对于平行流动 二阶线性偏微分方程 2 3 1 利用N S方程可以得到 压强p为P x 3 2 式 3 2 为二阶线性偏微分方程 3 1 库埃特 Couette 流动两个平行壁面间的平行流动 一个壁面静止不动 另一个壁面以速度U沿x轴运动 图3 1 由于粘性 运动壁面将带动流体运动 通过流体的内摩擦 这个运动的影响传播到整个流动区域 设上下两个壁面的宽度为无穷远 流动为二维定常平行流动 因而 方程 3 2 将有以下形式 3 3 4 图3 1平行平板间的流动 h 5 由于 p只是x的函数 又由于u只是y的函数 故只是y的函数 那么 常数 边界条件为 3 4 式积分并代入边界条件则得 3 4 3 5 6 令为量纲为1的压力梯度称为Brinkman数 解 3 5 的量纲为1的形式为 式中 3 6 图3 2两平行直壁之间的库埃特流动 7 1 顺流压力梯度为零时 流速为线性分布称为简单的Couette流动 2 当B 0 压力顺流递减称为顺压梯度 在整个断面上流速为正值 当B值很大时 流动接近Poiseuille流动的抛物线分布 3 当B 1时 令则 B值不同 流动曲线不同 8 4 在 流动在靠近下壁为负值有回流出现 这就是说明由于流体的带动上壁的运动速度传到下壁附近时 不足以抵抗逆压梯度的作用 而产生反向回流 可见曲线为凹曲线 在时 曲线与y 轴相切 时为流动要产生回流的临界状态 2 泊肃叶 Poiseuille 流动 1 平面Poiseuille流动 9 在两个平行平板之间充满粘性流体 上下两板均静止不动 而顺压梯度 坐标系仍如图3 1所示 方程仍如 3 3 式 边界条件为 可以看出 有压梯度的Couette流动是简单Couette流动和Poiseuille流动的叠加 流动的解为 3 7 10 管道很长时 除了进口段 可以认为管流为二维流动 采用圆柱坐标系 连续方程为 2 充分发展的管流 圆管中的Poiseuille流动 其中 均为0 只有不为零 令 可以看出 即流速分布沿管的轴线x是相同的 图3 3圆管中泊肃叶流动 11 由于只能是常数式 3 8 为 积分时 代入边界条件 N S方程 3 8 3 9 12 圆管中Poiseuille流动的速度分布 圆管中心处最大流速断面平均速度断面的过流量 3 10 3 11 3 12 13 令 代入平均速度公式 可得水头损失系数 图3 4圆管中层流的损失系数的理论与试验的比较 3 13 图中1为式 3 13 的结果 14 3 突然以匀速滑动平板引起的流动 Stokes第一问题 基本方程 边界条件 图3 5流体中突然起动的平板 3 14 15 与热传导方程相似 在t 0时壁面y 0突然加热到某一温度T0 因而引起整个空间的热传导的温度场 现令量纲为1的坐标 方程 3 14 变为 3 15 16 常微分方程的解为 erfc称为补偿误差函数 erf为高斯误差函数 它的数值可由有关手册中查到 3 16 17 图3 6突然以匀速U0运动平板引起的速度分布 18 壁面切应力的分布 图3 6所示为量纲为1形式的速度分布图形 对于不同的t值 速度的图形是一样的 这样情况称为对t轴方程有 相似性解 当 2 0时 如果把流速为0 99的U0以内部分称为边界层 则边界层的厚度为 3 17a 3 17b 19 涡量分布 3 17c 3 17d 20 4 周期振动的平板引起的非定常流动 Stokes第二问题 压力在整个空间为常数 因此其梯度为0 边界条件和初始条件为 平板为无限长 平板在本身平面内作简谐振动 基本方程为 3 18 3 19 21 利用分离变量法解为 3 20 其中 令则 3 21 22 这是个衰减的简谐振动 振幅 距壁面为y的层流与边壁的振动相位滞后为 图3 7表示某时刻运动的情况 两层相距为的流动层的振动为同相位的 k称为波数 波长L 也称为粘性波的穿透深度 图3 7振动平板附近的速度分布 23 被平板带动的流体层 以0 99U0为限 称为边界层 其厚度 同样 平板壁面的切应力为 3 22 不定常的平行流动还有很多例子 如 任意滑移运动的平板引起的粘性流动 简单Couette流的起始过程 以及圆管中Hage Poiseuille流动的起动过程等等 24 第二节驻点附近的平面流动 Hiemenz流动 图3 8驻点附近的平面流动 25 在有势流动中 驻点附近的流动可应用复变函数的方法 得出有势流动的速度分布 a为常数 U和V表示理想流体沿x和y方向的速度分量 令驻点处的压力为p0 那么根据伯努利方程 求得驻点附近的压力p 驻点附近的流动 如图3 8所示 取直角坐标系 由于粘性的作用在平面表面的一薄层中 流速梯度很大 但在这一薄层之外 流动仍然看成是理想流体的流动 26 在靠近平板的边界层中 流体的速度u v 及压力p满足N S方程 连续方程和边界条件如下 3 22 3 23 27 假设v只是y的函数 令 根据连续方程 那么可令 得出f和F所满足的微分方程 3 24 3 25 3 26 3 27 3 28 边界条件 28 解方程 3 27 令则 将上述量代入动量方程 3 28 令或 29 因此 则方程为 3 29 3 30 方程 3 31 仍为非线性 难于求得解析结 希门茨 Himenz 首先求得它的数值解 而后霍华斯 L Howarth 又对计算做了改进 图3 9和表3 1给出了霍华斯的平面驻点流动解 30 沿着壁面方向的流速 所以 图3 9平面和轴对称驻点附近的速度分布 3 31 31 表3 1 平面和轴对称有驻点流动的解 32 根据图3 9可以看出 即 在时开始线性增长 随着 的增加偏离斜直线 但以1 0为渐进值 在时 那么边界层的厚度为 压力梯度为 与成正比 是一个小量 与均与x无关 3 32 33 第三节旋转圆盘引起的流动 图3 10旋转圆盘附近的流场图 34 流体以等角速度绕z轴旋转的圆盘所引起的流动 由于粘性的作用 靠近圆盘表面的一层流体随同圆盘一起转动 且由于离心力的作用 流体在转动的同时不断地被甩向圆盘的边缘 而远离圆盘的流体沿z轴流向圆盘表面 由此可见 流动是三维的 假设圆盘半径为无限大 流动定常 采用坐标系 并令z轴与旋转轴重合 由于流动的对称性 所有流动参数对的导数为零 35 流体运动的基本方程和边界条件为 3 33 3 34 36 估算被圆盘带动作旋转运动的流体层厚度 考虑紧靠圆盘表面与z轴距离为r处的柱形微元体 图3 11 其平行于圆盘表面的侧面积为drds 高为 此流体微元所受的离心力为 其作用方向沿r的正方向 同时 此流体微元还受摩擦力的作用 摩擦力的方向与流体微元运动的方向相反 假设此方向与圆周方向的夹角为 则在圆盘表面附近 流体微元受的离心力主要与摩擦力平衡 图3 11圆盘附近流体微元 37 切应力的周向分量应与壁面上流体周向速度沿轴向的梯度成正比 可以得到 由于圆盘的半径无限大 必须与r无关 即与r无关 3 35 38 分析影响速度和压力的因素 圆盘的转动角速度 粘性系数及空间点的坐标r z是决定速度及压力分布的因素 ur是由于流体微团受到离心力作用而产生的 因此可以假定 3 36 3 37 39 可以假定 3 37d 应用定理 选 为量纲独立量 可得 因此 3 38 40 其中 可得到常微分方程和边界条件 3 39 3 40 41 Rarman 1921 求出了近似解 CochremW G 1934 用数值积分方法进行计算 图3 12无限大圆盘流动的数值解曲线 42 表3 2无限大旋转圆盘流动的数值解 43 圆盘上的应力分布 3 41 44 根据圆盘面上应力分布 可求出圆盘的阻力矩和总阻力 阻力系数 其中 3 42 45 大约在Re 3 105左右 流动进入湍流区 此时 图3 13旋转圆盘力矩系数理论值与试验值的比较 3 43 46 圆盘半径为R时 其旋转所引起的流量 当时 流体周向速度近似于圆盘处周向速度的1 即 变化几乎发生在的区域内 如果流体的粘性系数很小 圆盘转动的角速度很大时 那么被带动的流体层厚度就很薄 3 44 旋转圆盘的边界层厚度 47 第四节缓慢流动的Navier Stokes方程的近似解 在Re很小时 N S方程中的惯性项与粘性项 压力项比较可以忽略不计 方程就可以简化成线性方程 3 46 48 式中p为调和函数 在二维情况下 引入流函数令那么 3 47 3 48 3 49 3 50 49 利用涡量输送方程 忽略惯性项 即可得到满足式 3 51 的流动就称为Stokes流动 通常Re 1范围内上两式适用 3 51 另一方面 将物体放在x方向速度为U的均匀流中 求物体周围的流动时 为了考虑惯性力的影响 令 代入N S方程 保留线性惯性项 从而得到Oseen方程 3 52 50 3 53 Stokes流动和Ossen流动称为蠕流 creepingflow 51 蠕流最典型的例子是圆球绕流的近似解 首先由Stokes解出 下面仅列出Stokes圆球绕流解的结果 如图3 14圆球的半径为a 利用球坐标系 由于流动是对称的 故只要给出速度分量 3 54 3 55 图3 14圆球绕流 52 圆球表面的压力为 式中 压力系数 式中 在理想流体绕流时 圆球表面上的压力系数不仅与位置有关 而且与Re成反比 且对于最大迎流截面来说是不对称的 故有压差阻力存在 3 56 3 57 53 式 3 58 为Stokes公式 用系数 stokes阻力系数 表示为 作用在圆球表面上的切应力为 圆球面上的总阻力即是压力和阻力在球面上的积分 3 58 3 59 3 60 54 Oseen阻力系数 Goldstein 1929 对Oseen解进行了改进 当Re 5时与实测接近 实验曲线拟合的经验公式 圆柱绕流的缓慢流动的解由Lamb给出 3 61 3 62 3 63 55 图3 15圆球阻力系数Cd的理论值与试验值的比较 56 第五节滑动轴承内的流动 图3 16圆柱轴承合轴颈剖面 57 与固定壁的长度相比 间隙h x 非常小 所以与x方向的速度u相比 y方向的速度可以忽略不计 为了简单 把圆柱轴承和轴颈的作用视为二维流动 两个固壁之内形成一个楔形的间隙 内有油流动 形成压力分布以支持轴承的载荷 图3 17滑动轴承的润滑机理 58 作用在润滑油上的惯性力与粘性力之比为 因此 与Stokes流动类似 若Re 1 惯性力忽略不计 3 64 3 65 59 因为x方向u的变化 比y方向u的变化小的多 忽略则运动方程可以近似为 边界条件 积分后 3 66 3 67 60 垂直于纸面方向单位宽度上的油量 所以 利用 并考虑到边界条件 即在x 0和x L时 p p0 p0为轴承外侧的压力 积分上式得到 3 68 61 令可以得到当K 2 2时 载荷P达到最大值 所以垂直于纸面的单位宽度上 y方向的载荷P为 其中K h1 h2 如果两个平面彼此平行 则 于是轴承不能支承载荷的 此外 作用在单位宽度上沿x方向的剪应力为Fx 摩擦阻力 3 69 3 70 3 71 62 图3 17给出了压力分布曲线 接近抛物线 取特征厚度hm和压力中心都在附近 则 此外 定义摩擦阻力系数为Fx P 则 由上式可见 摩擦系数只取决于缝隙的几何尺寸 与流体的粘性系数无关 通常对于滑动轴承h L 10 3 因此摩擦系数约为5 10 3 这个数值是固体干摩擦系数的1 100至1 20 3 72 63 图3 18 滑动轴承上的压力分布 64 滑动轴承的雷诺方程当润滑面在垂直于