毕奥—萨伐尔定律与安培定律的等价性.doc

毕奥萨伐尔定律与安培定律的等价性一第8卷第l期l99年3月钦州师专钦州教院N0.1Vo1.8Marl00l=一许隹般瑁f,咖t匆毕奥萨伐尔定律与安培定律的等价性擅荽t.韦伯D.厂.麦库姆着寸张学龙诲臼I许多基础物理教科书都没有详细地阐明毕奥一萨伐尔定律与安培定律之间的关系,本文借助于一个有趣的实例考察这种关系,所采用的这一有趣的实例似乎意昧着位移电流和传导电流在产生磁场方面不等价这样一种荒谬的结果.然后利用麦克斯韦方程说明两个定律的等价性,因而佯谬得到解决.尽管这种等价性的证明不适宜引八课程教学,但是两个定律具有同样的物理内容这一结论应当向学生强调.1.目l官考察几种物理教材LJL,我们发现初等电学的论述比较初等磁学的论述而言有一点重要差别.作为电学的理论基础,教捌首先从能够直接由电稳求电场的库仑定律着手,然后介绍高斯定律积分形式的麦克斯韦方程之一,这一定律也可以用柬求电场.大多数教材都是直接根据库仑定律导出商斯定律,或者由高斯定律得出库仑定律,因而,至少是存静电分布情况下严格地确立了这两个定律的等价性.这就使学生清楚地认识到利用其中的任何一种方法求电场都包含有同样的物理内容.戋于磁学的论述在这一点上完全类似,初等教科书通常先介绍毕奥一沙伐尔定律,与库仑定律一样,它也是场和源直接相联系的方程.然后引出安培定律积分形式的麦克斯韦方程之一,也可以用来计算磁场.表一.关于电场和磁场的方程嵌一给出了决定电场的方程与决定磁场的方程之间的明显的类似关系,注意,其中两个58钦州沛专钦州教院莽8期微分形式显得人的帼似,两种场均与r成反比,与各自的源成正比.而且,在两个麦克斯韦方程中对场的圈积分均与激发场的源有关.根据巧冲西之司j勺相似陛,类似于高斯定律与库仑定律之间的等价性,认为安培定律与毕奥一萨隐尔定窜县有某种等价性是有遭理的.当然,等价性意味着由这两个定律给出载有,H,稳恒电流的挺直导线产生的磁场有相同的形式.有些教材j,L清楚地说明了这种等价性,但仅是对于传导电流而言的.,本文先在苇部分舟副列甩两个定律求解由蒂普轴给出约一个奇特妁铡子,从面研免两个宅聿之司佝建累,求砰时由毕奥一萨伐尔定律得到的磁场仅利用传导电流作为激发场犄礞?而由安嗜皂率浆乓落西甘匿需要盥移电流,乍为附扣的场源显然,初等教材来能述及逸一问越是育苴里均然胃在第1郭分,用麦克斯韦方程导出毕奥一萨侵尔定律,从而确立稳恒情况下两个定律的等价性,同时解除了第1部分出现的佯谬.I.奇特的例子设有两个等量的正,负点电荷位于轴上/2处,如图l所示,用导体连接两电荷,并且陧殳蒜串鹿置以难寺两电荷间胄厦定拘传导电流,=dq/dt.考虑稳恒电流是为了避免出现辐射场而要瓠甩全部的麦克斯韦方程.取两点电荷阃的中垂面为0=0的各一意,我l丁分别利用安培定率和毕奥一萨伐尔定律求解空间任意点的磁感应强度B的大小.圈1?寐两点电荷之问的稳恒电流在p点处所产生的B假想的可题示意露先从安培定律开始,我们取以原点.为圆心,半径为R过P点的圆为积分回路.如果草率从事仅仅利用安培定律右边的传导电流,则将得到无限长直线电流的磁场公式,或者得到的结果为零,这依赖于面积的选取自然,计算中应当计及位移电流的贡献.我们写出明显含有位移电流项的安培定律为9)B?df=.(+ia(1)式中i=dq/dt,idJ筹?(2)兰位移电流的定义式中,积分取遍以回路为周界的某个任意面积s特别地,我们取半径为月的圆面?按照我们的要求是常量,因而d也是常量.根据库仑定律,在平面距Z轴簟l搁张学九译I毕奥一萨伐尔定律与安培定律均等债性59为r处的电场为蕾击(3)式中j示z轴正方向的单位矢量.在平面采用极坐标系容易进行积分计算,求得通过圆面积的位移电流,其结果为再由安培定律,得到td一2(R,+LV.,Ov2(4)t3:兰:.一(5)4R(Rz+./4)对于很大的极限情况,可以看出(5)式正是无限长直线电流的磁场公式.不过,在这种计算中,需要用到库仑定律.下面利用毕奥一萨伐尔定律计算P点的磁感应强度.通过对下式直接积分便能得到传导电流对磁场的贡献鲁曲该式出人意外地得到与(5)式糨一致的总场强B.之所以出人意外,因为我们预期位移电流也应是磁场的一种源,它与传导电流完全平等,庄用安培定律时,我们需要库仑定律求得位移电流的贡献,而用毕奥一萨饯尔定律求解时仅计及传导电流,这样,两个定律似乎不等价.但是,作为激发磁场的源,传导电流与位移电流明显不等价的真实原因何在,本文第1部分由安培定律导出毕奥一萨伐尔定律,阐明位移电流所起的作用.1.稳恒情况下安培定律与毕奥一萨伐尔定律的等价性在大多数教材中出现这两个定律的常见形式,由其中一个导出另外一个似乎没有简单的方法.在中级水平上的大多数教材由一个定律导出了另一个定律,但是只计及了传导电硫.更确切地,我们从安培定律的微分形式着手B.(+d)(7)式中d分别为传导电流密度和位移电流密度.将亩:代八方程(7),用矢势表示,重新写出安培定律,并鼹开,一(-A)一A=.(,+,d_对于库仑规范,-:o,我们得到一.(+d)梭方程的笛卡尔分量与泊松方程一样具有相同的形式(8)(9)60故州师专钦州教院第8卷V一(1O)这里电势与电荷密度有关.治松方程的解就是位于源#it处粪点电荷p(r)dV生产的电势的选加c去J式中体积分遍及所有的源.与泊橙方程的解类似,我们得到由方程(8)给出的矢势c.f【12)取其旋蛮,求得毕奥一萨伐尔定律为B(r):ff!:2!:=!4JIrr,IdV(13)这里利用了(记住V作用于来带撤变量)壁!:v:L一了()(14)Irr,l1rrIIrr略去位移电流项,(13)式给出的毕奥一萨伐尔定律可以,七成在初等教材中出现的更为熟悉的形式.令d=dAdl.积分取遍载流导线的横截面积,假定导线的鲅度远小于导线虱场点的距离,则有一d(16)其中:jd取电流源位于坐标原点,即令:o,并且将电流的矢量方向改用导线长度元,表示,最后得到毕婴一萨伐尔定律的常见形式d:uid1.41-(17)现在式中的r是源点到场点的位置矢量.在认为我们的推导可靠之前,必预阐明两点.第一,必须审核一下由(12)式绐出的解一一A(r)是否满足库仑规范,其实,只要.(+id)=0(18)鬻第l期张学龙译,毕臭一萨偬尔定律与安圭苦定律的等价性61经过一些运算之后,就会发现确实满足库仑规范,而(15)式正是电荷守恒定律之表式I第二取B:,似乎意味着超出了一点物理过程,即用到了?B=o.事实上,并来超出一,因为我们计算B场的贡献仅是由于无散源,这样的源只能产生无散的场.麦克斯韦方程?B=o是一十有力的论据,一般为不存在B的标量源.我们这里的讨论与艾斯伯格,和勒缃相反,他们认为毕奥一萨伐尔定律等效于安培定律及磁学的高斯定律这样两个定律.于是,只有将位移电流项包括在毕奥一萨伐尔定律中,我们便可推断安培定律和毕奥一萨伐尔定律是等价的.那么,怎样解释我们第部分的例子中应用毕奥一萨伐尔定律时能够略去位移电流的呢?回答很简单,对位移电流的积分为零,单独考虑电流的各不同分量产生的磁场并应用迭加原理是容易看出的,而迭加原理能够适用是因为磁场与电流线性相关.考虑在Z=一L/2处积聚的电荷所激发的电场径向向外,呈球对称,并随时间变化而减少,因此一L/2处电荷减少而产生的位移电流沿径向向内,对Z=一L/2点呈球对称.关于每个电流元对场的贡献,我们发现对称分布的电流元的总贡献为零,如图2所示.当然,这也适用于Z=十L/2处电荷增加的情况.所以说,应用毕奥一萨偾尔定律时,对场的非零贡献仅起困于传导电流;dq/d,这可虚用于载有稳恒电流的任意形状的导体.因此,如果两个定律都含有位移电流项,那么毕奥一萨伐尔定律与安培定律等价.对于这两个定律,我们需要用库仑定律来求位移电流对场的贡献,其中对于毕奥一萨伐尔定律这种贡献为零.,PZ:-1.,.OL图2,Z=一/2处电荷的场变化所敬发的位移电流对于磁场的贡献.对于每一电流元l2在对称位置上总有一个L,由(13)式给出的叉积可知对称电流元对场的贡献为零.如果两定律均含有位移电流项,则积分形式的毕奥一萨伐尔定律与安培定律对时变场也是等价的?注意,一般情况下位移电流也由电场所引起,而电场的源由变化的磁场所产生.这时位移电流在毕类一萨伐尔公式中对场的总贡献将不再为零.此外,所有电流及其场都取相同的固定时间.例如,正如大多数教材中所介绍的那样,保持时间固定,利用斯托克斯定理对微分式进行积分,得到安培定律.然而,由局域场方程即微分形式麦克斯韦方程给;的场和源的关系是最有用而合理的.总之,我们认为毕奥一萨伐尔定律与安培定律之阃妁等价性不太容易证踢,但是很恿要,即使对于初级课程也应强调这一点,以使学生确信这两个定律具有同样的物理内容,强62钦州师专钦州教院第8鲁调电场与磁场之间的相似性将有助于学生更好地认识电学和磁学.参考文献1P.A.蒂普勒物理学第2版.19822F?W?西尔斯,M.W.泽曼斯基和H.D.杨.大学物理学:第6版3R?A.塞韦.科学家和工程师适用的物理学.第2版4H.C.奥啥尼.