数学模型在寿险精算中的应用.doc

数学模型在寿险精算中的应用第3卷第4期2003年l2月山东商业职业技术学院JournalofShandongInstituteofCommerceandTV01.3No.4Dee.20o3数学模型在寿险精算中的应用窦荣升(山东商业职业技术学院,山东济南250013)摘要:寿险精算是寿险经营的核心技术,它在寿险业中起着举足轻重的作用.用数学模型处理寿险问题是一个解决寿险精算问题的好方法.介绍了人口问题,寿险问题,风险问题;尝试用数学模型处理寿险精算实例,探讨实施精算的思路,方式和方法.关键词:寿险精算;数学模型;人口问题;寿险问题;风险问题中图分类号:029文献标识码:B文章编号:16714385(2003)04007008随着我国人寿保险产业的迅速发展,寿险精算学应运而生,并已成为一门以高等数学和统计学为主,结合保险,金融与财务,理论与实务相交叉的学科.寿险精算主要从事产品开发,保险率计算,责任准备金及保单现值的计算,公司投资以及动态偿付能力的测试等工作.寿险精算的作用是给寿险经营者提供专业的恰如其分的解答,并解释不确定的未来事件.如何在寿险业营运中的各个环节实施精算,是同业同仁研究和探讨的课题.现在我们尝试用数学模型处理若干寿险精算实例,探讨实施精算的思路,方式和方法,供寿险业内人士参考.数学模型是指精算师为了一定目的对某一经济现象或系统进行考察,然后提出假设条件,用适当的数学工具建立起来的描述经济变量关系的数学结构.这一结构可以是方程式(组),不等式(组)或图表等.建立数学模型大致可以分以下几个步骤:(1)根据建模目的考察研究对象,提出既结合实际又简单明确的模型假设;(2)根据假设目的用适当的教学工具确立有关变量之间的关系;(3)求解模型;(4)分析模型,研究模型的解对外生变量与参数的依存关系,模型的有效性等;(5)检验模型,把所建模型拿到实践中检验,看是否与实际相符.相符才能应用,否则要考虑所提假设条件是否恰当,对不恰当的条件进行更换,修改或重建模型.应该指出,不是所有建模过程都要经过这样几步,而且各步之间也不是截然分开的,建模的关键是抓住所研究问题的实质,而不是拘泥于形式.通过下面的实例我们将看到数学模型是解决保险精算问题的行之有效的方法,尤其是概率论在解决保险和投资中的不确定性和风险问题上所起的重要作用.1.人口问题人口学是保险精算的基本理论之一.建立人口模型,用以描述人口的增长过程,是寿险精算工作中的一项十分有意义的工作.1.1马尔萨斯模型英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)研究了某教堂一百多年的人口资料之后,于1798年提出了着名的Malthus人口模型.他的基本假设是:(1)人口的平均增长率r为常数,即不随时间和环境而改变;收稿日期:20030320作者简介:窦荣升(1946一),男,山东青州人,山东商业职业技术学院教务处副教授.70(2)t时刻的人口N()是t的可微函数.设在=0时N(t)的初始值N(O)=No,于是有以下模型f一Ndt-.(1)LIl:0=No解得:N(t)=Noe(2)式(1)或(2)称作马尔萨斯模型.马尔萨斯模型提出之后很长一段时间内与实际统计资料吻合很好.但是,随着人口的逐渐增多,人们发现它同实际的差距越来越大.例如,假设1980年世界人口是40亿,取r=0.02,那么2480年的世界人口依马尔萨斯模型的预测数字将是=40.皿=881040(亿),自然是荒唐的.原因何在呢?仔细分析,会发现马尔萨斯模型关于人口增长率r为常数的假设是不恰当的.荷兰生物学家Ver.hulst对马尔萨斯模型进行了修改.1.2逻辑斯蒂模型Verhulst引进常数,表示自然资源所能容纳的最大人口值.设资源总量为1,则IlM表示人均占有的资源.设t时刻的人口为N(t),则N(t)/M为()个人占有的自然资源,从而1一N(t)IM为剩余资源.人口平均增长应与剩余资源成正比.于是,有下述模型f-r(1一N)(3)2一rLI:0=No其中r称作生命系数.这时,人口增长率为r(1一)与N有关,不再是常数.解式(3).dNr=丽m(1+)aN=rdt两端积分,有k=即=ce令=0,由(o):No,确定c=于是=e由此解出(t)el+(一1)(4)式(3)或(4)称作Logistic模型.下面对它进行分析.当一时,N(t)一,表明无论初始人口是多少,只要经过充分长的时间,总可以达到资源所能容许的极限值;由>o,知N()是递增的;由=r(1-),知当l一N<时,>o;当>时,<0,可知N=警是拐点的纵坐标值.这说明以该拐点为分界点,在其前期人口加速增长,后期减速增长.1.3按年龄分布的女性模型前面两个人口模型是从人口的总数这一角度考虑问题的,使用的是平均增长率,这未免有些粗糙.因为不同年龄的人具有不同的生育率和死亡率,建立人口模型应当考虑这一因素.现在我们把人口按年龄段分成不同的组,并注意到在正常情况下男女比例是固定的这一事实,只考虑女性,来建立按年龄分布的女性模型.(1)离散模型这一模型是l/site在十九世纪四十年代提出的.先确定一个最高年龄,把全部女性人口按年龄分成m个组(比如每lO岁一组),然后将时问离散化,每一期的时间长度同用以分组的时间长度一致.记n(t)为时刻t(也即时期t)的第i组的女性人口,并把它们写成向量的形式n(t)=(n1(t),n2(t),l(t)模型要研究的就是n()随时间变化的规律.假设第i组的生育率为b,即b为一期内第i组内每个女性平均生育子女的数量;设第i组的死亡率为d,即d为在一期内第i组的子女死亡数与总人数之比;把s1一d称作存活率.为简单计,设b,s为常数(这在稳定的社会环境下是允许的),b,s及初始分布n(O)可以由统计资料得到.建立模型r1(t+1)=bf(t)(1)L(t+1)=sin(t),i=1,2,n一1式(1)中扣除了婴儿死亡率,即扣除了在时刻t后出生而活不到时刻t+1的那些婴儿.记7lL=61621002OO6ml6mO0O0s一l0则式(1)可以写为如下矩阵形式n(t+1)=Ln(t)(2)用递推的方法可求得n(t+1)=L(t)或n(t)=Ln(O)(3)式(1),式(2)或式(3)就是所求模型.(2)连续模型设厂(口,t)为第t年口岁的女性人口密度函数,即第t年从口.岁到口岁的人口为f)d口(4)J01记6(口)为口岁女性的生育率,A,A:为育龄区间,当口<Al或口>A2时,6(口)=0.记B(t)为第t年出生的人口,则B()=l6(口)口,t)da(5)JAl记S(口)为口岁女性的存活率,可视作女性能活到口岁的概率,并假设S(口)与t无关.我们的任务是根据已知函数6(口),s(口)和初始人口密度厂(口,o)确定f(口,t),而口,)完全描述了按年龄分布的女性人口情况.当t<口时,第t年口岁的人是t=0时口一t岁的人中活到口岁的那一部分.这个比例可以看作是在已知活到口一t岁的条件下,又活到口岁的条件概率,即为,于是S口一t)=口一,o)(6)当t口时,第t年口岁的人是第t一口年出生的人中活到口岁的那一部分,因为t一口年出生的人口为B(t一口),故口,t)=s(口)B(t一口)t口(7)由式(5),(6)和(7)可知:当t<A1时,):6(口)口0)d口(8)当t>A,时,B(t)=l6(口)s(口)B(t一口)da(9)Jl72当AltA2时,(f):f6(口)(口)(一口)d口+JAl(口)口0)a口(1o)由式(8),(9)或(1O)确定出B(t),代入式(7)便可以求出口,t).2.寿险问题2.1养老保险例1.据某保险公司一份材料知:在每月交费200元至6o岁开始领取养老金的约定下,某男子若25岁起投保,届时月养老金2282元;若35岁起投保,月养老金1056元;若45岁起投保,月养老金420元.现在我们来考察这三种情况所交保险费获得的利率.设投保人在投保后第K个月所交保险费及利息的累计金额为,于是得到数学模型f=(1+)PK=O,1,2.,(1)【+l=(1+)一口K=+1,+2,M(2)其中,P,q分别是6o岁前所交月保险费和6o岁起所领养老金的数额(单位:元);i是所交保险所获得的利率,分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).显然,依赖于投保人的寿命.该保险公司养老计划所在地男性寿命的统计平均值为75岁.假设从25岁起投保,于是P=200,q=2282;N=420,M:600,Fo=0由差分方程知识,不难得到f=(1+)+(1+f)一1K=0,l2一,.Iv(3)【=(1+i)K一+(1+)一一1K=.Iv+1.N+2,f(4)在(3)中取K=N,(4)中取K=M,且=0,消去,导出关于i的方程:(1+i)一(1+旦)(1+)+旦=0(5)PP记=1+i,将已知数据代入,得高次方程锄一12.41+11.41:0(6)应用美国MathWorks公司开发的Matlab软件,便可求出方程(6)的实根.得=1.00485,i=0.00485.同样地,对于35岁起投保的情形=0.00461;45岁起投保时i=00.00413.2.2利率,死亡率变化对生命年金现值的影响例2.我们知道,被保险人投保生命年金保险时,若净保费多,相应的保险费就多;反之相应减少.然而据各种生命年金保险现值的计算方法可知,现值的大小取决于利率和死亡率的高低.究竟利率和死亡那年发生的某些改变将对年金现值产生怎样的影响,其理论依据又是什么?现在我们来具体讨论.(1)利率变化对年金现值的影响假设死亡率不变.记i为利率,=.=P(T()>f)为人从岁活到t岁的概率.为期首给付的年金现值,a=以实际上为有限项之和,且逐项可导.于是关于i的变化率鲁:t=O:c耋idd一,】+(】+)一(一t)一詈?=一(/a)<(1t/a01)一百=一()<()Io此示是关于i单调减少函数.式(1)的微分形式为d=一(,n)di舍弃上式中的无穷小量,有=一(,n)i(2)这里(,n)表示某人x岁投保,每年末给付总额比前一年递增1单位元,故(,n)>0.式(1)或(2)说明,如果i增大,则减少;i减少则增大.(2)死亡率变化对年金现值的影响假设利率i不变.记为a一为某岁人投保一定期n年,每年末得到给付1单位元的期末生命年金的现值.设在+11,年龄上,死亡概率吼+增加(或减少)一个常数C,即q1+=+C(C为变化常数)于是,在死亡率吼+之下,终身年金的现值为.nax口+v.p#a+nn.口+vp+na+n+1a二+:(1一吼+)+1(3)类似地,在死亡率q+下,终身年金的现值为口=口二+(1一q+)+(4)于是,由在x+11,岁上死亡率的变化而产生的生命年金现值的变化就是式(4)与(3)之差,即a=a一a:一Cbp口+1(5)式(5)仅说明在某一个年龄+n上死亡率增加(或减少)常数c时,年金现值相应地减少(或增加)口+1.2.3人寿保险费额模型例3.设有一个现年35岁的男子,要投保保险金为1万元的终身人寿保险.试根据下面的假设条件确定:年缴保费额;保险公司的变异程度;使得保险公司盈利的概率为0.95.假设:(1)年缴保费在整个生存期自契约成立开始,每年年初缴付,保险费在死亡那年的年末赔付;(2)有100份这种相互独立的保单,年利率i=6%:(3)生命表(见乐经良数学实验附表);(4)按照E(L)=0,即E()=E(一)确定年缴保费(其中:亏损随机变量L:受损额现值一保费现值=n一而,占=(而),为年保费精算现值);(5)用L的方差衡量损失的程度,而对某一指定值E(本例E=0.05),按P(L>0)<E确定一个最小的P.在解决本问题之前,需引用若干寿险精算知识和原则加以铺垫.问题1.受益赔付现值按复利计算,一个岁的被保险人在死亡时收到1单位的赔付,它的现值与从投保开始至死亡所经历的时间t(0)有关,将其视作随机变量T()的一个可能值.()称为剩余寿命.是赔付的受益金额,称之为受益函数.利率i为常数时,贴现函数;.在终身保险中,b=常数,年末受益赔付金额的现值gt:b,v,它可以视作随机变量Z=brv,的一个取值.为简单计,令b;=1,(00),于是有Z=(0)(1)在保险实践中,通常取z的期望E(z)作为赔付为1单位的现值,称为净缴保费,记为,且一rA=(z)=Ivg(t)df(2)J0其中g(f)为的概率密度函数.;吼=P(T()t)为岁的人在以后t年内死亡的概率.记人的死亡年龄为,它的分布函数为F(x)=P(),0;F(O)=0.生存函73数为.s(戈),且.s()=1一F(),.s(0)=1(3)q=P(r(x)t)=P(<+tlX>)=F(戈+t)一F().s()一.s(+t)1一F()一.s()一1一t4)卜=P(T()>t)=1一q为现年岁的人,至少活到+t岁的概率,且P:(5)t).q为现年岁的人,已活过了t年而在其后的u年死亡的概率,且Iq=P(t<T()t+)=q一tqt+uqs(戈+t)一s(+t+)s()一!2二!)一s(+t)?q+(6)在保险理论中,t=1时可以省略不写,即Px=,q1qIIqtl1q0为死亡效力,且.P(<X+)一F()s()一(7)G(t)表示r(x)的分布函数,则G(t)=qg(z)=d=01一=一,_._三=妻?(一t)=一s()一s(),一s(+),一,pd1+,(t0)从而净趸缴得费为A=E(z)=l口+dt(8)问题2.整值剩余寿命及其概率分布引入离散型剩余寿命随机变量K,定义为K()=(71()<+1),=0,1,2即K()是T()的整数部分.K()的概率分布为:P(K()=)=P(71()<+1)=+1q一qP一+1PIPq+I1q,=0.1.2其中,q+可以从生命表中查到.74问题3.由生命表(表1)中可以查到的几个数据及其概率意义.表1生命表假设每个死亡年龄的分布由生存函数.s()确定.记()为群体中生存到年龄()的个体数,个体=1,2,2.,并引入服从0_1分布的随机变量:,1,当个体生存到年龄0一【0,其它lo()=E()=s()J=1.l0loE()=E(,J)=s(x)=2.s()=2(9)它表示个新生命中能生存到年龄的期望个数,并且2=20s(x)(10)记为初始2.个生命中在年龄到+n之间死亡的个数,E()=d类似地有=E()=2.(S()一S(+n)=2一2+(11)问题4.死亡年末赔付保险由问题2中整值剩余寿命的概率分布,假设受益金与赔付时间仅依赖于被保险人存活的整数年数,则当被保险人的整数剩余寿命为时,其死亡时间为+1,这称为死亡年末赔付.由问题1中,设受益函数为+,贴现函数为+,此时受益赔付额在保单发行时的现值函数为Z+1=+1+1(12)其中Z=q为随机变量K的函数.于是,终身人寿保险的净趸保费为A=K(13)在实践中,不可能为,通常取+(本例=110).式(13)两端乘以2,得2A=口d(14)=0其中+.=畋+.由给定的生命表,可得f与+值,从而由式(14)计算出A.问题5.保费现值记P为均衡年保费,设P=1,由条件(1),在时间七缴付1单位保费的现值为.一个整值寿命为K的投保人所付年缴保费现值之和在他得到赔付时为1+.=(15)它是随机变量K的函数,设为一,其中d=1一称为贴现率,这里=E(一).可以推得+A=1(16)问题6.终身人寿保险的亏损随机变量()=n一(17)其中P为净均衡年缴保费.按题设条件(4)原则计算令E()=E()一PE()=A一P,/i=0得P:垒口以1万元为一个投保单位,设年缴保费为丌,则丌1:P35:.A35.a35根据生命表由式(13)计算得A=0.12871943594206.55U由式(16)计算得占:1539262351562.丁于是l=0.OO8362(万元)=83.62(元)此时-VK+I:(1+1)一(18)(19)(20)所以r(l=(1+)+J一号=r(1+)=(1+)(Vk+1)=(1+乏E(+1)一+1)=南E()2-A:(21)而E(+1)=E(z)=E(em十1)=A(22)这里.A相当于按利息效力2计算的净缴保费,即=0.0348843I,志(2)_0.02412713(万元)=2412713(元)按题设条件(5)的原则计算令e=0.05,设对应的年缴保费为丌,依题目要求应满足P(L1>0)<0.05的最小丌及相应的Vat(L1:),即P(n一丌2>0)<0.05(23)由生命表查明,L35=94206.55,L35?0.5=47103.275,反查生命表可知,该数介于L刀:48281.81与L蔼=45303.60之间,7735=42,故必有P(K<42)<0.05,取丌2使得躬一丌2占铂=0,求得丌2=0.005031(元)类似于原则(4),可得Var(L)=(1+专)(A一A):0.0217163O(万元)上述准备工作完毕之后,现在来计算100份独立保单年缴保费.设年缴保费为丌,此时,一个保单的亏损为LIP:=ix+J一丌,占=(1+专)一(24)E(L1=tr3)=(1+等)A一=0.1287194(1+专)专(25)对于100份保单,设第份保单的亏损为厶1:=1:i=1,2,100(26)总亏损为.s,则.s=厶1为100个相互独立的随机变量之和.0E(S)=100E(LIP:)Vat(S)=100Vr(L1)其中丌3由P(s>0)=0.05确定.由中心极限定理,.s可以近似地看作服从参数为E(s),(s)的正态分布,所以75P(s>.)一(三)=.5(27)即:二:量:量lOOVar(LJ)1+()1.545(28)解得0.1645A,丌=;=-口1一0.1645/2A35一A35一A350.010066(万元)=100.66(元)3.风险问题前面所述保险精算方法都离不开将随机变量用其均值代替的简化模型.法国数学家棣美弗早在1700年就已证明,某种保险业务如果不能有效地在其价格支持上留有适当的裕度以应付意外的赔付,则该保险业务必然最终导致破产.风险理论主要利用概率论知识,根据寿险经营中的问题建立数学模型,它对于人们认识风险,建立保险准备金,自留额与风险水平之间的关系以及控制这些金额的幅度都有用处.对风险的度量,一种方式是以货币损益期望值作为风险决策准则,研究风险的集中趋势与离中趋势,但是受风险反应制约时这种方式不一定合理.在实际中的许多风险问题经常用效用理论帮助进行决策,这种决策方式优于用期望值准则进行风险决策.记u为净保费,是随机损失的期望值,即u=E(X).G为投保人缴付的总保费,且GH.日为承保人收取保费后面临的赔款和管理经费,日u且H=(1+)+C,(0>0,C>0)为附加保费,C为用来进行经营管理的耗费及利润等方面的费用.假设风险损失的分布函数及相应的效用函数U(W)是已知的.由风险理论知,对于一张保险单,只有当G日u,保险契约的双方才感到可行.G和日可由模型fUl(1一G)=EUl(W1一)j【Uz(Wz)=EU2(+日一)j计算得到.下面用实例说明效用理论对保险双方在决策某一险种是否投保或承保时,不失为一种很好的决策76工具.例4.有100亿元责任准备金,其承保人的效用函数为U()=.现承保人在收取保费100亿元后,答应承担损失的概率分布为25%时可能损失元.那么为保证其财务稳定,最大是多少时,承保人才可以做出单独承保.为简单起见记100亿元为1单位,而损失的分布为(025075).,于是由函数用理论有U(W)=EU+日一成立.左边U()=hl=lnl=0右边EU(W+日一)=0.25U(2一)+0.751n2=0.25hl(2一)+0.75ln2代入等式有0.25hl(2一)+0.751n2=08(2一)=0M=即当M最大不超过訾单位元时,承保人可作出单独承保.例5.给定一个由/t个风险构成的风险组合:N,N2,Ni,N组合中相应的索赔额序列为yl,y2,组合的索赔总额为S=提出以下假设:(1)这/t个风险是相互独立的;(2)这/t项索赔额是具有相同分布的随机变量:(3)/t不随保险有效期的变动而变动;(4).的值非0即1.对于风险组合中的每个再给出假设;的索赔次数非0即l;的索赔概率为,且b(1,);为建模方便起见,规定条件中最大索赔为1.如果发生了索赔,我们用随机变量表示索赔额.记(),/1和分别表示的分布函数,均值和方差.由后一组假设条件知,6(1,gf),从而服从复合二项式分布;又f的索赔额序列为蜀,.于是的均值与方差可根据已知公式E(S)=nqm及Vat(S)=一nqm分别求得.在这里,l=1,q=,ml=l,m2=f,从而E()=(3)Vat()=qffi+(1一)(4)由给定条件知,S=是几个服从复合二项式分布的随机变量之和,.s具有二项参数n和q,容易求出.s的均值和方差.E(S)=E()=()=(5)Vat(S)=Vat()=liar()=l1ll;+(1一);(6)当是一个独立同分布的随机变量组成的序列时,每一张保单中都有:=q,=,=.现在我们来看这个模型在一个保险实例中的应用.例6.某保险公司为一个