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土木工程力学教案检查与回顾1. 梁的内力图规律。 2. 梁的内力值得控制截面有哪些？新授课 平面图形的几何性质 构件的横截面都是具有一定几何形状的平面图形，与平面图形的形状、尺寸有关的几何量都叫做平面图形的几何性质，例如面积A、抗扭截面系数等。由于轴向拉、压杆的正应力、纵向变形都与截面面积A有关，受扭圆轴的剪应力与抗扭截面系数肼有关，所以，平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。本节将集中讨论有关的几个平面图形的几何性质。 一、形心和面积矩 (一)形心 平面图形的形心就是其几何中心。当平面图形具有对称中心时，对称中心就是形心，例如圆形、圆环、正方形，它们的对称中心就是形心；具有两个对称轴的平面图形，形心就在对称轴的交点上(图622)；只有一个对称轴的平面图形，其形心一定在对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需要计算才能确定。例如图623中的T形，其形心一定在对称轴y上，而坐标Y。值需要计算。 图622 图623 (二)面积矩 平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离Yc(至彳轴)的乘积，叫做该平面图形对该平面图形对z轴的面积矩，用Sz表示(图623) Sz=AYc 面积矩的单位是长度的三次方，常用mm3或m3，有时也用cm3。 由面积矩的定义可知：平面图形对过形心轴的面积矩一定为零。 (三)形心坐标公式 建筑工程中常用构件的截面形状，除简单的平面图形外，一般都可划分成几个简单平面图形的组合，习惯上叫做组合图形。例如图624中的T形截面，可视为两个矩形的组合。若两个矩形的面积是AhA2，它们到某一坐标轴z的形心坐标分别为y1、y2，根据面积矩定义，可以写出它们对石轴的面积矩是 Slz=A1Y1 S2z=A2Y2若T形截面的全面积为A，整个图形对z轴的形心坐标是yc，那么，全面积对。轴的面积矩，就等于各部分面积对z轴面积矩的代数和，即 AYc=A1Yl+A2Y2得 yc= (A1Yl+A2Y2)/A利用上式就可以确定T形截面的形心位置。当组合图形划分为若干个简单平面图形时，则有A。Yc=AiYi 式中：A组合截面的全面积： yc组合截面对z轴的形心坐标； Ai组合截面中各部分的截面面积； 图624 Yi各部分面积对z轴的形心坐标； siz各部分面积对Z-轴的面积矩。同理可得 zc=Aizi/A 例612试计算图624所示T形截面对z轴的形心坐标yc。 解:将T形截面划分为两个矩形A。、A：，它们的面积和对：轴的形心坐标分别是 Al=2080=160 mm2，Y1=90 mm A2=2080=160 mm2，Y2=40 mmT形截面对z轴的形心坐标Yc，按式(61)计算 Yc= yc= (A1Yl+A2Y2)/A=(160x90+160x40)/(160+160) =65 mm 例613试确定图625中槽形截面的形心位置(对z轴)。(图中尺寸单位为cm)。解(1)槽形截面面积可视为矩形ABCD的面积Al与矩形abcd的面积A2之差，即 A1=820=160 cm2 A2=6 X 16=96 cm2 A=A1一A2=16096=64 cm2 (2)槽形截面的形心必定在对称轴Y轴上。取z轴靠截面的下边线，计算对z轴的形心坐标Y。由图中各部分的尺寸可1=4 cm；y2=3 cm AiYi= A1YlA2Y2图625yc=(1604-963)/64=5.5cm总结：一、形心和面积矩、(二)面积矩、(三)形心坐标公式作业：P162 6-9检查与回顾 1、组合图形的形心坐标公式 2、面积矩新授课 二、惯性矩 把平面图形分成无数多个微小面积，用每一块微小面积乘以其形心到某一坐标轴距离的平方，再把这些乘积叠加起来，这个值就叫做平面图形对该轴的惯性矩。惯性矩用符号，；表示(下脚标是指对z轴的惯性矩)，单位是长度的四次方，常用mm4或m4，也可用cm4。由于在计算惯性矩时，要把平面图形分成无数多个微小面积，通常用高等数学计算，所以这里只引用几种常用平面图形的惯性矩计算公式供使用。 正方形，边长为a，zc轴过形心且与底边平行。正方形对zc轴的惯性矩是：Izc=a4/12 矩形，宽度为b、高度为h，zc轴过形心且与底边平行。矩形对zc轴的惯性矩是：Izc=bh3/12 圆形，直径为D，对形心轴ZC的惯性矩是 Izc=D4/64 由惯性矩的定义可知：平面图形对任一轴的惯性矩恒为正值；同一平面图形对不同位置的坐标轴的惯性矩不同。 例614在图626a的矩形中，已知6=3 cm；h=4 cm；试计算该矩形对形心轴zc、Yc的惯性矩IzC，Iyc。 解(1)计算Izc：Izc=bh3/12=343/12=16cm3 (2)计算Iyc:Izc=bh3/12=433/12=9cm3 三、惯性矩的平行移轴公式 在今后的力学计算中，需要计算组合图形对其形心轴的惯性矩。例如图627中的T形，需要算出整个图形对形心轴z的惯性矩Iz。 可将T形视为矩形A1、A2的组合，分别算出A1、A2对z轴的惯性矩I1z、I2z，并把它们相加，就得到T形对形心轴z的惯性矩Iz Iz=I1z+I2z 现在先计算矩形A1对z轴的惯性矩I1z。矩形Al的形心是C1，I轴通过形心C1且与底边平行，z轴与I轴平行且间距为a。可以算出，矩形A1对z轴的惯性矩是 I1z=I1+a2A1上式叫做惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任一牟由的惯性矩，等于平面图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴之间距离平方的乘积。由式(65)可以看出：平面图形对一组平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。 应用式(65)可写出矩形A2对z轴的惯性矩是 I2z=I11+b2A2所以，T形对形心轴z的惯性矩是Iz=I1z+I2z=I1+a2A1+I11+b2A2 图 627应用惯性矩的平行移轴公式，可以求出组合图形对形心轴的惯性矩。例615 T形各部分尺寸如图628所示。试计算T形对形心轴y、z轴的惯性矩。解(1)确定形心轴位置。对称轴Y轴就是形心轴。为确定形心轴。的坐标yc，设参考轴zo如图所示。将图形分为两个矩形A1、A2，它们的面积和对轴的形心坐标分别是 Al=2 x 6=12击；y1=5 cm A2=26=12击；y2=1 cm (2)计算惯性矩Iy。形心轴y0通过矩形A1、A2的形心，所以，整个图形对y轴的惯性矩Iy等于两个矩形对Y轴的惯性矩之和，即 Iy=I1y+I2y=623/12+263/12=40cm (3)计算惯性矩Iz。由于z轴不通过矩形A1、A2的形心，所以，它们对z轴的惯性矩要用平行移轴公式计算 al=2 cm；a2=2 cmI1z=I1c+a12A1=263/12+2212=84cm4 I2z=I2c+a22A2=623/12+2212=52cm4整个图形对z轴的惯性矩为Iz= I1z +I2z=84+52=136 cm4总结：1、 常见截面的惯性矩计算公式2、 惯性矩的平行移轴公式作业：P163 6-10、6-11、6-12检查与回顾 1、常见截面的惯性矩计算公式2、惯性矩的平行移轴公式新授课 第五节 梁的正应力及其强度条件前面讨论了梁的内力计算及内力图，根据内力图可确定梁的内力最大值及其所在位置。为解决梁的强度计算问题，还需要研究横截面上的应力分布规律和计算式。 梁的横截面上有剪力V和弯矩肘两种内力。剪力V是与横截面相切的内力，由它分布在各点的应力必定也与横截面相切，那就是剪应力。弯矩M是力偶矩，它只能由横截面上的正应力仃组成，剪与应力r无关(图629)。这就是说：梁弯曲时横截面上有两种应力：剪应力r和正应力盯。梁的正应力是影响梁强度的主要因素，下面将着重讨论。图629 一、梁的正应力分布规律 为了解正应力在横截面上的分布情况，可先观察梁的变形。取一根弹性较好的梁(例如橡胶梁)，在梁的表面画上与梁轴平行的纵向线及垂直于梁轴的横向线(图630a)。于是在梁的表面形成许多小方格，然后，使梁发生弯曲变形(图630b)即可观察到以下现象： 1各横向线仍为直线，只是倾斜了一个角度； 2各纵向线弯成曲线，梁下部的纤维伸长，上部的纤维缩短。 可以认为梁内部的变形情况与梁表面一样。所以，可作出如下的分析与假设： 1梁的各横向线所代表的横截面，在变形前是平面，变形后仍为平面(平面假设)。 2纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到纵向拉伸或压缩。由梁下部的受拉而伸长逐渐过渡到梁上部受压而缩短，于是，梁内必定有一既不伸长也不缩短的层，这一不受拉、不受压、长度不变的层叫做中性层，中性层与横截面的交线叫做中性轴(图630c)。中性轴通过截面的形心并与竖向对称轴垂直。由此可知：梁弯曲时，各横截面绕中性轴做微小的转动，使梁发生了纵向伸长或缩短，而中性轴上的各点变形为零，距中性轴最远的上、下边缘变形最大，其余各点的变形与该点到中性轴的距离成正比。M (b) (c) 图630 图631 在材料的弹性受力范围内，正应力与纵向应变成正比。可见，横截面上正应力的分布规律与各点的变形规律一样：上、下边缘的点应力最大，中性轴上为零，其余各点的应力大小与到中性轴的距离成正比，如图631所示。二、梁的正应力计算 梁横截面上各点的正应力计算式可表示为=E上式中的纵向应变值e与所计算的点至中性轴的距离Y成正比；与反映梁弯曲程度的曲率1/成反比，即 =1/y 于是，正应力计算式可表示为 =E1/y 梁的曲率与截面的弯矩成正比；与截面的抗弯刚度EIz成反比，即 1/=M/EIz得正应力计算公式为 =My/Iz上式中：M截面上的弯矩； y所计算点到中性轴的距离； Iz截面对中性轴的惯性矩。式(66)说明：梁横截面上任一点的正应力与该截面的弯矩M及该点到中性轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩Iz成反比；正应力沿截面高度呈线性分布规律，中性轴上各点的正应力为零。 用式(66)计算梁的正应力时，弯矩M与某点至中性轴的距离y均以绝对值代入，而正应力的正、负号则由梁的变形判定：以中性轴为界，梁变形后的凸出边是拉应力取正号；凹入边是压应力取负号。 例616简支梁受均布荷载作用，q=35 kNJm，梁的截面为矩形，b=120mm，h=180 mm，跨度l=3 m。试计算跨中截面上o、b、c三点的正应力(图632)。解(1)画出梁的弯矩图如图632b所示，跨中弯矩 M=1/8ql2=1/8Izc=bh3/12353=394 kN。m (2)计算正应力：用式(66)d：计算各点的正应力。 Iz=bh3/12=0.12 0.183/12=58.3210-6m4各点至中性轴的距离分别为 ya=h/2=90 mm；yb=50 mm；yc：90 mm a=Mya/Iz=(3941030.09)/ 58.3210-6=608 MPa(拉应力)b=Myb/Iz=(3941030.05)/ 58.3210-6=3.38 MPa(拉应力)c=Myc/Iz=(3941030.09)/ 58.3210-6=608 MPa(压应力)三、梁的正应力强度条件 弯曲变形的梁，最大弯矩M一所在的截面是危险截面，该截面上距中性轴最远边缘ymax处的正应力最大，是危险点： max=Mmaxymax/Iz由于Iz、Ymax都是与截面的几何尺寸有关的量，若用Wz表示，正应力最大值计算式可写 max=Mmax/Wz Wz叫做抗弯截面系数。图633中矩形截面的Wz= bh2/6，圆形截面的Wy=Wz= =D3/32，正方形截面的Wy=Wz=a3/6抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位是m3或mm3 保证梁内最大正应力不超过材料的许用应力，就是梁的强度条件，可分两种情况表达如下： 1材料的抗拉与抗压能力相同，正应力强度条件为 max =Mnxa/W1 (68) 2材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称的形式，例如T形。这时，梁的正应力强度条件应同时满足 max (拉)= Mnxa/W1拉 max (压)：Mnxa/W2 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题： 1校核强度。在已知梁的截面尺寸、材料及所受荷载情况下，对梁做正应力强度校核 max =Mnxa/W1 2选择截面。在已知梁的材料及荷载时，可根据强度条件确定抗弯截面系数WzMmax/ 再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。 3计算许用荷载。在已知梁的材料及截面尺寸时，先根据强度条件计算此梁能承受的最大弯矩 Mnxa Wz 再由M一与荷载的关系计算出许用荷载值。 例6一17某简支木梁的跨度l=4 m，其圆形截面的直径d=160 mm，梁上受均布荷载作用。已知q=2 kNm，木材弯曲时的许用正应力仃=11胁(图635)，试校核梁的正应力强度。 图 635 解(1)最大弯矩发生在跨中截面，其值为 Mmax=1/8ql2=1/82 x 42=4 kNm (2)计算抗弯截面系数形，。Wz =D3/32= 1603/32=401.9 103mm3(3)校核正应力强度。 max =Mnxa/Wz=4106/401.9 103 =10 MPa所以要重选截面。 (4)按剪应力的强度条件重选工字钢型号。选I 25b试算。 Iz/Sz=2127cm b1 =lcm再进行强度校核max=VSz/Izb1=210 x103/212.7x10=98.7Mpa 最后确定选用工字钢I 25b。图652第七节 梁的主应力迹线前面讨论了梁在横截面上的应力分布规律及计算，并分别建立了横截面上的正应力和剪应力强度条件： max ； max 实际上，梁往往还会沿斜截面发生破坏。例如钢筋混凝土梁在荷载作用下，除产生跨中的竖向裂缝外，在支座附近还发生斜向裂缝(图653)。这种现象说明：在梁的斜截面上还存在着导致使梁发生破坏的应力。 计算表明：在荷载作用下，梁内的任一点，在任一斜截面上都存在着应力，这个应力值与该点横截面上的正应力和剪 图6一53应力值有关，而且随斜截面的倾斜角度的变化而变化。在某点的许多斜截匾上的应力值中，总有一个最大值和一个最小值，这个最大值叫做主拉应力，最小值叫做主压应力。如果在梁内计算出许多点的主拉应力值并确定其方向，再把各点的主拉应力的方向连接起来，就可以形成一条光滑的曲线。这条曲线就叫做主拉应力迹线。用同样的方法，也可以画出梁的主压应力迹线。图654画出了简支梁在均布荷载作用下的主应力迹线：图中的实线是主拉应力迹线：虚线是主压应力迹线。从图中看到：所有的主应力迹线与梁的中性层的交角均为45。；在梁的上、下边缘处，主应力迹线与梁轴线平行或垂直；两组主应力迹线交点处的切线均相互垂直。 图654 图655主拉应力的存在，常导致钢筋混凝土梁在支座附近常发生斜裂缝。为此，在钢筋混凝土梁中，除配置纵向受拉钢筋外，还配置弯起钢筋(图655)。总结：1、几种常用截面形式的剪应力最大值计算公式。 2、梁的剪应力强度条件。作业：p1656-17、6-18、6-19、6-20检查与回顾 1、几种常用截面形式的剪应力最大值计算公式。 2、梁的剪应力强度条件。新授课 第八节梁的变形 梁在荷载作用下，除应满足强度要求外，还需要满足刚度要求，即梁的最大变形不得超过某一限度，以保证梁的正常使用。梁发生平面弯曲时，梁轴由直线被弯曲成一条光滑的曲线，这条曲线叫梁的弹性曲线或挠曲线。 弯曲变形的梁，每个横截面都发生了移动和转动。横截面形心在垂直于梁轴方向的位移叫做挠度，用Y表示并规定向下为正；横截面绕中性轴转动的角度叫做转角，用表示，并规定顺时针的转角为正(图656)。图656梁的挠度y和转角都随截面位置z的变化而变化，即挠度Y和转角都分别是x的函数。 一、用叠加法计算梁的挠度 在建筑工程中，通常不需要建立梁的挠曲线方程和计算每一截面的挠度值，只需要求出梁的最大挠度。因此，常将梁在简单荷载作用下的最大挠度汇集成表(表62)，供计算时使用。简支梁在均布荷载作用下，最大挠度为 ymax=5ql4/384EI式中的E为材料的弹性模量；I为横截面对中性轴的惯性矩。 当梁上有几个或几种荷载同时作用时，仍可利用表62中的公式。此时，可先分别计算每一个或每一种荷载单独作用下梁的挠度，然后计算相应截面挠度的代数和，就得到在几种荷载共同作用下梁的挠度值。这种方法就是计算梁挠度的叠加法。 例623简支梁受满跨均布荷载g及跨中的集中力P作用(图657)。试用叠加法求梁跨中截面C的挠度)yc。 解 把梁上的复杂荷载分解为两种简单荷载，如图657b、c所示。在均布荷载q单独作用下，梁跨中截面挠度可由表62中查得Y1=ql4/384EI在集中力P单独作用下，梁跨中截面挠度也可由表62中查得 y2=Pl3/48EI 叠加以上结果，即可得梁的跨中截面挠度 yc=y1+y2= ql4/384EI+ Pl3/48EI图657 二、梁的刚度校核 梁的刚度校核，就是检查梁在荷载作用下所产生的变形是否超过容许的数值。在建筑工程中，通常只校核梁的挠度(不校核梁的转角)。用f表示梁的最大挠度，f表示梁的容许挠度，于是梁的刚度条件可写为 ff 在建筑工程的有关规范中，通常用粱的相对挠度f/l来表达刚度条件，所以梁的刚度条件是f/lf/l工程设计中，应先按强度条件选择截面尺寸，再用刚度条件进行校核。 例624在图658的工字钢梁中，已选定工字钢的型号为I 20b，材料的弹性模量E=20lOSMPa,I=2500cm4，f/l=1/400，试校核基刚度。 解由表62中查得 yq= ql4/384EI=6.7mm yp=Pl3/48EI=2.7mm ymax=yq+yp=6.7+2.7=9.4mm根据梁的刚度条件 f/l=9.4/4000=0.94/400b，截面的面积都分布在Y轴附近，所以截面对Y轴的惯性矩就是截面对形心轴的惯性矩中的最小值，即，Iy=Imin=hb3/12。实验证明，矩形截面的压杆失稳时，是以图83口中的y轴为中性轴发生弯曲的。同理，图83b中的工字形截面柱，其失稳时弯曲变形的中性轴也是，轴。圆形截面压杆失稳时的弯曲变形则可以在任意方向发生，因为圆形截面对过形心的任意轴的惯性矩均相等。 2临界力与压杆的计算长度平方成反比。计算长度综合反映了压杆的长度和支座的约束情况对临界力的影响。压杆的稳定性随着压杆计算长度的增加而急剧下降。不同支座的长度，在计算压杆的临界力时，应根据支座情况在表81中选用公式。 例81一端固定、一端自由的轴心受压杆，长度l=1 m，弹性模量E=20105MPa。试计算图84中三种截面的临界力。(图中尺寸为mm)解 (1)计算矩形截面。杆件在最小抗弯刚度平面内失稳，Imin=Iz=bh3/12=50X103/12=4.17X103mm4Pcr=2EI/(l) 2= 2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=2.02kn(2)计算等肢角钢截面。由型钢表(见附录工工)查得Imin=Iz=3.89cm4=3.89X104mmPcr=2EI/(l) 2= 2X2.0X105X3.89X103/(2X1000)2=18.73kn (3)计算圆环截面。 I=/64（D4-d4）=/64(384-284)=72600mm4 Pcr=2EI/(l) 2= 2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=18.73kn例中三种截面的面积接近相等，但临界力相差很大，这是因为各截面形式不同、最小惯性矩差别很大。检查与回顾 新授课 二、临界应力 在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。临界应力用d。表示，若压杆的横截面面积为A，则临界应力为 =Pcr/A= Pcr=2EI/(l) 2A上式中最小惯性矩A和横截面面积A都是与截面形状、尺寸有关的几何量。令I/A= i2，则有I=上式中i叫做截面的惯性半径，其单位是mm。于是，临界应力的计算公式可写cr=2Ei2/(l)2=2E/(l)2/ i2上式中l和i都是反映压杆几何性质的量，工程上取l与i的比值来表示压杆的细长程度，叫做压杆的柔度或长细比。柔度用表示，是无量纲的量。 =l/ i 于是临界应力的计算公式可简化为 cr=2E/2 压杆的柔度A综合反映了杆长、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。式(83)是欧拉公式的另一形式。从式中可以看出，对同一种材料的压杆而言，其临界应力与柔度的平方成反比。柔度愈大，临界应力愈小，即压杆的稳定性愈差。 三、欧拉公式的适用范围欧拉公式是在材料服从胡克定律条件下导出的，因此，压杆的临界应力不应超过材料的比例极限b。欧拉公式的适用条件可表达为cr=2E/2b当cr=b则，有p=就是对一定材料的细长压杆，用欧拉公式确定临界应力时柔度的最小值，叫做极限柔度。所以欧拉公式的适用范围用柔度表达的形式是 (8-5) 不同材料的弹性模量E和比例极限b，值不同，因此极限柔度b也不同。对于任意已知材料，可将其E和b代人式(85)，算出相应的b，从而确定欧拉公式对该材料压杆的适用范围。例如3号钢，取E=20105 MPa，b=196 MPa，代入式(85)得 p =100所以，用3号钢制成的压杆，只有当100时，才能用欧拉公式。 总之，欧拉公式只适用于柔度较大的细长压杆。 当压杆的柔度，超出了欧拉公式的适用范围。对于这类压杆的临界应力，可用经验公式计算。 例82某轴心受杆长l=300 mm，矩形截面的面积为bh=210mm2，两端铰支，材料为3号钢，E=20105MPa。试计算此压杆的临界应力和临界力。 解(1)计算最小惯性半径。 I=0.577mm (2)计算柔度。 =l/ I=1X300/0.577=520p =100 (3)用欧拉公式计算临界应力。 cr=2E/2=2X2.0X105/5202=7.3MPa (4)计算临界力 Pcr=crA=732 X 10=146 N作业:P188 8-1检查与回顾 1、欧拉公式的表达形式新授课 第三节压杆的稳定校核折减系数法 一、压杆的稳定条件 当压杆的工作应力达到临界应力时，压杆就会失稳而丧失工作能力。为保证压杆稳定，就必须确定一个考虑压杆稳定的许用应力，它应当是 st= cr/nst 上式中的st就是稳定许用应力；nst是稳定的安全系数，它随柔度的变化而变化。愈大，nst也愈大。压杆的稳定条件可写为 =P/Ast上式中是压杆的工作应力。由于临界应力st和稳定安全系数nst都随柔度而变化，所以st也是随柔度而变化的变量。 二、折减系数在压杆的稳定计算中，可将稳定许用应力st改用强度许用应力来表达。=crn/nstu叫做折减系数。值小于1，是一个随而变化的变量。表82列出了几种材料的值供查用。压杆的稳定条件用折减系数与强度许用应力表示为 =P/A 三、稳定校核 在已知压杆的杆长、支座情况、材料、截面及荷载的情况下，可应用式(87)校核压杆的稳定性。 例83一圆形木柱高6 m，直径d=20 cm，两端铰支，承受轴向压力P=50 kN，木材的许用应力=10 MPa。试校核柱的稳定性。 解(1)计算截面的惯性半径i。 I=d/4=5cm (2)计算柔度。因两端铰支，=1，所以 =l/ I=1X600/5=120 (3)查折减系数。从表82中查得p=0209。 (4)稳定校核。 P/A=159 Nmm=159 MPa =020910=209 MPa所以，木柱满足稳定条件。第四节提高压杆稳定性的措施压杆临界力的大小反映压杆稳定性的高低。要提高压杆的稳定性，就要提高压杆的临界一、减小压杆的长度 压杆的临界力与杆长的平方成反比，所以减小压杆长度是提高压杆稳定性的有效措施之一。在条件许可的情况下，应尽量使压杆长度减小，或在压杆中间增加支承。 二、改善支承条件 加强杆端支承，可减小长度系数卢，从而使临界应力增大，即提高了压杆的稳定性。 三、选择合理的截面形状 压杆的临界应力与柔度A的平方成反比，柔度愈小临界应力愈大。柔度与惯性半径成反比，因此，要提高压杆的稳定性，应尽量增大惯性半径。由于i=暑，所以要选择合理的截面形状，尽量增大惯性矩，。例如选用空心截面或组合空心截面(图85)。 四、选择适当的材料 在其它条件相同的情况下，可以选择弹性模量E高的材料来提高压杆的稳定性。但是，细长压杆的临界力与强度指标无关，普通碳素钢与合金钢的E值相差不大，所以采用高强度合金钢不能提高压杆的稳