娃娃2.2.1对数的概念

对数与对数的运算 回顾知识点 2x 42x 322x 26 X 问 已知底数和幂的值 如何求指数的值 对数是中学初等数学中的重要内容 那么当初是谁首创 对数 这种高级运算的呢 在数学史上 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家 纳皮尔 Napier 1550 1617年 男爵 在纳皮尔所处的年代 哥白尼的 太阳中心说 刚刚开始流行 这导致天文学成为当时的热门学科 可是由于当时常量数学的局限性 天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 天文数字 因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者 为了简化计算 他多年潜心研究大数字的计算技术 终于独立发明了对数 了解对数 定义 一般地 如果ax N a 0 且a 1 那么 数x叫做以a为底N的对数 记做x aN其中 a叫做对数的底数 N叫做真数 ax N x aN 底数 幂 真数 指数 对数 比较认识 指对互换 指数式与对数式的对比 底数 指数 底数 对数 幂值 真数 再巩固再认识 对数式与指数式的互换 化为对数式 化为指数式 化为对数式 例1将下列指数式化为对数式 对数式化为指数式 1 54 625 2 2 6 1 64 3 1 3 m 5 73 4 0 516 4 5 100 01 2 6 e10 2 303 1 4 5625 2 6 21 64 3 m 1 35 73 4 1 2 4 16 5 10 2 0 01 6 e2 303 10 lg0 01 2 ln10 2 303 介绍两种特殊的对数1 常用对数 以10为底的对数 log10N写成lgN 2 自然对数 以e为底的对数 e为无理数 e 2 71828 logeN写成lnN 1 在对数式中N 0即负数与零没有对数 对数的性质 4 logaam m 3 对数恒等式 alogaN N 2 对任意a 0且a 1 都有 a0 1 a1 a 例1求下列各式的值 练习 1 判断正误 2若logxy 1 则y关于x的函数图象是 B 3若log x 3 x2 3 1 则x 3 0 0 1 1 0 0 A B C D o 3 若log 2x 1 1 x2 b 则x的取值范围是 解 x 注意对数符号中底数与真数的范围 指数幂的运算性质 1 ar as ar s a 0 r s R 2 ar s ars a 0 r s R 3 ab r arbr a 0 b 0 r R 回顾与反思 试一试 设 求 1 2 设 试利用 表示 对数运算性质 特别注意 不要自己发明公式哦 几点说明 1 公式中为什么加上条件M 0 N 0 2 公式能够从右到左运用吗 3 由性质1可得 这是为了保证所得结果中的对数都存在例如 lg 2 1 lg2存在 但lg 2 lg 1 都不存在 辨析1 关于对数的运算性质 下列说法正确的有 练习 1 4 3 2 1 求下列各式的值 5 例1计算 1 讲解范例 解 5 14 19 解 练习 1 log3 27 9 lg25 lg4 lg 25 4 lg102 2lg10 2 2 用lg lg lg 表示下列各式 练习 1 4 3 2 例3计算 例4 解方程 2 1 变式 若则 换底公式 思考 这就是对数里很重要的一个公式 换底公式 证明 利用换底公式证明下式 证明 2 常见变形 1 换底公式 例1 计算 变式1 例2 1 1 求log84 2 已知loga2 m loga3 n 求a2