极限的计算方法与技巧毕业论文.doc

江西师范大学09届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文极限的计算方法与技巧Limit calculation method and skill姓 名： 学 号： 090 1 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： （讲师） 完成时间：2013年3月9日 极限的计算方法与技巧*【摘要】极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，并且在高等数学当中占有十分重要的位置。许多重要的数学概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的，因此掌握好极限的计算方法与技巧是学习高等数学相当关键的一个环节。虽然极限的计算方法比较多，但都不是万能的。因此对于某个具体的极限的计算问题，我们应该要去追求最简便、快捷的计算方法。本文介绍了极限计算的一些方法与技巧并通过实例加以说明了。有关的命题和结论在文中也均有说明。【关键词】极限，计算方法，技巧Limit calculation method and skill*【Abstract】The concept of limit is the most important in higher mathematics, one of the most basic concepts, and occupies very important position in the middle of the higher mathematics. Many important mathematical concepts such as continuous, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral and is done with the limit to define, so mastering limit calculation method and the skill is to learn higher mathematics is one of the key step. Although the calculation method of limit is more, but is not everything. So for a specific limit computational problems, we should go for the most simple and quick calculation method. This paper introduces some method to compute the limit and skills and explained through an example. Related thesis and conclusion in this paper are stated.【Key words】Limits, calculation method, skill目 录1 引言12 函数极限的相关定义与定理22.1 极限的相关定义22.2 极限的相关定理33 极限的几个重要性质43.1 函数极限的相关性质43.2 收敛数列的一些性质54 极限的计算方法与技巧及举例说明54.1 利用定义法求极限54.2 利用四则运算法则求极限64.3 利用两个重要极限求极限64.4 利用等价无穷小求极限64.5 利用函数的连续性求极限74.6 利用定积分求极限74.7 利用洛必达法则求极限74.8 利用泰勒展开式或麦克劳林公式求极限84.9 利用递推的方法求极限84.10 拆项相消法94.11 利用迫敛性求极限94.12 利用中值定理法求极限104.13 利用级数收敛的必要条件求极限104.14 利用导数定义求极限114.15 化积为商法求极限114.16 构造新数列法求极限114.17 Euler常数法115 总结12致 谢12参考文献：121 引言在高等数学中，极限思想贯穿始末，而且极限也是数学分析中的基本运算，所以极限的计算方法与技巧在数学领域里显得尤为重要。极限计算的方法与技巧多种多样，常用的极限计算方法有利用极限的定义求极限、利用极限的四则运算法则求极限、利用两个重要极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用定积分的概念求极限、利用洛必达法则求极限等.但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。因此在具体解题的时候就需要大家注意仔细审题、综合考虑, 同时也要注意解题的方法性及技巧性, 与极限的计算有关的问题类型多，而且技巧性强，灵活多变，难教也难学。本文主要探讨并总结了一些极限的计算方法与技巧，对极限的计算有一定的参考价值，克服了许多学生在面对极限计算的问题无从下手的缺点，能够做到得心应手。2 函数极限的相关定义与定理2.1 极限的相关定义定义1 设为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列 收敛于,定数称为数列的极限,并记作，或，读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.定义2设为定义在上的函数,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有，则称函数当趋于时以为极限,记作 或 .定义3（函数极限的-定义） 设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数（），使得当时有 ，则称函数当时以为极限,记作 或 定义4 设函数在（或）内有定义,为定数.若对任给的,存在正数（），使得当时有 ，则称数为函数当时的右（左）极限，记作或 （）（）.右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右极限与左极限有分别记为 （+0）= 与 （-0）=.2.2 极限的相关定理定理1 .定理 2单调有界定理在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 3归结原则设在内有定义. 存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.注1 归结原则也可简叙为: 对任何有. 注2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以以为极限的数列，使都存在而不相等，则不存在.定理4设函数在点某空心右邻域有定义. 的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有.定理 5致密性定理有界数列必存在收敛子列。 定理 6施笃兹定理 设数列单调递增趋于，（可以为无穷），则 .定理7有界变差数列收敛定理若数列满足条件：则称为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。定理8 设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.定理9设函数在内有定义，且有（）若则（）若则定理10柯西准则设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.定理11拉格朗日中值定理若函数满足如下条件:（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使.定理 12若函数和满足：（）；（）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（）（可为实数，也可为），则 定理13 若函数和满足：（）；（）在点的某右邻域内两者都可导，且；（）（可为实数，也可为），则 定理14积分第一中值定理设函数在闭区间上连续,则至少存在使得.定理 15推广的积分第一中值定理若与都在上连续,且在上不变号, 则至少存在一点使得.定理16级数收敛定理若级数收敛,则定理 17欧拉定理序列收敛.因此有公式式中称为欧拉常数,且当时，定理18 柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。3 极限的几个重要性质3.1 函数极限的相关性质性质 1（唯一性） 如果存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界.性质 3（保序性） 设.性质4（迫敛性）设，且在某内有，则.性质5 (四则运算法则) 若与都存在,则函数，当时极限也存在，且1）；2）；又若，则当时极限存在，且有3）.性 质 6 (不等式性) 若，有， 成立,则,即.性 质 7 若. 3.2 收敛数列的一些性质性质1（唯一性） 若数列收敛,则它只有一个极限.性质2（有界性） 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有. 性质3（保号性） 若（或）任何（或）存在正数,使得当时有（或）. 性质4(保不等式性) 设 均为收敛数列.若存在正数,使得当时有，则性质5（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛，且.性质6（四则运算法则）若与为收敛数列,则且有.4 极限的计算方法与技巧及举例说明极限一直是数学分析中一个重要的内容，并且极限的求法也是多种多样的，本文通过归纳和总结罗列出一些极限的计算方法及所隐含的技巧.4.1 利用定义法求极限例 证明.证 当时有 若限制于（此时0），则1.于是，对任给的，只要取，则当时，便有 4.2 利用四则运算法则求极限 对和差积商形式的函数求极限,自然会想到运用极限的四则运算法则去计算,但是为了能够自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,但要采用怎样的变形和化简还是要根据具体的算式来确定,一般来说常用的有分式的分解,分式的约分或通分,分子或分母的有理化和三角函数的恒等变形等. 例 求解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限原式=4.3 利用两个重要极限求极限两个重要极限是，由于该方法主要是利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限，所以用这两个重要极限来求函数的极限时要看所给的函数形式是否符合或经过变化后符合这两个重要极限的形式时才能运用该方法求极限。例（1）求.解 =.2）求.解 注 以后还会用到的另一种极限形式：.事实上，令，则，所以例 求.解 .4.4 利用等价无穷小求极限若与都是无穷小量,且时称与是等价无穷小量表示为.利用性质“无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量”可解一些极限值例 求 解 当时， 为无穷小量，为有界量 故4.5 利用函数的连续性求极限 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有.例 求解 因为是函数的一个连续点， 所以 原式.4.6 利用定积分求极限 利用定积分的定义及牛顿-莱布尼茨公式求极限，可以求一些特定和式的极限，一般来说，利用定积分法求极限可以按照以下步骤进行：1. 将所给的和式进行适当的变形，使之成为积分和的形式.2. 由变形后的和式寻求出被积函数及积分区间.3. 将和式的极限转化为定积分，再利用牛顿-莱布尼茨公式去计算.例 求解 设,则在内连续,所以 所以原式4.7 利用洛必达法则求极限洛必达法则只有直接适用于未定式，而等类型不定式也可经过简单的变换化为的极限，再用洛必达法则来计算，由于其分类明确，规律性强，且可以连续的进行运算，可以简化一些较为复杂的函数极限的计算过程，但是在运用时也不能忽视其它的一些技巧的运用。例（1） 求.解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但若做适当的变换，在计算上可方便一些.为此，令t=，当时有，于是有.例（2） 求.解 这是型不定式极限.用恒等变形将它转化成型的不定式极限，并用洛必达法则得到.4.8 利用泰勒展开式或麦克劳林公式求极限若一个函数的表达式较为复杂时,看其是否可以展成泰勒展式.若能,则将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算.例 求.解 本题可用洛必达法则求解，可是较繁琐，在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限式的分母为，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取n=4），.因而求得 .4.9 利用递推的方法求极限利用递推公式计算极限，也是一种常见的方法，在这里首先需要验证极限的存在性，在极限存在的前提条件下，再根据极限的唯一性，从而解出所需要的结果.例 设.考察极限. 解 若极限存在，设极限值为，在递推关系中令得，解之得（另一负根舍去）.下证确实是其极限值. 事实上，由此递推关系立得.4.10 拆项相消法若要求极限当可拆成两项之差时，可以考虑采用该法先求出和的简单形式，再取极限.例 设，求.解 因为所以 因此可得.4.11 利用迫敛性求极限利用迫敛性求极限，关键就在于对原式进行适当的放大和缩小，并且使得放大和缩小后的式子具有相同的极限.在进行放大和缩小的时候经常会应用到不等式的性质和一些常见的不等式，因此大家在平时的学习中要注意复习不等式的性质和一些常见的不等式.例 设. 证明极限存在，并计算：.证 由于，两边分别取对数得由此得，即数列单调递减. 此外，.即有下界. 由单调有界定理可知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用表示. 由此易得4.12 利用中值定理法求极限在求函数的极限时，若能根据的特点寻得一个新的可微函数再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。例 求.解 对函数在以和sin（）为端点的闭区间上用微分中值定理，有,即 ，在与之间.因为当时，有所以例 计算，其中连续，且.解 由积分中值定理有，存在，使得.4.13 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件求极限，首先应设级数等于所求极限的表达式.再证明级数 是收敛的，根据级数收敛的必要条件可知所求表达式的极限为0. 例 求 解 级数=， 故级数收敛，于是有=04.14 利用导数定义求极限利用导数的定义把极限的计算转换为在某一点处的导数. 例 求解 因为=4.15 化积为商法求极限 利用化积和商法求极限，一般在计算的极限时，若能把各乘积的因子化成商的形式，从而使得某些公式交错出现在分子分母上，则可直接约去公因式就可以得到的简单形式，再取其极限值.例 设，求.解 由于所以 所以 .4.16 构造新数列法求极限 利用构造新数列法求极限，一般是通过构造一个新的便于研究的数列，把它作为一个桥梁去研究原数列，这是数学里常用的方法之一.例 设证明数列收敛，并求极限。解 令，则 因为 ，所以 即数列单增有上界，所以数列收敛，又由于且.故数列收敛，且4.17 Euler常数法利用Euler常数法求极限就是应用著名欧拉公式 其中叫做欧拉常数,例 求极限