数学建模初等模型

数学建模 MathematicalModeling 黑龙江科技学院理学院工程数学教研室 第二章初等模型 理学院 线性代数模型 极限 最值 积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 重点 各种简单的初等模型 难点 简单初等模型的建立和求解 生活中的问题 理学院 建模举例 2 1生活中的问题 2 1 1椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚连线呈正方形 地面高度连续变化 可视为数学上的连续曲面 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 理学院 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 椅脚连线 的对称性 用 对角线与x轴的夹角 表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 四只脚 A C两脚与地面距离之和 f B D两脚与地面距离之和 g 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD绕O点旋转 理学院 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数 对任意 f g 至少一个为0 数学问题 已知 f g 是连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 理学院 模型求解 给出一种简单 粗糙的证明方法 将椅子旋转900 对角线AC和BD互换 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 则h 0 0和h 2 0 由f g的连续性知h为连续函数 据连续函数的基本性质 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f g 0 所以f 0 g 0 0 评注和思考 建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和f g 的确定 理学院 2 1 2分蛋糕问题 妹妹过生日 妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕 哥哥也想吃 妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说 你能过这一点切一刀 使得切下的两块蛋糕面积相等 就把其中的一块送给你 哥哥利用高等数学知识解决了这个问题 你知道他用的是什么办法吗 理学院 只证明了直线的存在性 你能找到它么 若S1 S2不妨设S1 S2 此时l与x轴正向的夹角记为 以点P为旋转中心 将l按逆时针方向旋转 面积S1 S2就连续依赖于角的变化 记为 理学院 2 1 3出租车收费问题 某城市出租汽车收费情况如下 起价10元 4km以内 行程不足15km 大于等于4km部分 每公里车费1 6元 行程大于等于15km部分 每公里车费2 4元 计程器每0 5km记一次价 理学院 请回答下列问题假设行程都是整数公里 停车时间都是2 5min的整数倍 请建立车费与行程的数学模型 若行驶12km 停车等候5min 应付多少车费 若行驶23 7km 停车等候7min 应付多少车费 理学院 数学模型为 计算起来很简单 理学院 2 1 4蚂蚁逃跑问题 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标分别是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假设板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一只蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点 解 板上任一点 x y 处的温度为 理学院 2 2极限问题中的初等模型2 3最值问题中的初等模型2 4积分问题中的初等模型 理学院 细菌繁殖问题 求 开始时细菌个数可能是多少 若继续以现在的速度增长下去 假定细菌无死亡 60天后细菌的个数大概是多少 理学院 解 建立数学模型将时间间隔t分成n等分 在第一段时间内 细菌繁殖的数量为 在第一段时间末细菌的数量为 同样 第二段时间末细菌的数量为 以此类推 最后一段时间末细菌的数量为 经过时间t后 细菌的总数是 设细菌的总数为y 则所求的数学模型为 理学院 海报设计问题 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报 它的印刷面积为128平方分米 上下空白个2分米 两边空白个1分米 如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小 最小 令此式对x的导数为0 解得 x 16 此时y 8 可使空白面积最小 理学院 工人上班效率问题 工作效率最高 即生产率最大 此题中 工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率 Q t 则问题转化为求Q t 的最大值 理学院 最大利润问题 想一想高等数学中二元函数求最值的方法 解 每天的总收益为二元函数 令 则有驻点x 53 y 55判断可知 53 55 为最大值点 理学院 商品的贮存费问题 将区间0 t 5分为n个等距的小区间 任取第j个小区间 tj tj 1 区间长度为tj 1 tj t 在这个小区间中 每公斤贮存费用 0 01 t 第j个小区间的贮存费 0 01Q tj t总的贮存费 由定积分定义 总贮存费 解 令Q t 表示t个月后贮存大米的公斤数 则Q t 10000 2000t 理学院 车辆平均行驶速度问题 解 平均车辆行驶速度为 此题是求函数s t 在区间 1 6 内的平均值 理学院 2 5经济问题中的初等模型 理学院 理学院 例1 某品牌收音机每台售价90元 成本为60元 厂家为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购量超过100台以上的 每多订购一台 售价就降低1分 例如某商行订购300台 订购量比100台多200台 于是每台就降价0 01 200 2元 商行可按每台88元的价格购进300台 但最低价格为75元 台 1 建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型 2 建立利润L与订购量x的数学模型 3 当一商行订购了1000台时 厂家可获利润多少 理学院 例2一房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180元时 公寓会全部租出去 当租金每月增加10元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费 1 建立总收入R与租金x之间的数学模型 2 当房租定为多少时可获得最大收入 理学院 例3某不动产商行能以5 的年利率借得贷款 然后它又把此款贷给顾客 若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成反比 利率太高无人借贷 1 建立年利率x与利润p间的数学模型 2 当以多大的年利率贷出时 能使商行获得利润最大 理学院 2 6线性代数模型 所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下 系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能 如果可以转移的话 应如何具体实现 在本问题中 可采取如下方法 一物在此岸时相应分量为1 而在彼岸时则取为0 例如 1 0 1 0 表示人和鸡在此岸 而狗和米则在对岸 理学院 i 可取状态 根据题意 并非所有状态都是允许的 例如 0 1 1 0 就是一个不可取的状态 本题中可取状态 即系统允许的状态 可以用穷举法列出来 它们是 ii 可取运算 状态转移需经状态运算来实现 在实际问题中 摆一次渡即可改变现有状态 为此也引入一个四维向量 转移向量 用它来反映摆渡情况 例如 1 1 0 0 表示人带狗摆渡过河 根据题意 允许使用的转移向量只能有 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 四个 人在此岸人在对岸 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 总共有十个可取状态 对一般情况 应找出状态为可取的充要条件 理学院 规定一个状态向量与转移向量之间的运算 规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量 其运算为对应分量相加 且规定0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 在具体转移时 只考虑由可取状态到可取状态的转移 问题化为 由初始状态 1 1 1 1 出发 经奇数次上述运算转化为 0 0 0 0 的转移过程 我们可以如下进行分析 第一次渡河 理学院 第二次渡河 以下可继续进行下去 直至转移目的实现 上述分析实际上采用的是穷举法 对于规模较大的问题是不宜采用的 理学院 例2夫妻过河问题 这一问题的状态和运算与前一问题有所不同 根据题意 状态应能反映出两岸的男女人数 过河也同样要反映出性别 理学院 问题归结为由状态 3 3 经奇数次可取运算 即由可取状态到可取状态的转移 转化为 0 0 的转移问题 和上题一样 我们既可以用计算机求解 也可以分析求解 此外 本题还可用作图方法来求解 在H W平面坐标中 以 表示可取状态 从A 3 3 经奇数次转移到达O 0 0 奇数次转移时向左或下移动1 2格而落在一个可取状态上 偶数次转移时向右或上移动1 2格而落在一个可取状态上 为了区分起见 用红箭线表示奇数次转移 用蓝箭线表示第偶数次转移 下图给出了一种可实现的方案 故 这三对夫妻是可以过河的 假如按这样的方案过河 共需经过十一次摆渡 不难看出 在上述规则下 4对夫妻就无法过河了 读者可以自行证明之 类似可以讨论船每次可载三人的情况 其结果是5对夫妻是可以过河的 而六对以上时就无法过河了 理学院 常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合 以及其后代形成每种基因型的概率 如表所示 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂 这些我们仅研究一个较简单的特例 理学院 a 假设 令n 0 1 2 i 设an bn和cn分别表示第n代植物中 基因型为AA Aa和aa的植物占植物总数的百分比 令x n 为第n代植物的基因型分布 当n 0时 表示植物基因型的初始分布 即培育开始时的分布 理学院 b 建模根据假设 ii 先考虑第n代中的AA型 由于第n 1代的AA型与AA型结合 后代全部是AA型 第n 1代的Aa型与AA型结合 后代是AA型的可能性为1 2 而第n 1代的aa型与AA型结合 后代不可能是AA型 因此当n 1 2 时 即 类似可推出 cn 0 显然有 ii 第n代的分布与第n 1代的分布之间的关系是通过表确定的 2 3 4 理学院 1 将 2 3 4 式相加 得 根据假设 I 可递推得出 对于 2 式 3 式和 4 式 我们采用矩阵形式简记为 其中 注 这里M为转移矩阵的位置 5 理学院 由 5 式递推 得 6 6 式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系 为了计算出Mn 我们将M对角化 即求出可逆矩阵P和对角库D 使M PDP 1因而有Mn PDnP 1 n 1 2 其中 这里 是矩阵M的三个特征值 对于 5 式中的M 易求得它的特征值和特征向量 1 1 2 0 理学院 因此 所以 通过计算 P 1 P 因此有 理学院 即 理学院 所以有 即在极限的情况下 培育的植物都是AA型 若在上述问题中 不选用基因AA型的植物与每一植物结合 而是将具有相同基因型植物相结合 那么后代具有三种基因型的概率如表所示 理学院 7 M的特征值为 通过计算 可以解出与 相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2 及与相对应的特征内量e3 因此 理学院 解得 所以 因此 如果用基因型相同的植物培育后代 在极限情况下 后代仅具有基因AA和aa 理学院 2 7建模举例 人员疏散问题 考虑学校的一座教学楼 其中一楼有一排四间相同的教室 学生们可以沿教室外的走廊一直走到尽头的出口 试建立数学模型来分析人员疏散所用的时间 理学院 建立模型根据假设 疏散撤离的队伍中人与人之间的距离是常数 记为d 米 队列行进的速度也是常数 记为v 米 秒 设第i个教室中的人数为ni 1 第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为Li 米 教室门的宽度为D 米 疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计 考虑第一个教室人员的疏散 这个教室撤空的时间为n1d v 秒 是指最后一个人离开教室 到达教室门口所用的时间 而最后一个人到达出口所用的时间是所用的时间是 类似地 第二个教室撤空的时间为n2d v 秒 而最后一个人到达出口所用的时间是所用的时间是 理学院 两个教室的人员完全撤出教学 单队 楼所用的时间的数学模型为 类似可得出四个教室的人员完全撤出教学 单队