八年级数学期中复习及考前模拟华东师大版知识精讲.doc

1 初二初二数学数学期中复习及考前模拟期中复习及考前模拟华东师大版华东师大版 一 教学内容 期中复习及考前模拟 复习内容 分式 函数及其图象 二 教学重点 难点 1 重点 分式的概念 分式的值为零的条件 会利用分式的基本性质进行通分和约分 分式方程的概念 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 分清常量与变量 自变量与函数的概念 会确定函数自变量的取值范围 初步认识函数的图象 会用列表法 图象法 解析法表示函数关系式 会通过列表 描点 连线画出简单的函数图象 2 难点 分式的加 减 乘 除及混合运算 可化为一元一次方程的分式方程的解法及其运用 一次函数与反比例函数图象的性质及其实际应用 用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式 从图表中获取数学信息从而解决 实际问题 三 知识梳理 一 分式 一 分式 1 分式的基本概念分式的基本概念 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B 0 的式子叫做分式 B A 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 叫做最简分式 有理式 整式和分式统称为有理式 说明 要使分式有意义 必须保证分母不为 0 2 分式的基本性质分式的基本性质 基本性质 分式的分子或分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值 不变 用符号表示为 M 是整式 M 0 MB MA B A MB MA B A 应用 分式的约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去 叫做分式的约分 分式的通分 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式叫做分 式的通分 分式的值为零 分式的值为零是指分式的分子为零且分母不等于零 分式的符号法则 分式的分子 分母与分式本身的符号 改变其中任何两个 分式 的值不变 b a b a b a b a 3 分式的运算法则分式的运算法则 乘法 除法 bd ac d c b a bc ad c d b a d c b a 2 乘方 n 为正整数 加减法 n n n b a b a bd bcad bd bc bd ad d c b a 混合运算 先乘方 再乘除 最后加减 有括号先算括号里的 注意 分式的运算结果应是最简分式或整式 4 解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 去分母 将分式方程化为整式方程 解这个整式方程 验根 把整式方程的根代入最简公分母中 若值不为零 则是原方程的根 若值为 零 则是原方程的增根 原方程无解 注意 解分式方程一定要验根 5 分式方程的应用分式方程的应用 分式方程应用题与一元一次方程应用题类似 不同的是要注意检验 检验所求的解是否是方程的解 检验所求的解是否符合题意 二 函数及其图象 二 函数及其图象 1 平面直角坐标系平面直角坐标系 平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴 构成平面直角坐标系 该平面就是坐标平 面 坐标平面内的任意一点与有序实数对 x y 是一一对应的 2 特殊点的坐标的特征 特殊点的坐标的特征 设点 P x y 各象限内的点 坐标轴上的点 x 轴上的点 y 0 y 轴上的点 x 0 关于原点和坐标轴对称的点的坐标 a b 关于 x 轴对称的点 关于 y 轴对称的点 关于原点对称的点 只要记住一句话即可 关于什么轴对称什么轴的坐标就不变关于原点对称的点两坐标 都要改变 3 函数的概念函数的概念 常量与变量 在某问题的研究过程中 可以取不同数值的量 叫做变量数值保持不 变的量 叫做常量 函数 设在某个变化过程中有两个变量 x 和 y 如果对于 x 在取值范围内 的每一 值 y 都有唯一的值与它对应 那么就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 4 函数自变量的取值范围的确定函数自变量的取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体 叫做函数的自变量的取值范围 确定自变量的 取值范围的方法 自变量的取值应使函数解析式有意义 当解析式是整式时 自变量的取值范围是全体实数 当自变量是分式时 自变量的取值范围是使分母不为零的实数 当解析式是偶次根式时 自变量的取值范围是使被开方数不小于 0 的实数 自变量取值应使实际问题有意义 5 函数的表示法函数的表示法 解析法 最常见的表达形式 表达简洁 用解析法表示函数时 确定自变量的取值范围应使解析式有意义 列表法 不常用的表达形式 关系明确 图象法 常见的表达形式 直观形象 在解决一些与函数有关的应用题时 有时可以通过数形结合的方法来解决 6 画函数图象的一般步骤画函数图象的一般步骤 对于一个函数 如果把自变量 x 和函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标 在坐标平面内描出相应的点 这些点组成的图形就是这个函数的图象 根据函数的解析式 3 用描点法画出函数的图象 一般可分为三个步骤 列表 描点 连线 7 一次函数的定义 一次函数的定义 一次函数 如果 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 正比例函数 当 b 0 时 一次函数 y kx b 就成了 y kx k 是常数且 k 0 这 时 y 叫做 x 的正比例函数 或称 y 与 x 成正比例 8 一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数的图象特征 一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 的图象是经过点和点 0 b 的一 0 k b 条直线 正比例函数 y kx k 是常数 k 0 的图象是经过点 0 0 和 1 k 的一条直 线 一次函数图象的性质 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 k0 时 反比例函数的图象分布在一三两个象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 k 0 时 反比例函数的图象分布在二四两个象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而增 大 12 反比例函数反比例函数 y k 0 中 中 k 的意义的意义 k x 过双曲线 y k 0 上任意一点引 x 轴 y 轴垂线 所得矩形面积为 k k x 如果已知双曲线上一点的坐标 a b 则 k ab 13 反比例函数的应用反比例函数的应用 4 反比例函数解析式的确定仍是待定系数法 因只有一个待定系数 所以只需要一个 点的坐标即可 反比例函数经常与一次函数 图形的面积等知识相结合 典型例题典型例题 例例 1 如果分式的值为零 那么 x 等于 32x 2 x 1 x A 1 B 1 C 1 或 1 D 1 或 2 分析 分析 要求分式值为零应该考虑两个条件 分式的分子为零 分式的分母不为 零 在做题时一定要注意检验分母的值是否为零 解 解 32x 2 x 1 x 1 12 x xx 当 x 1 0 即 x 1 时 分式的分子为零 但当 x 1 时 分式的分母为零 分 式无意义 所以 x 1 选 A 例例 2 若方程有增根 则它的增根是 1 111 6 x m xx A 0 B 1 C 1 D 1 和 1 分析 分析 本题应直接由增根的定义得出答案 而不是化为整式方程来求解 而且即使化 为整式方程也不能得到方程的根 因为方程中有未知系数 m 解 解 由增根的定义可知 使得最简公分母的值为零的即是原分式方程的增根 所以本 增根应为 1 和 1 选 D 例例 3 某市为处理污水需要铺设一条长为 4000 米的管道 为了尽量减少施工对交通所 造成的影响 实际施工时每天比原计划多铺设 10 米 结果提前 20 天完成任务 设原计划 每天铺设管道 x 米 则可得方程 A B 40004000 20 10 xx 40004000 20 10 xx C D 40004000 20 10 xx 40004000 20 10 xx 分析 分析 做应用题 要注意分析的方法 我们建议用一个简单的表格来分析 平时做题 打草稿时不用画表格线 把未知数 已知数 要表达的关系式分别表示出来 例如本题可 表示为 原来后来 V 速度 xx 10 T 时间 x 4000 10 x 4000 S 工作量 40004000 然后由时间关系得到即 20 10 40004000 xx 40004000 20 10 xx 借助表格分析的好处就是搭起了一个未知和已知之间的桥梁 解 解 设原计划每天铺设管道 x 米 则后来每天铺设管道 x 10 米 原计划时间为 后来所用的时间为 x 4000 10 4000 x 后来所用时间 原计划时间 20 即原时间 后来时间 20 5 所以正确方程为选项 D 例例 4 先化简 再求值 其中 x 2005 22 xx xx 4 2 x x 分析 分析 分式的化简求值题 只要掌握好相关运算法则就不难解决 解 解 按照分式的运算法则进行运算 原式 22 22 2 2 xxxx xx 2 4 x x 1 2x 2007 1 例例 5 函数中 自变量 x 的取值范围是 2 1 x y A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 解 解 自变量的取值应该使解析式有意义 所以由分母 x 2 0 得 x 2 选择 C 点拨点拨 中考试题中考查自变量的取值范围的较常见 考虑问题时要全面 常见的为分 式 二次根式的形式 如 需考虑得 1 2 x y x 10 20 x x 12xx 且 例例 6 点 M 1 2 关于 x 轴对称点的坐标为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 2 1 分析 分析 关于什么轴对称 什么轴的坐标就不变 关于原点对称横坐标纵坐标都要改 变 解 解 关于 x 轴对称 则横坐标不变 对称点的坐标为 1 2 选 C 例例 7 已知直线 当时 直线不经过 yxb 0b A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 分析 本题直接通过画图来得到答案 当时 正比例函数 y x 向下移动 如图0b 所示 注意不要因为是 b 就认为向上 要注意所给的条件为 0b 解 解 通过画图来直接观察可得 直线不经过第二象限 选 B 例例 8 一根蜡烛长 20cm 点燃后每小时燃烧 5cm 燃烧时剩下的长度为 y cm 与燃烧 时间 x 小时 的函数关系用图象表示为下图中的 分析 分析 做这样的题目要注意题目的实际意义 蜡烛 4 小时后就燃烧完了 它其实是一 个分段的函数 函数的图象是一条线段 不是一条直线 蜡烛长 20cm 每小时燃烧 5cm 6 所以应该是 4 小时燃烧完 燃烧时间 x 的取值范围应该是 0 x 4 且蜡烛是越来越短直到 4 小时后烧完为止 解 解 选 B 例例 9 我市某出租车公司收费标准如图所示 如果小明只有 19 元钱 那么他乘此出租车 最远能到达 公里处 038 x 元 元 5 12 y 元 解析 解析 由图可知 出租车的起步价为 5 元 3 公里后按路程计费 它是一次函数的关 系 由待定系数法可得函数的解析式为 y 1 4x 0 8 x 3 表示 3 公里后每公里的价格 为 1 4 元 去掉起步价 5 元 还有 14 元 所以小明最多能到达 3 10 13 公里处 点拨 点拨 一次函数的 k 值可以看成是斜坡的坡比 k 竖直 水平 这样可以快速得到 k 1 4 即 3 公里后每公里为 1 4 元 不能用 1 4 x 0 8 5 19 来解 例例 10 如图 l1表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系 l2表示摩托车 厂一天的销售成本与销售量的关系 写出销售收入与销售量之间的函数关系式 写出销售成本与销售量之间的函数关系式 当一天的销售量为多少辆时 销售收入等于销售成本 当一天的销售超过多少辆时 工厂才能获利 利润 收入 成本 分析 分析 用待定系数法可求出一次函数的解析式 直线的交点为函数值相等的点 解 解 正比例函数经过了点 4 4 解析式为 y x 设ykxb 直线过 0 2 4 4 两点 又 2ykx 442k 1 2 k 1 2 2 yx 由图象知 当时 销售收入等于销售成本4x 7 或 1 2 2 xx 4x 由图象知 当时 工厂才能获利4x 或时 即时 才能获利 1 2 0 2 xx 4x 例例 11 若函数是反比例函数 则 m 的值等于 2 2 1 m ymx A 1 B 1 C D 13 分析 分析 一次函数的另一种表达形式为 解决本题要注意考虑常数 k 0 1 0 ykxk 这个条件 否则就会错误地选择 A 了 解 解 由反比例函数的定义可知 可得 解得 m 1 1 0 ykxk 2 21 10 m m 选 D 例例 12 一矩形的面积是 8 则这个矩形的一组邻边长 y 与 x 的函数关系的图象大致是 o x y O y x O x y x y O A B C D 解析 解析 根据题意可得 xy 8 所以所求的解析式为 x 0 这是一个反比例 x y 8 函数 自变量 x 的取值范围为 x 0 所以选 D 思维诊断 思维诊断 这里要先判断出所求函数解析式 还要根据问题的实际意义加上 x 的取值 范围 不能忽略范围而选择了 C 例例 13 已知点 A 2 y1 B 1 y2 C 3 y3 都在反比例函数的图象上 4 y x 则 A y1 y2 y3 B y3 y2 y1 C y3 y1 y2 D y2 y110 与付款金额 y 元 之间的关系式 二 仔细选一选 每题 3 分 共 24 分 下列各式中 属于分式的是 A B C x y D 2 xy 2 xy 1 22 x 2 如果分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 2 倍 那么分式的值 2x xy A 扩大 2 倍 B 扩大 4 倍 C 不变 D 缩小 2 倍 3 点 P a a 2 在第四象限 则 a 的取值范围是 A 2 a 0 B 0 a 2 C a 2D a 0 4 在函数 y 3x 2 y 3 y 2x y x2 7 中是正比例函数的有 1 x A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 5 王大爷饭后出去散步 从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的公园 与朋友聊天 10 分钟后 然后用 15 分钟返回家里 下面图形表示王大爷离家的时间与外出距离之间的关系 是 10 900 2040 x 分 分 y 米 米 900 2040 x 分 分 y 米 米 900 2040 x 分 分 y 米 米 900 2040 x 分 分 y 米 米 A B C D 6 关于函数 下列结论正确的是 21yx A 图象必经过点 2 1 B 图象经过第一 二 三象限 C 当时 D 随的增大而增大 1 2 x 0y yx 7 一件工程甲单独做 a 小时完成 乙单独做 b 小时完成 甲 乙二人合作完成此项工作 需 要的小时数是 A a b B C D 11 ab 1 ab ab ab 8 纳米是一种长度单位 1 纳米 10 9米 已知某种植物花粉的直径约为 35000 纳米 那么用科学记数法表示该种花粉的直径为 米 A 3 5 104 B 35 10 6 C 3 5 10 9 D 3 5 10 5 三 认真解一解 共 56 分 1 化简 每题 4 分 共 8 分 310 2 6 2 3 5 2 42 222 xx xxx 2 先化简 再求值 5 分 1 3 1 8 1 x x x x 其中 23 x 3 解方程 每题 5 分 共 10 分 1 32 54 32 97 x x x x x x x 2 1 3 2 1 4 一次函数 y kx b 的图象经过点 A 3 3 和点 B 其中点 B 是直线 y x 2 11 与 x 轴的交点 求函数的解析式 本题 5 分 5 本题 5 分 甲 乙两地相距 135 千米 大小两辆汽车从甲地开往乙地 大汽车比小 汽车早出发 4 小时 小汽车比大汽车早到 30 分钟 小汽车和大汽车的速度之比为 5 2 求两车的速度 6 本题 5 分 已知 y 3 与 x 成正比例 且 x 2 时 y 7 写出 y 与 x 之间的函数关系 y 与 x 之间是什么函数关系 计算 y 4 时 x 的 值 7 10 分 某校科技小组进行野外考察 途中遇到一片十几米宽的湿泥地 为了完全 迅速通过这片湿地 他们沿着前进路线铺了若干块木块 构筑成一条临时通道 木板对地 面的压强 p Pa 是木板面积 S m2 的反比例函数 其图象如下图所示 请直接写出一函数表达式和自变量的取值范围 当木板面积为 0 2m2时 压强是多少 如果要求压强不超过 6000Pa 木板的面积至少要多大 8 本题 8 分 小明受 乌鸦喝水 故事的启发 利用量筒和体积相同的小球进行了