等差数列前n项和性质公开课.ppt

等差数列的前n项和的性质及应用 等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 复习回顾 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 则Sn An2 Bn 令 例 若一个等差数列前3项和为34 最后三项和为146 且所有项的和为390 则这个数列共有 项 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d nd 性质2 2 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S奇 S偶 两等差数列前n项和与通项的关系 性质4 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质3 为等差数列 an 等差数列的性质应用 例1 已知一个等差数列前n项和为25 前2n项的和为100 求前3n项和 例2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 A 63B 45C 36D 27 例3 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 A 85B 145C 110D 90 B A 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 等差数列的性质应用 例4 已知等差数列的前10项之和为140 其中奇数项之和为125 求第6项 解 由已知 则 故 解一 设首项为a1 公差为d 则 例 一个等差数列的前12项之和为354 前12项中偶数项与奇数项之比为32 27 求公差 由 解二 例5 一个等差数列的前12项之和为354 前12项中偶数项与奇数项之比为32 27 求公差 等差数列的性质应用 例 已知一个等差数列的总项数为奇数 且奇数项之和为77 偶数项之和为66 求中间项及总项数 解 由中间项 得中间项为11 又由 得 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例6 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为Sn 已知am 1 am 1 am2 0 S2m 1 38 则m 例7 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 10 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例8 设等差数列的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 Sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 等差数列 an 前n项和的性质 2 Sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时Sn有最大值 Sn有最大值 等差数列的性质应用 例9 已知等差数列中 求的值 解法1 代入下式得 解法2 设 解法3 由已知 两式相减得 例7 已知数列前n项和 1 求证 为等差数列 记数列的前项和为 求的表达式 n a 例8 已知正整数数列中 前n项和满足 求证 为等差数列 例9 已知数列的首项a 其前n项和sn和an之间的关系满an 1 求证 为等差数列 2 求 an 的通项公式 练习 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 Sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求S10 3 求使Sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 课堂小结 1 根据等差数列前n项和 求通项公式 2 结合二次函数图象和性质求的最值 3 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质3 若Sm Sp m p 则Sp m 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d 0 nd m p 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1