等腰三角形存在性问题--许凯杰专讲.ppt

动点产生的等腰三角形解题策略 亚新校区许凯杰2016年11月17日 解题策略 例题赏析 习题演练 目 录 CONTENTS 撒由那拉 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 几何法与代数法相结合 又好又快 几何法 代数法 确定目标 准确定位 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 OD OF DO DF FO FD 第一步分类 第二步写点 列方程 OD OF DO DF FO FD 点F不存在点F有两个 与A重合 F1 2 2 点F2 1 3 若 ABP是等腰三角形 求点B的坐标 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 第一步分类 AB AP BA BP PA PB 若 ABP是等腰三角形 求点B的坐标 AB AP BA BP PA PB 第二步画图 第三步计算 具体情况具体分析 AB AP 点B与点P关于直线y 1对称 PA PB 第三步计算 具体情况具体分析 BA BP BA2 BP2 第三步计算 具体情况具体分析 小结用代数法解也很方便 盲解 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 第一步罗列三边 的平方 若 ABP是等腰三角形 求点B的坐标 小结用代数法解也很方便 盲解 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 第二步分类列方程 AB2 AP2 BA2 BP2 PA2 PB2 小结用代数法解也很方便 盲解 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 第三步解方程 检验 当 BDG是等腰三角形时 求AD的长 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 热身运动 寻找 BDG中不变的元素 BDG的大小不变 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 热身运动 用x表示BD DG 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 热身运动简化图形 迁移数据 第一步分类 BD BG DB DG GB GD 当 BDG是等腰三角形时 求AD x 的长 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 第二步画图 BD BG因B而G GB GD因G而B DB DG因B而G 第三步计算 具体问题具体分析 BD BG因B而G 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 第三步计算 具体问题具体分析 DB DG因B而G 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 第三步计算 具体问题具体分析 GB GD因G而B 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 等腰三角形的存在性问题解题策略 点P 0 k 是y轴的负半轴上的一个动点 以P为圆心 3为半径作 P 当k为何值时 以 P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形 等腰三角形的存在性问题解题策略 当k为何值时 以 P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形 这是特例 反例 三部曲失效了 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 等腰三角形的存在性问题解题策略 点P在y轴的负半轴上 以P为圆心 3为半径作 P P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形 第一步画图 不求准确 但求思路 假设一个位置画P 不理它 先画PE再画PC PD 等腰三角形的存在性问题解题策略 A 4 0 B 0 8 点P 0 k 是y轴的负半轴上的一个动点 P的半径为3 正三角形PCD 第二步罗列 标记已知量 理清思路 PC 3 求出PE 求出sinB 求出BP 求出OP 写出点P的坐标 等腰三角形的存在性问题解题策略 点P 0 k 是y轴的负半轴上的一个动点 分类讨论思想 思路 第三步丰富思想 完善思路 P在B上 P在B下 P与P 关于B对称 写出点P 的坐标 OP OB BP 等腰三角形的存在性问题解题策略 小结 数形结合 分类讨论 等腰三角形的存在性问题解题策略 几何法三部曲 先分类 再画图 后计算 几何法解答不了的反例 点P是x轴的正半轴上的一个动点 PQ AB 与y轴的正半轴交于Q 若 APQ是等腰三角形 求点P的坐标 无法画图 等腰三角形的存在性问题解题策略 几何法解答不了的反例 PQ AB 与y轴的正半轴交于Q OP 2OQ AOB QOP 热身运动 等腰三角形的存在性问题解题策略 第一步罗列三边 的平方 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 OP 2OQ 若 APQ是等腰三角形 等腰三角形的存在性问题解题策略 第二步分类列方程 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 若 APQ是等腰三角形 AP AQ PA PQ QA QP 等腰三角形的存在性问题解题策略 第三步解方程 检验 代数法三部曲 先罗列三边 再分类列方程 后解方程 检验 AP AQ PA PQ QA QP 点P是x轴的正半轴上的一个动点 P 2a 0 习题演练 如图1 抛物线y ax2 bx c经过A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 直线l是抛物线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 2 在直线l上是否存在点M 使 MAC为等腰三角形 若存在 求出所有符合条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 图1 1 因为抛物线与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 设y a x 1 x 3 代入点C 0 3 得 3a 3 解得a 1 所以抛物线的函数关系式是y x 1 x 3 x2 2x 3 2 设点M的坐标为 1 m 在 MAC中 AC2 10 MC2 1 m 3 2 MA2 4 m2 如图3 当MA MC时 MA2 MC2 解方程4 m2 1 m 3 2 得m 1 此时点M的坐标为 1 1 如图4 当AM AC时 AM2 AC2 解方程4 m2 10 得 此时点M的坐标为 1 或 1 如图5 当CM CA时 CM2 CA2 解方程1 m 3 2 10 得m 0或6 当M 1 6 时 M A C三点共线 所以此时符合条件的点M的坐标为 1 0 已知 把Rt ABC和Rt DEF按如图甲摆放 点C与点E重合 点B C E F在同一条直线上 BAC DEF 90 ABC 45 BC 9cm DE 6cm EF 8cm 如图乙 DEF从图甲的位置出发 以1cm s的速度沿CB向 ABC匀速移动 在 DEF移动的同时 点P从 DEF的顶点F出发 以3cm s的速度沿FD向点D匀速移动 当点P移动到点D时 P点停止移动 DEF也随之停止移动 DE与AC相交于点Q 连接BQ PQ 设移动时间为t s 解答下列问题 1 设三角形BQE的面积为y cm2 求y与t之间的函数关系式 并写出自变量t的取值范围 2 当t为何值时 三角形DPQ为等腰三角形 图乙 解答方法 本题虽然是直角三角形的运动 但是我们应该注意转换到点的运动上来 特别是点Q和点P的运动 第一问找到三角形BQE的面积需要的底和高BE EQ 很显然BE可以用含t的代数式表示 在Rt CEQ中 通过 QCE的余切值可求出QE 用含t的代数式表示 第二问中 DP DQ用含t的代数式表示很简单 但是对于PQ来说不是很方便 所以可以在分类讨论中可以通过等腰三角形三线合一这一性质来解 在PD PQ与QP QD时可以作底边的高用 D的余弦值来求 图乙 解答方法 通过观察图像特点 我们能发现在BC所在的直线上有三个相等的角 于是我们可以利用这个基本图形找到相似三角形 ABE ECF 于是可以通过对应边成比例找到函数关系式 定义域需要注意主动点和被动点的位置条件 第二问可以看出 AEF三条边不是很好求 所以可以考虑角度 AEF B 我们发现在等腰梯形中 B的余弦值可以求出 所以 AEF的余弦值也可以求出 然后分别分类讨论时我们可以通过等腰三角形三线合一及 AEF的余弦值可以第一问中两个相似三角形的相似比 从而转换到AB EC 于是可以求解BE的长 如图11 在 ABC中 ACB 90 AC BC 2 M是边AC的中点 CH BM于H 1 试求sin MCH的值 2 求证 ABM CAH 3 若D是边AB上的点 且使 AHD为等腰三角形 请直接写出AD的长为 如图1 已知正方形OABC的边长为2 顶点A C分别在x y轴的正半轴上 M是BC的中点 P 0 m 是线段OC上一动点 C点除外 直线PM交AB的延长线于点D 当 APD是等腰三角形时 求m的值 图1 分享 开胃小菜 等边 ABC内有一点P若点P到顶点A B C的距离分别为3 4 5则 APB 正点大餐 1 已知一条直线 并且给定另一条平行线到这条直线的距离 求另一条平行线 已知一条直线和一个定点 求这个定点到直线的距离 已知一条直线和一个定点 求过这个定点且垂直于这条直线的直线解析式 2 给定一个二次函数 一条直线与之交于两点A B 在二次函数上求一个点C 使得 ABC的面积最大 那么面积为定值呢 3 给定一个二次函数 若点Q抛物线上 且 ACQ与 BCQ面积相等 求点Q的坐标 若是成比例 例如两个三角形面积比为2 3 又该如何去做 一 从边找关系1 把动点产生的三角形的三条边表示出来2 分类讨论 两两相等解方程3 根据题意检验结果 二 由角入手找