中国海洋大学线代试题2010-2011 1 A试题及答案.doc

中国海洋大学 2010年秋季学期 期末考试卷 数学科学学院 课程 线性代数 试题(A卷)优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共3页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，满分为：100 分.题号一二三四五六总分得分符号说明： 表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，是的元素的代数余子式.一、填空 （18分）1. 设为3阶矩阵，且，则 = .2.设是三个不同的数，则 .3. 设矩阵，若存在，使，则 .4.设是4阶矩阵，秩，则的基础解系含有几个解_.5. 均为4维列向量，已知， ，则 .6. 设是阶可逆矩阵，且的每行元素之和是，则的一个特征值为 ，对应的特征向量为 .二、选择题 （18分）1. 设为阶方阵，为方程的一个基础解系，则有（ ）。(A）； （B）也是方程的一个基础解系；（C）的列向量组的秩为； （D）若，则。授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数课题组院系负责人签字年 月 日 数学科学 学院 线性代数 课程试题(A卷) 共 3 页 第 2 页2.设是矩阵，是矩阵，则线性方程组 （ ）。（A）当时，仅有零解 （B）当 时，必有非零解（C）当 时，仅有零解 （D）当时，必有非零解3.设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。（A）， （B），（C）， （D）.4.设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立.现有四个命题：与合同 ； ； 若为正定矩阵，则也是正定矩阵；与有相同的特征值.以上命题正确的是（ ）。（A） ； （B）； （C）； （D） .5.设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）。（A），（B），（C），（D）；6.设为阶方阵，则（ ）。(A）若，则； （B）；（C）若，则； （D）. 数学科学 学院 线性代数 课程试题(A卷)优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共 3 页 第 3 页三、（30分）1. 设，为行列式中元素的代数余子式，求：.（4分）2. 设是的一组基，求到的过渡矩阵. （8分）3.设向量组 ，求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用它们线性表示。（8分）4.若阶方阵满足。（1）证明：的特征值是1或0；（2）证明：。（10分）四、设向量组为齐次线性方程组的基础解系，试证明向量组也是方程组的基础解系。（10分）五、（12分）设线性方程组与有公共解，求的值及所有公共解.六、(12分) 设二次型，利用正交变换法将二次型化为标准型，并写出正交矩阵.2010-2011年秋季学期线性代数考试试题A答案一、（18分）1.-27/16； 2. 3； 3.-3； 4. 3； 5. 24； 6. ，二、（18分）1.B； 2.D； 3.A； 4.D； 5.B； 6.C 三、1. =（4分）2.（8分）解：由（）=（）因为（）=（），（）=（）， =所以，3.（8分） 解：极大无关组为，；4.（10分）（1）由，得，求得特征值为0，1 （2）证：由，得，所以，又因为，故，四、（10分）证明：显然为齐次线性方程组的解。若，则。由已知线性无关，所以，解得，从而向量组也线性无关。得证。五、（12分）设线性方程组与有公共解，求的值及所有公共解.解：因为求方程组和方程的公共解，联立方程组的解 有增广矩阵当时，即或.当时，因此有公共解为，可