参考曲线生成

Chap5曲线的生成 5 1 规则曲线的生成 所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描述的曲线 例如 在平面直角坐标系内 如果一条曲线上的点都能满足符合某种条件 而满足该条件的点又均位于这条曲线上 那么我们就可以把这种对应关系写成一个确定的函数式 y f x 这个函数式就称为曲线的方程 同样 该曲线即为这个方程的曲线 5 1 1规则曲线绘制的基本原理 对曲线进行离散化处理 把它们分割成很多短的直线段 用这些短的直线段组成的折线来逼近曲线 至于这些短的直线段取多长 则取决于图形输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度 但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际所具有的精度 5 1 2规则曲线绘制的基本方法 1 函数y f x 曲线的生成 2 参数方程曲线的生成 绘制曲线y f x 时 应给出自变量x的取值范围x1和x2 并选取适当的x增量 x 计算出曲线上一系列相应的点的坐标 依次用直线连接即可画出曲线 绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算机绘制曲线时是很方便的 参数方程取如下形式 x f1 t y f2 t Goon 极坐标方程形式是r P 式中r为向径 为极角 因绘图时使用的是直角坐标系 因此在绘制极坐标方程曲线时 需先将点的极坐标 r 转换成直角坐标 x y 然后才能画出这个点曲线 坐标转换公式为 3 极坐标方程曲线的生成 参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列点的纵横坐标 从而画出曲线 x rcos y rsin 5 2自由曲线的生成 广义地讲 自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线 计算机中生成自由曲线的方法通常包括两类 插值的方法 要求生成的曲线通过每个数据点 即型值点 曲线插值方法有多项式插值 分段多项式插值和样条函数插值等 拟合的方法 要求生成的曲线靠近每个数据点 型值点 但不一定要求通过每个点 曲线拟合方法有最小二乘法 贝塞尔方法和B样条方法等 5 2 1曲线的表示要求 1 唯一性2 几何不变性3 易于定界4 统一性5 易于实现光滑连接6 几何直观 一 定义及其数学表示式1 定义给定空间n 1个点的位置矢量Pi i 0 1 2 n 则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是 5 2 2Bezier曲线 其中 Pi构成该Bezier曲线的特征多边形 Bi n t 是n次Bernstein基函数 2 一次Bezier曲线n 1 有两个控制点 则 说明 一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段 矩阵表示为 3 二次Bezier曲线 n 2 有三个控制点 则 说明 二次Bezier曲线为抛物线 4 三次Bezier曲线 n 3 三次多项式 有四个控制点 则 其中称为三次Bezier曲线的调和函数 这四条曲线均是三次曲线 形成Bezier曲线的一组基 任何三次Bezier曲线都是这四条曲线的线性组合 二 Bezier曲线的性质 1 端点及端点切线t 0 t 1 Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点 在起始点 t 0 B0 n 1 0 1 其余项均为0 故有 在终止点 t 1 Bn 1 n 1 1 1 其余项均为0 故有 对于三次Bezier曲线 n 3 所以Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致 2 对称性 Bezier曲线形状相同 走向相反 即假如保持n次Bezier曲线诸顶点的位置不变 而把次序颠倒过来 即下标为的的点 Pi 改为下标为n i的点 Pn i 则此时曲线仍不变 只不过曲线的走向相反而已 3 凸包性 Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包 包含所有顶点的最小凸多边形 之中 4 几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi i 0 1 n 的位置有关 它不依赖坐标系的选择 三 Bezier曲线的拼接 为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡 可以在连接点处要求各种连续性条件 1 C0连续 可以简单的表示曲线相连 即如果两个曲线段具有一个公共的端点 那么这两个曲线段是连续的 2 C1连续 如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数 3 二阶参数连续 记作C2连续 是指两个曲线段在相交点处有相同的一阶和二阶导数 这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段 三 Bezier曲线的拼接设有两条Bezier曲线Q1 t 和Q2 t 其控制顶点分别为 0 1 2 3及R0 R1 R2 R3如何把它们按照一定的连续条件连接起来 1 Q1 t 的终点P3和Q2 t 的始点R0重合 即达到C0连续 2 要使它们达到C1连续的充要条件是 P2 P3 R0 R1三点共线 且 P2 R1应在P3 R0的两侧 3 要使它们达到C2连续的充要条件是要在C1连续的前提下再增加两个条件 即 密切平面重合 副法线矢量同向 曲率相等 5 2 3B样条曲线的定义 1 B样条曲线的数学表达式 1 一般形式若给定N m n 1个顶点 m为最大段号 n为阶次 则第i段 i 0 1 m n次等距分割的B样条曲线函数可表示为 其中 基底函数 为定义第i段曲线特征多边形的n 1个顶点 2 三次 四阶 B样条曲线 由于n 3 所以l 0 1 2 3 此时所对应的基底函数分别为 则第i段 三次B样条曲线的矩阵形式可表示为 2 B样条曲线的性质 1 端点性质及连续性 2 局部性 每一段三次B样条曲线由4个控制点的位置向量来决定 改变一个控制点的位置 最多影响四个曲线段 3 扩展性 如果增加一个控制点 就相应地增加了一段B样条曲线 且原有B样条曲线不受影响 而且新增地曲线段与与原曲线地连接处具有一阶 二阶连续的特性 3 三次B样条曲线的边界条件