2018-2019学年苏州市实验中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省苏州市实验中学高一下学期5月月考数学试题一、单选题1直线（a为常数）的倾斜角为（ ）ABCD【答案】B【解析】将直线方程整理成斜截式，利用斜率与倾斜角的关系列方程求解。【详解】由得：，所以，故选B。【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，即（）。2在中，设内角的对边分别为，若，则的形状是( )A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等腰或直角三角形【答案】A【解析】分析：首先利用正弦定理，将题中的式子进行变形得到，应用正弦函数的差角公式得到，结合三角形内角的取值范围得到，从而进一步确定出三角形的形状.详解：根据题意，结合正弦定理可得，即，所以，结合三角形内角的取值范围，可得，所以是等腰三角形，故选A.点睛：该题考查的是有关三角形形状的判定问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数的差角公式，由三角函数值确定角的大小，最后应用两个角相等求得三角形的形状，得到结果.3中，角所对的边分别为若，则边（ ）A1B2C4D6【答案】C【解析】试题分析：，即，解得或（舍去）【考点】余弦定理，正弦定理4已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率由点斜式得直线，化简得，故选D【考点】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.5直线与平行，则的值等于( )A-1或3 B1或3 C-3 D-1【答案】D【解析】试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D【考点】直线方程与直线平行间的关系6已知圆，过点的直线，则（ ）A与相交B与相切C与相离D以上三个选项均有可能【答案】A【解析】试题分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交解：将圆的方程化为标准方程得：（x2）2+y2=4，圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d=12=r，点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交故选A【考点】直线与圆的位置关系7已知中，若仅有一解，则（ ）ABCD【答案】C【解析】若已知三角形的一边及该边的对角，且三角形形状唯一，求另一边，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，然后再进一步确定另一边的长度。【详解】由题中已知中，则角所对的高线长可表示为，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或， 所以 或 故选C.【点睛】本题考查三角形解的情况，解题的关键是找到临界值，属于简单题。8一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A或B或C或D或【答案】D【解析】点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出【详解】解：点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2），化为kxy2k30反射光线与圆（x+3）2+（y2）21相切，圆心（3，2）到直线的距离d1，化为24k2+50k+240，k，或k故选：D【点睛】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题9一个圆锥的侧面展开图是圆心角为240，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设母线长为，底面半径为，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值【详解】设母线长为，底面半径为，由，因此所求角的余弦值即为故答案为：B【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的知识、圆锥的母线与底面所成的角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆锥侧展图与直观图的关系.10为两个不同的平面，为两条不同的直线，下列说法中正确的个数为（ ）（1）若，中，则； （2）若，中，则；（3），则； （4）若，则A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】对（1）利用面面平行的性质；对（2），可能异面；对（3）利用线面垂直的性质可得正确；对（4）可能平行.【详解】对（1），利用面面平行的性质可得，故（1）正确；对（2），若，中，则或，异面，故（2）错误；对（3），又，故（3）正确；对（4），若，则也可能成立，故（4）错误；综上所述，正确的命题有2个.故选：B.【点睛】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.11直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是ABCD【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题12在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点若对任意的实数，直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为（ ）ABCD这样的直线不存在【答案】C【解析】根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值当直线的斜率不存在时，经过检验不符合条件当直线的斜率存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为定值求得的值，从而求得直线的方程【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆直线经过点，对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，不是定值当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即此时，圆心到直线的距离 为定值，与无关，故，故直线的方程为，即.故选：C.【点睛】本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角的大小为 .【答案】.【解析】试题分析：由已知，根据正弦定理得：，则,即,所以.故答案为.【考点】正弦定理.14已知点在直线上，则的最小值为_【答案】3【解析】由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.15在三棱锥中，、两两重直，则该三棱锥外接球表面积为_【答案】【解析】三棱锥的三条侧棱、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积【详解】三棱锥的三条侧棱、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球.设，长方体的对角线长为， ，球的直径是，球的半径为，球的表面积故答案为：【点睛】本题考查球的表面积、几何体的外接球，考查空间想象能力，棱锥的外接球就是长方体的外接球是解题关键16己知圆，直线，动点为上一点，圆存在一点，使得30，则点横坐标的取值范围是_【答案】【解析】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，切线为，则时，为，所以的长度为2，故可确定点的横坐标的取值范围【详解】由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为，则时，圆中，圆心，半径，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点的距离为2设，解得或，点的横坐标的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角三、解答题17在中，内角的对边分别为若，（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）2【解析】（1）利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系求出、，再分别代入两角和的正弦公式，即可得答案；（2）由正弦定理可得，求出的值，再代入面积公式.【详解】（1）由，可得，所以，又，所以因为且，所以所以（2）由正弦定理可得，所以所以的面积【点睛】本题考查正余弦定理的应用、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意的应用.18中，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】（1）设，则的中点在直线上，再由点在直线上，从而得到关于的方程，解方程即可得答案；（2）求出直线的斜率，再利用点斜式方程，即可得答案.【详解】（1）设，则的中点在直线上，即 又点在直线上，则 由可得，即点的坐标为（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上由题知得，即，所以直线的方程为，即【点睛】本题考查直线方程的求解，考查运算求解能力，求解时注意三角形中角平分线的性质，隐含着两条边关于角平分线对称.19已知点，圆是以的中点为圆心，为半径的圆.（1）若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线方程；（2）若是圆外一点，从向圆引切线，为切点，为坐标原点，求使最小的点的坐标.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得，所以圆的方程为.下面分两种情况讨论，第一种情况，若截距均为，即圆的切线过原点，则可设该切线为，利用圆心到直线的距离等于半径，可求得；第二种情况，若截距不为，可设切线为，同理利用圆心到直线的距离等于半径求得或.综上求得切线方程为，；（2）题意，所以，即，整理得.而时，取得最小值.此时点的坐标为.试题解析：（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得，圆的方程为（）若截距均为0，即圆的切线过原点，则可设该切线为，即，则有，解得此时切线方程为或.（）若截距不为0，可设切线为即，依题意，解得或3此时切线方程为或.综上：所求切线方程为，.（2），即，整理得而时，取得最小值.此时点的坐标为.【考点】直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程，二次函数求最值等知识.题目一开始给了圆的直径上的两个端点的坐标，利用这两个条件，先求圆心和半径，这样就求出了圆的方程.由于圆的切线在轴和轴上截距相等，截距相等有两种情况，一种是截距都为零，另一种是截距不为零，分成两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径来求得切线方程.第二问则是利用条件，先求出的表达式，这个表达式是根号下含有二次函数的形式，故可以用配方法或代入对称轴求得最小值.20如图，在三棱柱中，所有棱长都相等，且=60，为的中点，求证：（1）平面；（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连接和，交于，连接，利用三角形的中位线证明，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）取中点，连接，证明平面，即可得到答案.【详解】（1）连接和，交于，连接，、分别为，的中点，又平面，平面，平面（2）取中点，连接，60且所有棱长均相等，面，平面，又面，.【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直的证明，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意判定定理条件书写的完整性.21如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.【答案】（1） （2）开发区域的面积为【解析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式; (2) 令，化简，再根据三角函数有界性确定t范围，解得最小值，同时求出开发区域的面积.详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，所以 当时，单调递减当时，单调递增所以时，取得最小值.此时，的面积 答：开发区域的面积为（方法二）（1）在中，即所以在中， 所以 （2）令，则因为，所以，所以由 ，得记 因为在上单调递减，所以当时最小此时，即 ，所以的面积 答：开发区域的面积为点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征22已知圆：，一动直线l过与圆相交于.两点，是中点，l与直线m：相交于.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；（2）当时，求直线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 或（3）见解析【解析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与