第13章自适应滤波器要点.ppt

1 第13章自适应滤波器 13 1匹配滤波器13 7LMS自适应格型滤波器13 2连续时间的Wiener滤波器13 8自适应滤波器的算子理论13 3最优滤波理论与Wiener滤波器13 9LS自适应格型滤波器13 4Kalman滤波13 10自适应谱线增强器与陷波器13 5LMS类自适应算法13 11广义旁瓣对消器13 6RLS类自适应算法13 12盲自适应多用户检测 2 滤波器是一种以物理硬件或计算机软件形式 从含噪声的观测数据中抽取信号的装置 可以实现滤波 平滑 预测等信号处理的基本任务 信号的抽取应满足某种优化准则 连续时间的滤波器有两种最优设计准则 使滤波器的输出达到最大的信噪比 称为匹配滤波器 使滤波器输出的均方估计差为最小 称为Wiener滤波器 3 13 1 1匹配滤波器如图13 1为线性连续时间滤波器的结构图 图13 1为线性连续时间滤波器s t 为已知信号 n t 为零均值地的平稳噪声 y t 为接受或观测信号 y0 t 为滤波器输出信号 h t 为滤波器的冲激响应函数 目的就是设计滤波器的冲激响应函数h t 13 1匹配滤波器 4 滤波器在t T0时的输出信噪比为 由于 所以 设Pn 是n t 的功率谱密度 则输出噪声的功率谱密度Pn0 为所以噪声的平均功率 13 1 13 2 13 3 5 所以滤波器在t T0时的输出信噪比为 13 4 上式等号成立时的滤波器传递函数记为Hopt 且有 13 5 滤波器输出最大信噪比为 13 6 由 13 5 定义的滤波器为最优滤波器 Hopt 为最优滤波器的传递函数 6 1白噪声下的最优滤波 匹配滤波器 Pn 1所以 13 5 变为 13 7 从而有 即滤波器达到最大输出信噪比时 滤波器的幅频特性与信号的幅频特性相同 即匹配 这种滤波器称为匹配滤波器 冲激响应为 13 8 即匹配滤波器的冲激响应h0 t 是信号s t 的一镜像信号 7 2 有色噪声下的最优滤波器 广义匹配滤波器滤波器w t 传递函数为 13 9 有色噪声n t 作为滤波器w t 输入时 输出的功率谱密度为 13 10 滤波器w t 将有色噪声 白化 称为白化滤波器 13 5 变为 13 11 H0 为匹配滤波器 所以有色噪声下信噪比最大的滤波器Hopt 由白化滤波器W 和匹配滤波器H0 级联而成 故称为广义匹配滤波器 8 广义匹配滤波器工作原理图 图13 2广义匹配滤波器工作原理13 1 2匹配滤波器的性质性质1在所有线性滤波器中 匹配滤波器输出的信噪比最大 且 它与输入信号的波形以及加性噪声的分布无关 性质2匹配滤波器输出信号在t T0时刻的功率达到最大 性质3匹配滤波器输出信噪比达到最大的时刻T0应该选取等于原信号s t 的持续时间T 9 性质4匹配滤波器对波形相同而幅值不同的时延信号具有适应性 性质5匹配滤波器对频移信号不具适应性 13 1 3匹配滤波器的实现1 已知信号s t 的精确结构利用 13 8 直接确定匹配滤波器的冲激响应 从而实现匹配滤波器 2 只已知信号的功率谱 大多数情况 设信号x的功率谱为Px 一般为有理函数 即可写为 10 13 12 13 13 式中 zi pj分别为功率谱的零点和极点 由于功率谱是非负的实 偶函数 即 可见Px 的零极点是共轭成对出现 故可写为 谱分解 13 14 为了是匹配滤波器物理可实现取 13 15 物理可实现的白化滤波器取 13 16 11 在匹配滤波器中 必须已知并存储信号的精确结构或功率谱 积分区间必须与信号取非零值的区间同步 但是有时很难已知信号的精确结构或功率谱 信号在传输过程可能发生传播延迟 相位漂移或频率漂移 积分区间必须与信号区间同步也会导致误差 12 13 2连续时间的Wiener滤波器对观测数据y t s t n t 使用滤波器H 实现信号s t 的估计 13 17 考虑均方误差 13 18 最小 这就是最小均方误差 MMSE 准则 于是线性最优滤波器的冲激响应可表示为 13 19 13 假设s t 和加性噪声n t 均为平稳过程 并s t 和n t 使联合平稳的 即 则有 13 20 14 令可得最有滤波器的冲激响应hopt t 但优化过程比较复杂 我们令 13 21 则 13 22 令 得到 13 23 这一方程称为Wiener Hopf积分方程 15 上式两边取Fourier变换得 13 24 这种滤波器称为非因果Wiener滤波器 因为滤波器的冲激响应在 内取值 而非因果Wiener滤波器是物理上不可使现实的 任何一个非因果线性系统都可以看作是由物理可实现的因果部分和物理不可实现的反因果部分组成 因此可以从非因果Wiener滤波器中将因果部分分离出来 就可以得到物理可实现的Wiener滤波器 16 将Pyy 分解为 式中A yy 的零极点全部位于左半平面 而A yy 的零极点全部位于右半平面 并且位于 轴上的零极点对半给A yy 和A yy 然后可分解 13 25 13 26 式中B 的零极点全部位于左半平面 而B 的零极点全部位于右半平面 并且位于 轴上的零极点对半给B 和B 13 24 可写为 13 27 17 显然 只包含了左半平面的零极点 所以是物理可实现的 因果Wiener滤波器的设计算法 算法步骤1对Pyy 进行式 13 25 的谱分解 步骤2计算式 13 26 步骤3利用式 13 28 得到因果Wiener滤波器的 opt 13 28 18 13 3最优滤波理论与Wiener滤波器 13 3 1线性最优滤波器线性离散时间滤波器的最优设计问题可表达如下 设计一个离散时间滤波器的系数wk 使输出y n 在给定输入样本集合u 0 u 1 的情况下给出期望响应d n 的估计 并且使得估计误差e n d n y n 的均方值E e n 最小 13 3 2正交性原理离散时间滤波器的输出y n 是输入u n 与滤波器冲激响应wk卷积 13 29 19 对于复数输入数据 滤波器的抽头权系数wk也是复数 如抽头权系数有无穷多个 则滤波器为无限冲激响应 IIR 滤波器 令 13 30 梯度算子 13 31 13 32 于是 为了使J最小 则有 13 33 在这组条件下 滤波器在最小均方误差意义下是最优的 20 有上面式子可得到 令eopt n 表示滤波器工作在最优条件下的估计误差 则eopt n 满足 等价于 13 34 上式表明 代价函数J最小化的充分必要条件是估计误差eopt n 与输入u 0 u n 正交 这就是著名的 正交性原理 是线性最优滤波器理论中最重要的定理之一 也为衡量一滤波器是否工作在最优条件的检验方法提供了数学基础 还可以证明 13 35 yopy n 为滤波器在最小均方误差意义下的输出 21 13 3 3Wiener滤波器 由 13 34 可得到 13 36 Wopt i n 为最优滤波器冲激响应中的第i个系数 将上式展开得 13 37 其中 代入 13 37 得 13 38 这就是Wiener Hopf 差分 方程 它定义了最优滤波器系数必须服从的条件 22 求解Wiener Hopf 差分 方程可得最优滤波器的系数 从而完成最优滤波器设计 但对于IIR滤波器而言 求解Wiener Hopf方程是不现实的 因为需要求解无穷多个方程 FIR滤波器 横向滤波器 Z 1 u n u n 1 w 0 w 1 Z 1 w M 2 Z 1 u n M 2 u n M 1 w M 1 图13 3FIR滤波器 如图所示 滤波器冲激响应由M个抽头权系数w0 w1 wM 1定义 滤波器输出为 13 39 23 而Wiener Hopf方程则简化为M个齐次方程 输入与期望响应的互相关向量为 13 41 13 40 定义输入向量 则其自相关矩阵为 13 42 24 于是将Wiener Hopf方程写成矩阵形式 wopt为滤波器最优抽头权向量 13 45 13 44 13 43 由 13 43 得 满足这一关系的离散时间滤波器称为Wiener滤波器 它在最小均方误差的准则下是最优的 Wiener滤波器的两个主要结论 Wiener滤波器最优抽头权向量的计算需要已知以下统计量 1 输入向量的自相关矩阵 2 输入向量与期望响应的互相关函数 Wiener滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解 25 13 4Kalman滤波 13 4 1Kalman滤波问题 1 状态方程 13 46 式中 M 1向量x n 表示系统在离散时间n的状态向量 它是不可测的 M M的矩阵F n 1 n 为状态转移矩阵 描述系统从时间n的状态转移到n 1时间的状态 它是已知的 M 1向量v1 n 为噪声向量 描述状态转移中的加性噪声或误差 2 观测方程 13 47 式中 y n 表示系统在时间n的N 1观测向量 N M的矩阵C n 为观测矩阵 要求它是已知的 v2 n 为N 1的观测噪声向量 假设v1 n v2 n 均为零均值的白噪声 即 13 48 26 设v1 n 与v2 n 不相关 即 13 49 Kalman滤波问题可以表述为 利用观测数据向量y 1 y n 对n 1求状态向量x i 各个分量的最小二乘估计 进一步分为 1 滤波 i n 使用n时刻及以前时刻的测量数据 抽取n时刻的信息 2 平滑 1 in 使用n时刻及以前时刻的测量数据 预测n k时刻的信息 27 13 4 2新息过程考虑一步预测问题 给定y 1 y n 1 求观测向量y n 的最小二乘估计 记为 1 新息过程的性质y n 的信息过程定义为 性质1n时刻的新息与所有过去的观测数据y 1 y n 1 正交 即 13 50 13 51 13 52 性质2新息过程由彼此正交的随机向量组成 即有 28 性质3观测数据的随机向量序列与新息过程的随机向量序列一一对应 即 13 53 以上性质表明 n时刻的新息是一个与n时刻之前的观测数据不相关 并具有白噪声性质的随即过程 但它却提供有关y n 的新信息 这就是新息的内在物理含义 2 新息过程的计算 13 54 先计算状态向量的一步预测 再计算观测向量的一步预测 13 55 29 最后计算信息过程 13 56 定义状态向量的一步预测误差 13 57 则 13 58 新息过程的相关矩阵 13 59 式中Q2 n 是观测噪声的相关矩阵 而K n n 1 是一步预测状态误差的相关矩阵 13 60 30 1 状态向量的一步预测用新息过程序列的线性组合直接预测状态向量 13 61 13 4 3Kalman滤波器 根据正交性原理可得 13 62 所以 其中Kalman增益矩阵G n 13 63 13 64 13 63 表明n 1时刻的状态向量的一步预测分为非自适应 即确定 部分和自适应 即校正 部分 31 2Kalman增益计算可证明 13 65 3 Riccati方程容易证明 13 66 式中 13 67 13 66 称为Riccati差分方程 4 Kalman滤波算法 初始条件 13 68 输入观测向量 输入已知参数 F n 1 n C n Q1 n Q2 n 计算 n 1 2 3 32 Kalman滤波器是一种线性离散时间有限维系统 它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵的迹最小化 所以Kalman滤波器是状态向量的现行最小方差估计 13 69 33 13 5LMS类自适应算法自适应FIR滤波器 FIR滤波器的抽头权系数w0 w1 wM 1可以根据估计误差e n 的大小自动调节 使得某个代价 准则 函数最小 滤波器设计最小均方误差 MMSE 准则 使滤波器实际输出与期望输出的均方误差最小 Z 1 u n u n 1 w 0 w 1 Z 1 w M 2 Z 1 u n M 2 u n M 1 w M 1 图13 4自适应FIR滤波器 13 70 d n e n 均方误差 13 71 34 13 72 令并 定义梯度向量 13 73 以及输入向量和抽头向量 则 13 74 其中 35 下降算法 自适应算法 13 75 w n 为第n步迭代的权向量 n 为第n步迭代的更新步长 而v n 为第n步迭代的更新方向 向量 下降算法有两种主要实现方式 一种是自适应梯度算法 另一种是自适应高斯 牛顿算法 自适应梯度算法包括LMS算法及各种改进算法 自适应高斯 牛顿算法包括RLS算法及各种改进算法 13 5 1LMS算法及其基本变形 最常见的下降算法为梯度下降法 最陡下降法 更新的方向为代价函数的负梯度方向 即 将 13 74 代入得 13 76 36 上式表明 1 为误差向量 代表w n 每步的校正量 2 参数 n 决定更新算法的收敛速度 3 当自适应算法趋于收敛时 有当n 0 即有 即抽头权向量组成Wiener滤波器 如果 13 74 中数学期望项用各自的瞬时值代替则有 13 77 其中 式 13 77 就是著名的最小方均误差自适应算法 LMS算法 上面的e n n 都是滤波器在n时刻的估计误差 但e n 有w n 1 决定 称为先验估计误差 而 n 由w n 1 决定 称为后验估计误差 37 自适应算法及其基本变形步骤1初始化 w 0 步骤2更新 n 1 2 说明 1 若 n 常数 则称为基本LMS算法 2 若 其中 0 2 0 则为归一化的LMS算法 3 若 其中表示u n 的方差 可由递推计算 这里为遗忘因子 由确定 而M是滤波器的阶数 4 当期望信号未知时 步骤2中的d n 可用滤波器的是实际输出代替 38 13 5 2解相关LMS算法 在LMS中 有一个独立性假设 假设滤波器输入向量是彼此统计独立的向量序列 当它们之间不满足统计独立的条件时 基本LMS算法性能将下降 尤其是收敛速度会比较慢 因此解决各时刻输入向量的相关 解相关 使它们尽可能保持统计独立 1 时域解相关LMS算法定义u n 与u n 1 在n时刻的相关系数为 13 78 a n 1 则称u n 是u n 1 的相关信号 a n 0 则称u n 与u n 1 不相关 0 a n 1 则称u n 与u n 1 相关 并且a n 越大 相关性越大 显然 a n u n 1 代表u n 中与u n 1 相关的部分 若从u n 减出该部分 就解决了相关问题 令更新方向向量v n 步长应满足下列最小化问题 由此得 13 79 13 80 39 解相关LMS算法 步骤1初始化 w 0 步骤2更新 n 1 2 参数 称为修正因子 40 2 变换域解相关LMS算法 可以提高收敛速率 令S是一M M酉变换 即 13 81 13 82 通过酉变换 在变换域中实现了某种程度的解相关 用酉变换S对输入数据进行酉变换得到 相应的 13 83 这时 解相关LMS算法 步骤1初始化 步骤2给定一个酉变换S 更新 n 1 2 13 84 41 13 5 3学习速率参数的选择 步长 影响算法的收敛速率 又称为学习速率参数 基本LMS算法的收敛可分为均值收敛与均方收敛两种 1 均值收敛及收敛条件当基本LMS算法的收敛必须满足下列条件 称为均值收敛 等价于的值收敛为Wiener滤波器 均值收敛条件 其解为 为相关矩阵R的最大特征值 13 85 2 均方收敛及收敛条件 当基本LMS算法的收敛必须满足下列条件 42 称为均方收敛 均方收敛条件 学习参数 满足 13 86 由于 所以 表明 若学习参数 满足LMS算法均方收敛条件 必满足LMS算法均值收敛条件 即LMS算法是均方收敛 必是均值收敛 由于 所以 13 87 43 3 自适应学习速率参数 上面学习速率参数取一常数 但这可能导致收敛与稳定性能的矛盾 大的学习速率能提高滤波器收敛速度 但稳定性能就会降低 反之 为了提高稳定性能采用晓得学习速率 收敛变慢 为此采用时变的学习速率 1 最简单的时变学习速率为 13 88 2 先搜索 后收敛 时变学习速率为 13 89 当时 使用近似固定的学习速率 而当时 学习速率随时间衰减 并且衰减速度越来越快 44 13 90 3 先固定 后指数衰减 时变学习速率为 45 13 6RLS自适应算法 13 6 1RLS算法 利用递推最小二乘算法设计自适应横向滤波器 使得在已知n 1时刻横向滤波器抽头权系数的情况下 能够通过简单的更新 求出n时刻的滤波器抽头系数 RLS算法 加权最小二乘的代价函数 13 91 0 1为遗忘因子 其作用是对离n时刻越近的误差加以比较大的权重 而对离n时刻越远的误差加以比较小的权重 13 92 式中d i 可以用滤波器的实际输出代替 式中抽头向量是n时刻的w n 而不是i时刻的w i 这是因为 在自适应更新过程中 滤波器总是越来越好 这意味着 对于任意时刻i n而言 估计误差的绝对值总是比小 因此 有 i 构成的J n 总是比有e i 构成的小 故J n 比更合理 46 13 93 13 94 式中 13 95 由式 13 94 可看出 指数加权最小二乘问题的解w n 为Wiener滤波器 由得 13 96 递推估计公式 13 97 令P n R 1 n 其递推公式 13 98 式中k n 为增量向量 13 99 47 由上面的式子可证明 13 100 13 101 其中 为先验估计误差 RLS直接算法步骤1初始化 w 0 0 P 0 1I 其中 是一个很小的数 步骤2更新 n 1 2 的取值为 0 01 10 4 48 13 7LMS自适应格型滤波器LMS和RLS滤波器同属于横向自适应滤波器 并假定它们的阶数固定 然而在实际中 一横向滤波器的最优阶数往往是未知 这需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优阶数 但是 当改变横向滤波器阶数时 LMS或RLS算法必须重新运行 非常不方便和费时 怎样在增加滤波器阶数时 能利用低一阶滤波器的参数结果 格型滤波器提供了解决这一问题的有效途径 LMS自适应格型滤波器具有共轭对称的个性结构 前向反射系数是后向反射系数的共轭 其设计准则是均方 预测 误差为最小 49 13 7 1对称的格型结构 LMS自适应格型滤波器在每一级对前 后向分别采用反射系数r m和rm 如图13 5所示 fm n 和gm n 分别是第m级格型滤波器的前向和后向残差 x n f0 n f1 n f2 n fp 1 n fp n Z 1 r1 r 1 g0 n Z 1 r2 r 2 g1 n g2 n gp 1 n gp n Z 1 r p rp 图13 5LMS自适应格型滤波器 50 n时刻的前向和后向残差服从以下递推关系 13 102 其初始值为 13 103 由于rm建立了fm n 与gm 1 n 1 之间的关系 故rm也称为偏相关系数 定义Z变换 13 104 对 13 102 13 103 作Z变换得 前向滤波器传递函数 13 105 51 后向滤波器传递函数 13 106 由 13 104 可得前 后向滤波器传递函数的递推公式 13 107 于是得到 13 108 13 109 为了使前向滤波器是物理可实现的 前向传递函数必须是最小相位 52 多项式 即 13 109 的零点必须全部位于单位圆内 即 13 110 这是设计格型滤波器各级反射系数的递推公式必须遵守的条件 由于 13 111 只要前向滤波器系数am i 设计出了 就可确定后向滤波器的系数bm i 因此格型滤波器的设计归结为前向滤波器的设计 53 13 7 2格型滤波器设计准则 前向滤波器Am z 的残差能量Fm 13 112 由 13 105 13 108 得到 13 113 式中是滤波器输入信号x n 的相关函数 后滤波器Bm z 的残差能量Gm 13 114 54 三种等价的准则 1 使前向滤波器的残差能量Fm为最小 2 使后向滤波器的残差能量Gm为最小 3 使前 后向滤波器的平均残差能量1 2 Fm Gm 为最小 为了确定前向滤波器Am i 的系数 只要使前向滤波器的残差能量Fm为最小即可 令 13 115 得 13 116 理论上求解上式可得到m级前向滤波器的系数am 1 am m 代入 13 113 得 13 117 一般阶数m越大 前向残差Fm越小 55 格型滤波器的设计过程表述为 令m 1 2 并依次设计前向滤波器 当前向残差能量Fm不再明显减小时 最小的阶数m即为个性滤波器的最优阶数 问题是设计出的m级格型滤波器是否会影响m 1级格型滤波器的设计 即格型滤波器前后级之间是否存在耦合 如果存在 则第m级格型滤波器设计与第m 1级格型滤波器有关 否则 各级格型滤波器的设计可独立进行 可以证明 不同级滤波器的后向残差正交 即这意味格型滤波器前后级是解藕的 从而可以独立地设计每一级滤波器 13 118 56 13 7 3格型滤波器自适应算法 13 119 n时刻及以前时刻的总能量误差函数 定义w n 为滤波器在n时刻的权系数 前 后向残差能量 13 200 令得 13 201 且有 这一条件保证了m 1阶前向滤波器第m 1个系数在任何时刻n的值都能够满足的条件 从而使得前向滤波器是最小相位的 物理可实现的 57 引入符号 则 递推公式 13 202 13 203 13 204 LMS格型自适应滤波算法初始化 f0 n g0 n x n P0 n x n 2 r1 n 接近1 步骤1计算前 后向残差 58 步骤2求中间系数 步骤3计算反射系数 步骤4利用Burg递推计算 式中ai m n 表示m阶前向滤波器第i个系数在n时刻的值 Pm为m阶格型滤波器的残差能量 残差能量不再减小时的最小阶数为LMS格型滤波器的最优阶数 LMS格型滤波器的优点是收敛速率比LMS横向滤波器快得多 而且对数据的舍入不敏感 但计算量大 59 13 8自适应滤波器的算子理论 13 8 1滤波器算子的基本要求 将离散滤波器看作算子P 输入向量为且 通过P后 得到信号的估计 P 待滤波数据 信号的估计 滤波器的算子表示 滤波器算子的基本要求 1 为了保证信号通过滤波器后不致发生畸变 滤波器算子P必须是一线性算子 2 当滤波器输出再次通过滤波器时 估计信号不应发生任何变化 即必须得到满足 等价与 也就是P必须是幂等算子 60 3 滤波器算子应具有共轭对称性 其共轭转置等于本身 这时因为 当滤波器工作在最优条件时 估计误差x Px应该与期望响应的估计Px正交 即 13 205 或 故有 总结 滤波器算子必须是一个线性算子 并且具有幂等性和共轭对称性 61 13 8 2投影矩阵与正交投影矩阵定理1若M N 其中M N 矩阵U满列秩 则投影矩阵PU由 13 206 给出 投影矩阵PU具有以下性质 1 幂等性 2 对称性 若定义 13 207 矩阵P U具有以下性质 1 对称性 2 幂等性 3 与投影矩阵正交 由于矩阵P U与PU正交 故P U称为正交投影矩阵 由于投影矩阵和正交投影矩阵都满足滤波器算子的三个基本要求 所以它们都是滤波算子 62 13 8 3前 后向预测滤波器 引入时移向量 1 前向预测滤波器 考虑m阶前向预测滤波器 式中wfi n 表示n时刻的滤波器权向量 上式写成矩阵方程 13 208 定义数据矩阵 63 定义m级前向预测系数向量wfm n 和前向预测值向量为 13 209 13 210 则 13 208 写成 用x n 代替 并用最小二乘估计得 将 13 210 代入 13 209 得前向预测值为 13 211 其中表示数据矩阵的投影矩阵 定义前向预测误差向量 64 可证明 13 212 结论 前向预测向量和前向预测误差向量分别是数据向量x n 在数据矩阵X1 m n 所张成的子空间上的投影和正交投影 1 后向预测滤波器 式中wbi n 表示n时刻的滤波器权向量 上式写成矩阵方程 13 213 65 13 213 写为 定义数据矩阵 13 214 用x n 代替 并用最小二乘估计得 13 215 将 13 215 代入 13 214 得后向预测值为 13 216 66 定义后向预测误差向量 可证明 13 217 结论 后向预测向量和后向预测误差向量分别是数据向量z mx n 在数据矩阵X0 m 1 n 所张成的子空间上的投影和正交投影 其中表示数据矩阵的投影矩阵 67 13 8 4投影矩阵和正交投影矩阵的更新 假设目前数据空间为 U 取X1 m n 或 0 m 1 n 对应投影矩阵是PU 正交投影矩阵是P U 有了一个新数据向量u加入到 U 中 数据空间从 U 扩大为 U u 这时应找与新子空间对应的对应投影矩阵是PU u 正交投影矩阵是P U u 13 218 投影矩阵PU u分成两部分 一部分为已知部分PU 另一部分为自适应更新部分Pw 要求这两部分彼此正交 即 13 219 可证明数据向量u在数据矩阵U上的正交投影w为 13 220 68 易求得 或 13 221 于是 13 222 上式为投影矩阵和正交投影矩阵的更新公式 一般向量和的更新公式 13 223 13 224 69 LS自适应格型滤波器前反射系数Kfm 1和Kbm是不相同 如图13 6所示 fm n 和gm n 分别是第m级格型滤波器的前向和后向残差 x n ef0 n ef1 n ef2 n efp 1 n efp n Z 1 Kb1 Kf1 eb0 n Z 1 Kb2 Kf2 eb1 n eb2 n ebp 1 n ebp n Z 1 Kfp Kbp 图13 6LS自适应格型滤波器 13 9LS自适应格型滤波器 70 由图可写出前 后向预测误差方程 13 225 上式表明 1 第m 1级滤波器在n时刻的前 或后 向预测误差不仅与前一级n时刻的前向预测误差有关 而且还决定于前一级n 1时刻的后向预测误差 即LS格型滤波器存在前 后级之间的耦合 2 LS格型滤波器设计的关键就是推导前 后向反射系数的递推公式 即使用前级滤波器的有关参数递推出本级的前 后向反射系数 3 LS格型滤波器既含有阶数递推 本级参数与前级参数有关 又包含了时间递推 本时间的滤波器参数与前一时刻的参数有关 定义 71 定义偏相关系数 可证明 定义角度参数 13 226 72 LS格型自适应滤波器算法 初始化 对n 1 2 计算 对m 0 1 M 1 计算 73 13 10自适应谱线增强器与陷波器 13 10 1谱线增强器与陷波器的传递函数 考虑观测信号 当x n 通过滤波器后 输出只含有p个正弦波信号s n 而没有其他任何信号和噪声 由于p个正弦波信号的功率谱为p条离散的谱线 故这种只抽取正弦波信号的滤波器叫谱线增强器 传递函数 13 227 若滤波器的传递函数则滤波器将抑制p个正弦波信号 并让噪声通过 称为陷波器 13 228 74 自适应谱线增强器或陷波器是一种自适应滤波器 自适应谱线增强器可由自适应陷波器实现 如图13 7所示 陷波器H z 自适应算法 图13 7用自适应陷波器构成自适应谱线增强器 利用陷波器构造自适应谱线增强器简称为陷波型自适应谱线增强器 为了增加一个正弦波信号 陷波器传递函数为 75 13 10 2基于IIR格型滤波器的自适应陷波器格型IIR滤波器结构如图13 8所示 由两个格型滤波器级联而成 上方格型滤波器H1 z 的输入为x n 输出为s0 n 而下方格型滤波器H2 z 的输入为s0 n 输出为s2 n 图13 8格型IIR滤波器 a1 z 1 a1 a0 a0 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 k0 k0 k1 k1 x n s0 n s0 n r0 n s1 n s2 n r1 n r2 n 输入 输出方程为 76 整个格型滤波器的传递函数 13 229 可见 上方格型滤波器贡献为整个格型滤波器的极点部分 相当于AR模型 而下方格型滤波器贡献为整个格型滤波器的零点部分 它是一个格型FIR滤波器 因此整个格型滤波器具有无限多个冲激响应 为IIR格型滤波器 13 230 易求得两个格型滤波器的传递函数 13 231 77 由于 13 231 必须满足陷波器的条件 故有 13 232 由上式得 13 233 由于 接近于1 因此 13 234 为了保证滤波器稳定 H1 z 的极点必须位于单位园内 即和都必须小于1 因此和也必须小于1 运用格型滤波器的自适应算法进行自适应调节 m 0 1 0 1 而sm和rm分别是下方格型滤波器第m级的前向和后向残差 78 13 11广义旁瓣对消器 令c0是一期望信源s0 t 特征的向