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高中数学必修一 用二分法求方程的近似解 2008 10 22 例1 不解方程 求方程X2 2X 1 0的一个正近似解 分析 设先画出函数图象的简图 如何进一步有效缩小根所在的区间 第一步 得到初始区间 2 3 第二步 取2与3的平均数2 5 第三步 再取2与2 5的平均数2 25 如此继续取下去 若要求结果精确到0 1 则何时停止操作 问题引入 f 2 02 x1 3 f 2 02 x1 2 5 f 2 25 02 25 x1 2 5 f 2 375 02 375 x1 2 5 f 2 375 02 375 x1 2 4375 2 375与2 4375精确到0 1的近似值都为2 4 此方程的近似解为 若要求结果精确到0 01 则何时停止操作 二分法 bisectionmethod 理论建构 对于区间 a b 上连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考 运用二分法的前提是什么 确定根所在的区间 例2 利用计算器 求方程lgx 3 x的近似解 精确到0 1 怎样找到它的根所在的区间呢 数学运用 画板展示 解 画出y lgx及y 3 x的图象 观察图象得 方程lgx 3 x有唯一解 且这个解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 因为2 5625 2 625精确到0 1的近似值都为2 6 所以原方程的近似解为x1 2 6 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 5625 2 625 f 2 5625 0 2 3 归纳总结 用二分法求方程f x 0 或g x h x 近似解的基本步骤 1 寻找解所在区间 先画出y f x 图象 观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围 或画出y g x 和y h x 的图象 观察两图象的交点横坐标的范围 由 2 不断二分解所在的区间 若 3 若 对 1 2 两种情形再继续二分解所在的区间 1 若 2 若 则 由 则 则 3 根据精确要求得出近似解 即直到区间的两个端点的近似值相同 这个近似值即为所求 课堂练习 用二分法求方程x3 3x 1 0的近似解 精确到0 1 解 设f x x3 3x 1方程满足条件的解为x1 0 3125和0 34375精确到0 1的近似值都是0 3 所以原方程的近似解为x1 0 3 1 明确二分法是求一元方程近似解的通法 课堂小结 2 掌握二分法求方程的近似解的步骤 3 二分法充分体现了数学中的函数与方程 数形结合以及无限逼近的思想 课后拓展 1 查阅相关资料 2 为什么要求方程的近似解
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