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本文档系作者精心整理编辑，实用价值高。 半鞅最大不等式和强大数定律（4号黑体加粗.居中）(5号 空一行) Tasos C.Christofides（Times New Roman5号，居中）(5号 空一行)摘要：Newman和Wright(Z.Wahrsch.Verw.Geb.59(1982)361371)首次将Chow最大不等式从（局部）鞅的情况推广到半（局部）鞅的情况。这个结论可以作为证明其他不等式如Hajek-Renyi不等式和Doob最大不等式的“资源”的不等式，并且由此得出了强大数定律。数学期望值为零的联合随机变量的部分和是半鞅。因此，最大不等式和强大数定律在情况被运用联合随机变量中有特殊的运用。关键词：半鞅;联合随机变量1.前言定义1.1 设，是上的随机变量数列。假设当时，有 （1.1）对于所有并列方式且单调不减的函数它们的数学期望是可以定义的。于是，称数列为半鞅。在此基础上，如果函数是非负的，那么数列称为半局部鞅。备注：如果函数不要求是单调不减的那么满足（1.1）的条件与是满足是数域上的鞅的条件是等价的。类似地，如果假定是非负的且不一定是单调不减的，那么满足（1.1）的条件与满足是局部鞅的条件是等价的。定义1.1应归功于Newman和Wright(1982)。在以前的备注中指出过半鞅和鞅之间的联系，该联系提出了这样的一个问题：某些结论尤其是最大不等式在鞅中是有效的，那么在半鞅中是否仍然有效。Newman和Wright（1982）已经推广了变量的结论，结论中包括将Doob最大不等式和Doob递增不等式推广到半鞅的情况。与半鞅的概念相应的是绝对依赖的概念。最后，我们得到下面的定义。定义1.2 有限个随机变量是联合变量如果 对于在上任意两个并列方式且单调不减函数，而言，协方差被定义。如果每个有限子集是联合的，那么由这些有限子集组成的无限集是联合的。联合随机变量是Esary et al.于1967年引入的，现在已经发现它们有广泛的应用，尤其是在可靠性理论中。许多作者已经研究过这个概念，而且提供了有趣的结论和一些应用。例如，Newman（1984）,Cox 和Grimmett（1984）,Birkel（1988）,Birkel（1989）,Roussas（1993）,Peligrad和Suresh（1995）和Matula（1998）。Newman和Wright（1982）的命题2表明数学期望值为零的联合随机变量的部分和满足（1.1），也就是说，它是半鞅。Chow（1960）证明了局部鞅最大不等式该不等式包括Hajek-Renyi不等式和其他的不等式等特殊情况。在第二节中，我们知道Chow不等式能够从局部鞅的情况推广到半（局部）鞅的情况。结果，我们得到了半（局部）鞅的强大数定律和联合随机变量的强大数定律作为一个特殊的情况。2.半局部鞅不等式本节的定理2.1表明Chow最大不等式是在更一般形式的半局部鞅中也是正确的。定理提供的不等式在本节中将作为一个“资源”不等式来得到其他的结论，包括半局部鞅的Hajek-Renyi不等式，联合随机变量的Hajek-Renyi不等式，半局部鞅的Doob最大不等式以及联合随机变量的强大数定律。定理2.1 设，是半局部鞅且=0。设是一个由正数组成且单调不增数列。那么当0时， 在这里证明：紧接着一个标准的论证。设A=，那么A能够写成A=，其中=，并且是不相交的。因此， （2.1） （2.2） （2.3）在这里（2.3）可以根据=得出，因为。（2.3）的右边可以写成+（）+（2.4）设。那么是一个单调不减的函数。根据函数的凸性，我们有 因此， (2.5)因为是中的一个非负的单调不减函数。根据半局部鞅的性质，（2.5）的右边是非负的。因此，（2.4）的右边以为界。根据数列的单调不增性,有 （2.6）在这里根据当，有可以知道，（2.6）的右边可以写成 （2.7）再根据函数凸性，有 （2.8）因为是，中的一个非负且单调不减的函数，根据半局部鞅的性质，（2.8）的右边是非负的，因此（2.7）中的数值大小以为界。用这种方式我们可以证明出 引理2.1 设，是半局部鞅（或半鞅）且是单调不减的凸函数。那么，是半局部鞅。证明：我们需要说明对于每个非负的且单调不减的函数均成立。定义，在这里是一个单调不减的函数。根据函数的凸性有 （2.9）因为是非负的，根据（2.9）有（2.10）定义函数：（）=那么是单调不减且是非负的。因为，是半局部鞅，于是（2.10）的右边大于或者等于零。我们可以把下面的结论当作引理2.1的应用。推论2.1 如果，是半局部鞅，那么，是半局部鞅，而且， 也是半局部鞅。证明：显然，函数=是单调不减的且是凸函数。从以前的定理中可以知道，是半局部鞅。现在设，正如Newman和Wright(1982)所指出的那样的那样，也是半鞅。那么根据引理2.1有，是半局部鞅。然而，因此，是半局部鞅。备注：观察。通常，这个观察在证明渐近的结论中是有用的，例如在下面的定理的证明中将要用到这个观察结果。定理2.2 设是，半鞅且是一个由正数组成的单调不减数列。于是有。设且对每一个都有。假设 （2.11）那么有证明：设。利用以前备注中的观察结果。我们有 （2.12）从定理2.1中，因为，和，是半局部鞅，所以我们有（2.12）的右边以 为界。根据Kronecker引理和（2.11）我们可以得到，因此，根据（2.12）我们有=，也就是，。正如第一节中所指出的那样，期望值为零的联合随机变量的部分和是半鞅。因此，我们根据下面的结论可以得出，对于联合随机变量的Kolmogorov强大数定律。推论2.2 设是上的期望值为零的联合随机变量且，其中。假设，那么。证明：因为是联合变量，那么是半鞅。根据以前的定理当且时有当 （2.13）时且 因此，（2.13）与是等价的。备注：以前的推论与Birkel定理2（1989）是相同的。注意到，因为独立随机变量是联合的，所以推论2.2包含独立随机变量的Kolmogorov经典强大数定律。推论2.3 （联合随机变量的Hajek-Renyi不等式）设是期望值为零的联合随机变量且是由正数组成的单调不增数列。设且那么证明：我们有= (2.14) 从定理2.1中可知，（2.14）的右边以为界。显然，在独立随机变量的情况下，不等式的界减少到以经典Hajek-Renyi不等式的平方为界。推论 2.4（Doob不等式）设 是半局部鞅，那么证明：在定理2.1的证明中，在（2.1）中我们分离半局部鞅和半局部鞅，因为在（2.2）中我们需要将限制在内 。因为是非负的且，所以这是正确的。然而，如果所有的是平等的，那么这样限制是没有必要的。因此，我们能够将它们等同于原始的半局部鞅。于是，在这种情况下，我们有推论2.4不是一个新的结论因为它只是Newman和Wright（1982）定理3的一种特殊情况。然而，在这里考虑到完备性而引见了这个结论，因为该结论可以从定理2.1的证明中得到。外文著录Tasos C.Christofides，Maximalinequalities for demimartingales and a strong law of large numbers，Statistics&Probability Letters，2000，50，357363按照：