傅立叶变换的推导(原文档排版有问题-此为经重新修正版本).ppt

第二章确定信号分析 第一节确定信号的傅里叶变化及其推导第二节典型信号的傅里叶变换第三节傅里叶变换的性质第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理 QH2 0 2 第一节确定信号的傅里叶变换及其推导 1 傅里叶变换的基本结论2 三角形式的傅里叶级数的推导3 三角形式的傅里叶级数的分析4 指数形式的傅里叶级数的推导5 指数形式的傅里叶级数的分析6 傅里叶变换的推导7 傅里叶变换的分析 QH2 1 1 1 三角形式的傅里叶级数 2 复数形式的傅里叶级数 3 傅里叶变换 1 傅里叶变换的基本结论 QH2 1 2 式2 1 1根据三角函数的正交性 对式2 1 1两边积分 得 2 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2 1 3 对式2 1 1两边同乘再在积分 得 2 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2 1 4 同理 对式2 1 1两边同乘再在积分 得 2 三角形式的傅里叶级数的推导 QH2 1 5 由此可得三角形式的傅里叶级数 其中 2 三角形式的傅里叶级数的推导 式2 1 2 式2 1 3 式2 1 4 QH2 1 6 1 奇偶性为偶函数为奇函数 3 三角形式的傅里叶级数的分析 QH2 1 7 2 同频合并 其中 被称为频率谱 被称为相位谱 3 三角形式的傅里叶级数的分析 QH2 1 8 令 则 奇偶性 令 则得 4 指数形式的傅里叶级数的推导 QH2 1 9 4 指数形式的傅里叶级数的推导 QH2 1 10 1 指数形式的傅里叶级数对式2 1 5式2 1 6 2 思考 其中的2到哪去了 5 指数形式的傅里叶级数的分析 QH2 1 11 3 其中频率谱相位谱 4 当为偶函数时 则为实函数 当为奇函数时 则为纯虚函数 5 指数形式的傅里叶级数的分析 QH2 1 12 由上一节的推导可知 两边同乘T 得 其中当时 令 得则 6 傅里叶变换的推导 QH2 1 13 且 6 傅里叶变换的推导 QH2 1 14 1 傅里叶变换对 式2 1 7式2 1 8规律 正变换为负 反变换为正 2 傅里叶变换的基本条件 无限区间绝对可积 7 傅里叶变换的分析 QH2 1 15 第二节典型信号的傅里叶变换 1 冲击函数2 冲击偶函数3 单边指数信号4 双边指数信号5 符号函数6 指数函数7 余弦函数8 矩形窗函数 QH2 2 1 1 冲击函数 思考 0频率与冲击的区别 QH2 2 2 2 冲击偶函数 QH2 2 3 3 单边指数信号 QH2 2 4 4 双边指数信号 QH2 2 5 可以看成是 5 符号函数 QH2 2 6 6 指数函数 QH2 2 7 7 余弦函数 QH2 2 8 8 矩形窗函数 QH2 2 9 第三节傅里叶变换的性质 1 对称性2 尺度变换3 时移特性4 频移特性5 奇偶虚实性6 傅里叶变换综合例题 QH2 3 1 1 对称性 若则推导 互换和 得 也即 QH2 3 2 2 尺度变换 若 则推导 令则 QH2 3 3 3 时移特性 若 则推导 令则 QH2 3 4 4 频移特性 若 则推导 令则 QH2 3 5 5 奇偶虚实性 若 则 1 2 3 推导 1 QH2 3 6 5 奇偶虚实性 2 3 由 1 2 即可得 QH2 3 7 6 傅里叶变换综合练习题 1 2 3 4 5 6 QH2 3 8 6 傅里叶变换综合练习题 1 QH2 3 9 6 傅里叶变换综合练习题 2 QH2 3 10 6 傅里叶变换综合练习题 3 QH2 3 11 6 傅里叶变换综合练习题 4 QH2 3 12 6 傅里叶变换综合练习题 5 QH2 3 13 特别地 当时 6 傅里叶变换综合练习题 6 QH2 3 14 第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理 1 周期信号的傅里叶变换2 抽样3 对抽样的理解4 低通抽样定理5 带通抽样定理 QH2 4 1 1 周期信号的傅里叶变换 设为周期信号 周期为T 则可以展成傅里叶级数 式2 4 1对式2 4 1两边进行傅里叶变换可得 式2 4 2其中为数值 由傅里叶变换的知识 式2 4 2变为 QH2 4 2 1 周期信号的傅里叶变换 其中为的傅里叶级数的系数 即 式2 4 3现在构造函数为在的一段 其他部分为0 则的傅里叶变换为 式2 4 4对照式2 4 3与式2 4 4可知 QH2 4 3 1 周期信号的傅里叶变换 特例 当周期信号为冲击序列时 周期冲击序列的傅里叶变换为 QH2 4 4 1 周期信号的傅里叶变换 周期信号傅里叶变换的另一种推导方法 QH2 4 5 1 抽样的概念理解 2 设连续信号的傅里叶变换为 抽样序列的傅里叶变换为 抽样之后所得序列 其傅里叶变换为 3 抽样序列为周期信号 其中用到了函数的卷积性质 2 抽样 QH2 4 6 3 对抽样的理解 这是在影响下 在频域的平移 平移的周期是 QH2 4 7 3 对抽样的理解 1 若是理想冲击序列 则其傅里叶变换为 由周期信号傅里叶变换的性质 也即抽样后的频谱为原信号的搬移 幅度仅变化为以前的 也即一种无失真的抽样 理想抽样 QH2 4 8 3 对抽样的理解 2 若抽样序列不是冲击序列 则抽样之后的频谱将会出现失真 也即将的包络叠加于之上 自然抽样 QH2 4 9 3 对抽样的理解 3 平顶抽样 4 直观理解明明抽样了 为什么还会无失真呢 QH2 4 10 4 低通抽样定理 通过上面的分析 设的最高频率为 抽样间隔为T 则抽样频率 若 则可以从抽样信号中将原始信号恢复出来 所以信号无失真抽样的最低频率为 这就是抽样定理 QH2 4 11 5 带通抽