高中数学第二章推理与证明章末复习课课件新人教A版

问题导学 题型探究 第二章推理与证明 章末复习课 知识点一合情推理 问题导学新知探究点点落实 答案 1 归纳推理 由到 由到的推理 2 类比推理 由到的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 1 演绎推理 由到的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 答案 知识点二演绎推理 一般 特殊 大前提 小前提 结论 知识点三直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是和 是从已知条件推出结论的证明方法 是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 知识点四数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 是证n 时结论成立 第二步 归纳递推 是假设n 时结论成立 推得n 时结论也成立 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 n0 k k 1 答案 返回 题型探究重点难点个个击破 类型一合情推理的应用 解析答案 例1 1 有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 试观察每组内各数之和f n n N 与组的编号数n的关系式为 解析由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 f n n3 2 在平面几何中 对于Rt ABC AC BC 设AB c AC b BC a 则 a2 b2 c2 cos2A cos2B 1 Rt ABC的外接圆半径为r 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论 试对其中一个猜想进行证明 解析答案 反思与感悟 设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a b c 则这个四面体的外接球的半径为R 解 1 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1 S2 S3 底面面积为S 则 解析答案 反思与感悟 2 下面对 的猜想进行证明 如图在四面体A BCD中 AB AC AD两两垂直 面ABC 面ABD 面ACD为三个两两垂直的侧面 设AB a AC b AD c 解析答案 反思与感悟 即所证猜想为真命题 反思与感悟 1 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容 通过观察给定的规律 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法 2 类比推理重在考查观察和比较的能力 题目一般情况下较为新颖 也有一定的探索性 反思与感悟 跟踪训练1 1 观察下列图形中小正方形的个数 则第n个图形中有 个小正方形 解析答案 解析第1个图有3个正方形记作a1 第2个图有3 3个正方形记作a2 第3个图有6 4个正方形记作a3 第4个图有10 5个正方形记作a4 正方形的个数构成数列 an 则a2 a1 3 1 a3 a2 4 2 解析答案 a4 a3 5 3 an an 1 3 n 1 1 2 n 1 得an a1 3 4 5 n 1 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比数列 解析等差数列类比于等比数列时 和类比于积 减法类比于除法 可得类比结论为 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比数列 解析答案 类型二综合法与分析法 解析答案 例2设a 0 b 0 a b 1 求证 8 试用综合法和分析法分别证明 反思与感悟 证明方法一 综合法 因为a 0 b 0 a b 1 方法二 分析法 因为a 0 b 0 a b 1 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条件清晰 易于表述 因此对于难题常把二者交互运用 互补优缺 形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 反思与感悟 解析答案 证明 sin 2 2cos sin sin 2cos sin sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin 两边同除以sin 得 类型三反证法 解析答案 反思与感悟 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知x y 2矛盾 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题时 也常用反证法 反思与感悟 跟踪训练3已知 ac 2 b d 求证 方程x2 ax b 0与方程x2 cx d 0中至少有一个方程有实数根 解析答案 证明假设两方程都没有实数根 则 1 a2 4b2ac 即ac 2 b d 与已知矛盾 故原命题成立 类型四数学归纳法 解析答案 例4用数学归纳法证明当n N 时 1 n 2 n 1 3 n 2 n 2 3 n 1 2 n 1 n n 1 n 2 反思与感悟 2 假设n k时结论成立 1 k 2 k 1 k 1 2 k 1 1 2 3 k k 1 当n k 1时 则1 k 1 2 k 3 k 1 k 1 3 k 2 k 1 1 即当n k 1时结论也成立 综合上述 可知结论对一切n N 都成立 反思与感悟 1 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型 其关键点在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始n0是多少 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要利用n k时的式子 即利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 反思与感悟 1 写出a2 a3 a4 解析答案 2 求数列 an 的通项公式 解析答案 下面用数学归纳法证明 那么当n k 1时 即当n k 1时猜想也成立 解析答案 1 归纳和类比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整体的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推测未知 都能用于猜想 推理的结论不一定为真 有待进一步证明 2 演绎推理与合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是数学中证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 另一方面 合情推理与演绎推理又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 规律与方法 3 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 直接证明的两类基本方法是综合法和分析法 综合法是从已知条件推导出结论的证明方法 分析法是由结论追溯到条件的证明方法 在解决数学问题时 常把它们结合起来使用 间接证法的一种方法是反证法 反证法是从结论反面成立出发 推出矛