高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件

2 3数学归纳法 1 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单命题 2 理解数学归纳法两个步骤的作用 进一步规范书写的语言结构 数学归纳法一个与自然数相关的命题 如果 1 当n取第一个值n0时命题成立 2 在假设当n k k N 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时命题也成立 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 名师点拨数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法 它是一种完全归纳法 是对不完全归纳法的完善 证明分两步 其中第一步是命题成立的基础 称为 归纳奠基 第二步解决的是延续性问题 又称 归纳递推 运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点 1 两个步骤缺一不可 2 在第一步中 n的初始值不一定从1取起 也不一定只取一个数 有时需取n n0 n0 1等 证明应视具体情况而定 3 在第二步中 证明n k 1时命题成立 必须使用归纳假设 否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系 造成推理无效 4 证明n k 1时命题成立 要明确求证的目标形式 一般要凑出归纳假设里给出的形式 以便使用归纳假设 然后再去凑出当n k 1时的结论 这样就能有效减少论证的盲目性 故当n k 1时 不等式成立 上述证法 A 过程全部正确B n 1时验证不正确C 归纳假设不正确D 从n k到n k 1的推理不正确 解析 因为从n k到n k 1的证明过程中没有用到归纳假设 所以从n k到n k 1的推理不正确 答案 D 1 2 1 利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项 剖析 1 用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步 即n k 1时命题为什么成立 n k 1时命题成立是利用假设n k时命题成立 根据有关的定理 定义 公式 性质等数学结论推证出来的 而不是直接代入 否则n k 1时命题成立也成假设了 命题并没有得到证明 2 用数学归纳法可证明有关的正整数问题 但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明 学习时要具体问题具体分析 1 2 2 运用数学归纳法时易犯的错误有哪些 剖析 1 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化被弄错 2 没有利用归纳假设 归纳假设是必须要用的 假设是起桥梁作用的 桥梁断了就通不过去了 3 关键步骤含糊不清 假设n k时结论成立 利用此假设证明n k 1时结论也成立 是数学归纳法的关键一步 也是证明问题中最重要的环节 要把推导的过程和步骤写完整 注意证明过程的严谨性 规范性 题型一 题型二 题型三 题型四 用数学归纳法证明恒等式 分析 左边式子的特点为 各项分母依次为1 2 3 2n 右边式子的特点为 分母由n 1开始 依次增大1 一直到2n 共n项 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 用数学归纳法证明不等式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思应用数学归纳法证明不等式时 往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设 再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n k 1时命题成立 题型一 题型二 题型三 题型四 归纳 猜想 证明 例题3 某数列的第一项为1 并且对所有的自然数n 2 数列的前n项之积为n2 1 写出这个数列的前五项 2 写出这个数列的通项公式并加以证明 分析 根据数列前五项写出这个数列的通项公式 要注意观察数列中各项与其序号变化的关系 归纳出构成数列的规律 同时还要特别注意第一项与其他各项的差异 必要时可分段表示 证明这个数列的通项公式可用数学归纳法 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思先计算出一个数列的前几项 用不完全归纳法猜想得到通项公式 再用数学归纳法给予证明 这是解数列问题的常见思路 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可 且在证明由n k到n k 1命题成立时必须用上归纳假设 否则证明过程就是错误的 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 1用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 从 n k到n k 1 左端需增乘的代数式为 A 2k 1B 2 2k 1 解析 n k时 左边 k 1 k 2 k k 而n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k k 2k 1 答案 B 1 2 3 4 5 2平面内原有k条直线 它们的交点个数记为f k 则增加一条直线后 它们的交点个数最多为 A f k kB f k 1C f k k 1D kf k 解析 第 k 1 条直线与原来的k条直线相交 最多有k个交点