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球类问题赏析http:/www.DearEDU.com梁克强 球类问题，画起图来麻烦，分析思考就更困难了，但球类问题却是高中数学的重点内容之一，高考中年年都考。下面例谈如何突破难关，解决球类问题。一. 多球相切 例1. 将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ） A. B. C. D. 分析：设正四面体为A1B1C1D1，它的高有最小值时，四球两两外切，并且同时内切于正四面体，两球外切时，球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和。四球心连线构成的正四面体ABCD（如图1）与正四面体A1B1C1D1相似，过高AH及棱AB作的一个截面（如图2），包含其主要元素。图1图2 由正四面体ABCD的棱长AB2，求得 利用，得A1A3AF13，而HH11 正四面体A1B1C1D1的高A1H1的最小值 故选C 点评：解决多球相切的问题，常用的方法有两种：连球心，转化为多面体问题；找截面，化为平面几何问题。二. 球与多面体相接 例2. 如图3，已知正三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形， （1）证明平面PAB （2）求二面角PABC的平面角的余弦值。 （3）若点P、A、B、C在一个表面积为的球面上，求ABC的边长。 分析：（1）利用，即可证明结论。 （2）是二面角PABC的平面角， （3）由（1）（2）可证PABC是正三棱锥，。如图3，把它的高PK延长交球面于另一点D，则PD是球的直径。图3 设PAx，球的半径为R，则， 在中，由，得 得x2 ABC的边长为三. 球面距离 例3. 如图4，已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 图4 分析：紧紧抓住球心O，由于A、B、C每两点间的球面距离为，因此，球心角 而OAOBOC1 即OABC是正三棱锥 ， 由 得 ，故选B 练习题：设地球的半径为R，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75东经120，则甲、乙两地
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